4 장 주파수 영역 분석: z 변환

4.1 서 론 Zadeh 와 Ragazzini가 제안 디지털 신호 및 프로세서의 분석 z 변환과 Fourier 변환은 밀접하게 연관되어 있다 z 변환을 다루는 3 가지 주요 이유 1) 간단하고 편리한 수단 2) 디지털 신호처리 설계에 많이 이용 3) 극점과 영점을 이용하여 프로세서의 안정성 및 주파수 응답 분석

4.2 Z 변환의 정의와 특성 단방향 변환 : 이 책에서 사용할 z 변환 X(z)는 z-1 의 멱급수 X(z)는 n=0 이전의 x[n]과는 상관 없음 일반적인 코졀 신호나 코졀 선형 시불변 프로세서의 분석에 적합 참고: 양방향 z 변환 Fourier 변환과의 관계 X(z)는 z-1 의 멱급수 Fourier 변환과 밀접한 관계 : 이 책에서 사용할 z 변환

Z는 시간 이동요소 양방향 z 변환의 경우 한 샘플 시간 지연 : 한 샘플 시간 앞섬 : m 샘플 만큼 시간이 앞서거나 지연 : 양방향 z 변환의 경우 단방향 z 변환의 경우는 초기 조건들을 포함하며, 이러한 이유로 코졀 선형 시불변 프로세서의 과도응답을 계산하는데 적합함.

예제 4.1 (a) 다음 지수 감쇠 신호의 z 변환을 구하고 가능한 간단하게 표현하라

예제 4.1 (b) 다음 z 변환에 대응하는 신호를 구하고 그림으로 표현하라

z 변환은 주파수 영역에서 신호 및 시스템을 분석하는 모든 장점을 가지고 있다 컨벌루션 특성 임펄스 응답 : 전달 함수 :

x[n]과 h[n]을 컨벌루션하여 구한 y[n] n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 컨벌루션 특성 예 x[n]과 h[n]을 컨벌루션하여 구한 y[n] Y(z)=H(z)X(z) n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … x[n] = 1 -2 3 -1 -1 0 0 0 0 ... h[n] = 2 1 -1 0 0 0 0 0 0 … y[n] = 2 -3 3 3 -6 0 1 0 0 ... 위의 y[n]과 동일

주로 사용되는 역변환 방법 z 역변환 : 경로 적분 Cauchy의 적분 공식 함수 f가 closed contour C 위나 내부에서 analytic 하다면 C내의 모든 점 Z0에서 다음 식이 성립한다. 주로 사용되는 역변환 방법 z-변환쌍 표를 이용하는 방법 : 표 4.1 부분 분수 방법

Z 변환쌍 표 4.1 윗부분 반

Z 변환쌍 표 4.1 아랫 부분 반

예제 4.2 표 4.1을 이용하여 다음의 역변환을 구하고 멱급수 방법으로 구한 결과와 일치하는지 확인하라 풀이) 부분 분수 방법 (변환쌍 이용)

풀이) 멱급수 전개 방법

풀이) 전달함수로 가정하고 임펄스 응답을 구하는 방법

마지막 방법의 추가 예 : 복잡한 전달함수에 대해서 그림 4.2

Z 변환의 특성 표 4.2

Z 변환의 특성 최종 값 정리 예 : 단위 계단함수 입력에 대한 시스템의 안정상태 응답 그림 2.7(d)

4.3 z 평면의 영점과 극점 유리함수로 주어지는 z 변환 영점(zero) : 극점 (pole): 선형 시불변 시스템의 전달함수 영점(zero) : 극점 (pole): 실수함수의 z 변환의 영점과 극점 실수 또는 공액복소쌍(complex conjugate pair)으로 나타남 이득 :

z 평면 z 허수부 단위원 z 실수부 선형 시불변 시스템의 주파수 응답이나 신호의 스펙트럼을 보여 주는 쉽고 효율적인 방법 극점과 영점을 복소 평면에 표시하여 전달 함수의 특성을 나타냄 z 허수부 단위원 z 실수부

표 4.1

예제 4.3 다음 z 변환의 극점과 영점을 z 평면 상에 그려라

시스템이 안정되기 위해서는 극점이 단위 원 안에 위치하여야 한다 전달 함수 : 전달 함수의 안정성과 극점의 위치 : 실수 극점 시스템이 안정되기 위해서는 극점이 단위 원 안에 위치하여야 한다 전달 함수 : 이산방정식 : 임펄스 응답 : (실수 지수함수의 포락선 형태)  < 1 : n  일 때 0으로 감소 : 안정된 시스템  > 1 : n  일 때 무한히 증가 : 불안정한 시스템 |  | < 1 : 안정한 시스템의 조건

전달 함수의 안정성과 극점의 위치 : 허수 극점 단위 원 밖에 한 개 이상의 극점을 갖고 있다면 n   가 됨에 따라 발산 이 경우에도  < 1 : n  일 때 0으로 감소 : 안정된 시스템  > 1 : 무한히 증가 : 불안정한 시스템 |  | < 1 : 안정한 시스템의 조건

예: 공액 복소 극점쌍 r < 1 일 때만 안정 그림 4.4(a) 극점의 반지름과 각도 : 극점의 위치 : 전달 함수 : 이산방정식 : r < 1 일 때만 안정 그림 4.4(a)

극점이 단위 원 안에 있으므로 n   로 갈 때 시간 함수는 0으로 수렴 예: 실수 극점 : 공액 복소 극점쌍 : 그림 4.2 극점이 단위 원 안에 있으므로 n   로 갈 때 시간 함수는 0으로 수렴

영점 영점의 위치는 시스템의 안정성과 아무 관계가 없으며 아무 곳에 위치하여도 좋다 최소 지연 시스템 : 영점과 극점의 수가 같을 때 극점의 수가 많을 때는 원점에 영점을 추가 전달 함수가 극점보다 많은 수의 영점을 가질 때는 비코졀 시스템이 된다 이때는 원점에 극점을 추가하여 영점과 극점의 수가 같도록 하여야 한다

4.3.2 z 평면에서 Fourier 변환의 기하학적 측정 Sinusoidal 주파수에 대응하는 z 평면 단위 원 상의 여러 점들의 예 스펙트럼 특성은 항상 주파수 축상에서 간격으로 반복 구간 : z 평면의 단위 원 상에서 한번 회전 하는 구간 그림 4.5

스펙트럼의 진폭 : 영점 벡터의 크기 / 극점 벡터의 크기 스펙트럼의 위상 : 영점 벡터의 위상 - 극점 벡터의 위상 의 분석 : 영점 벡터 : 영점으로부터 단위 원 상의 관찰 주파수 점까지의 벡터 극점 벡터 : 극점으로부터 단위 원 상의 관찰 주파수 점까지의 벡터 스펙트럼의 진폭 : 영점 벡터의 크기 / 극점 벡터의 크기 스펙트럼의 위상 : 영점 벡터의 위상 - 극점 벡터의 위상 그림 4.6(a)

고역 필터 그림 4.6(b)

z 평면에서 Fourier 변환의 기하학적 측정 스펙트럼 함수의 진폭은 모든 영점 벡터의 길이의 곱을 모든 극점 벡터의 길이의 곱으로 나눈 값과 같다. 추가적인 이득요소는 고려되어야 하지만 그것은 단지 함수의 모양이 아닌 크기만 변화시킨다. 위상은 모든 영점 벡터의 위상들의 합에서 모든 극점들의 위상들의 합을 뺀 것과 동일하다. 극점 가까이 갈수록 진폭 함수는 커진다 영점 가까이 갈수록 진폭 함수는 작아진다 단위 원 상의 영점 : 해당 주파수 성분을 완전히 제거한다 단위 원 상의 극점 : 해당 주파수에서 발진

예제 4.4 다음의 전달 함수를 갖는 시스템의 주파수 특성을 그림으로 나타내라. 그림 4.7

z 평면에서 Fourier 변환의 기하학적 측정 예 : 영점 : z = 1, z =  j   = /2에서 출력은 0 ( * 원점의 2중 영점  진폭에 아무런 영향을 미치지 않는다) 극점 r  0.98 0.25  2/8 주기 당 8 샘플 0.95 0.833 2/ (2/0.833) 주기 당 2.4 샘플 0.8  2/2 주기 당 2 샘플 공액 복소쌍 실수 극점 세 개의 주요 신호 성분을 관찰할 수 있다

그림 4.8

4.3.3 1차, 2차 선형 시불변 시스템 h1 h2 하나의 실수 극점 하나의 실수 영점 1차 시스템 2차 시스템 4.3.3 1차, 2차 선형 시불변 시스템 하나의 실수 극점 하나의 실수 영점 1차 시스템 2차 시스템 2개의 실수 또는 공액 복소쌍 극점 2개의 영점 h1 h2

1차 시스템  양의 실수축 (0 < < 1) :  = 0  저역 통과 시스템  음의 실수축 (< 0) :  =   고역 통과 시스템 극점이 단위원 가까이 이동하면 최고 이득이 증가 대역폭 감소 단위 임펄스 응답이 서서히 감소

2차 시스템  최고 이득은 중심주파수는 에 의하여 결정됨  주파수 선택성 또는 대역폭은 변수 r에 의하여 결정됨  최고 이득은 중심주파수는 에 의하여 결정됨  주파수 선택성 또는 대역폭은 변수 r에 의하여 결정됨 그림 4.10

최고 이득이 주파수  = 에서 발생한다고 가정 (극점에 가장 가까운 지점이므로)

그림 4.11

대역폭 낮은 주파수 선택성 짧은 임펄스 응답 부호가 반전하는 임펄스 응답 단위 원에 근접 단위 원에서 약간 떨어짐 a b c d r=0.9  = 0 r=0.99  = 25 r=0.8  =110  = 180 저역 통과 시스템 대역 통과 시스템 고역 통과 시스템

4.4 영이 아닌 보조 조건 단방향 z 변환은 시스템의 초기값이 0이 아닌 보조 조건들을 다루는데 매우 유용하다 4.4 영이 아닌 보조 조건 단방향 z 변환은 시스템의 초기값이 0이 아닌 보조 조건들을 다루는데 매우 유용하다 이전에 인가된 입력 신호에 의한 과도 응답 분석 n=0 이전에 인가된 입력 신호들에 대한 출력 분석 단방향 z 변환은 n=0 이전에 대한 설명을 할 수는 없지만 영이 아닌 보조 조건을 다룸으로써 그 효과를 요약할 수 있다 일반적인 시간 이동 특성 초기치(보조 조건)

선형 시불변 시스템의 임펄스 응답은 초기 조건이 0일 때의 입력 입펄스에 대한 응답이다. 초기 조건에 의한 출력 예: 1차 저역 통과 시스템 특별한 경우: 선형 시불변 시스템의 임펄스 응답은 초기 조건이 0일 때의 입력 입펄스에 대한 응답이다. 초기 조건에 의한 출력 초기조건에 의한 응답이 입력에 대한 응답을 상쇄한 경우

1차 시스템의 초기치 : y[-1] 2차 시스템의 초기치 : y[-1], y[-2] n = 0 이전에 인가된 입력에 대한 시스템의 과거 값의 요약