질량중심과 선운동량

질량중심 야구 방망이와 같은 물체를 위로 던지면 공을 던졌을 때와는 달리 방망이의 각 부분이 각기 다른 경로를 이동하는 것을 볼 수 있다. 그러나 방망이의 질량중심의 경로는 공을 던졌을 때의 공의 중심의 경로와 일치하는 움직임을 하는 것을 알 수 있다. 질량중심 복잡한 구조의 물체가 움직일 때 물체의 모든 질량이 한 점에 모여있고 모든 외부의 힘이 그 점의 위치에 에 적용됐을 때 물체가 움직이는 것과 동일하게 움직이게 되는 위치가 있다. 이 위치가 질량의 중심이다.

질량이 서로 다른 두 물체가 질량을 무시할 수 있는 막대기에 의해 서로 연결 되어서 옆의 그림과 같이 x축 상에 놓여 있다. 이 물체의 질량 중심의 위치 xcom은 위의 식을 x축 상의 n개의 물체에 대한 일반 식으로 표현하면 총질량

또한 물체를 이루는 입자들이 x축의 직선 상에 있는 것이 아니고 3차원 공간상에 퍼져 있다면 각 입자의 위치벡터를 사용하여 앞의 식은 다음과 같이 표현될 수 있다. 질량중심의 위치벡터 각 입자의 위치벡터 질량중심의 위치벡터를 x, y, z 성분의 합으로 표현하면: = xcom i + ycom j + zcom k

∫ r dm = Σ ri · △mi M lim rcom = = 1 com △mi ri x y z rcom 물체가 고체상태라면 무수히 작은 입자들이 연속적으로 분포되어 있는 것으로 볼 수 있으므로 앞의 질량중심 위치벡터의 각 성분은 다음과 같은 적분형태로 표현된다. 만약 물체의 밀도가 균일하다면 이므로 = 가 되고 이 값을 위의 적분 식에 대입하여 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

연습문제 질량 2.0kg인 물체가 평면상의 좌표(-1.20m, 0.50m)에 위치하고 있고 질량 4.0kg인 물체가 (0.6m, -0.75m)의 위치에 있다. 여기에 다시 질량 3kg인 물체를 추가하여 세 개의 물체로 이루어진 시스템의 질량 중심이 (-0.5m, -0.7m)가 되려면 이 세번째의 물체의 위치는 어디여야 하는가? x3 = -1.50m y3 = -1.43m

연습문제 m1=3.0Kg, m2=4.0Kg, m3=8.0Kg 인 입자가 옆의 그림과 같이 가느다란 막대기에 하나로 x(m) y(m) 1 2 3 m1 m2 m3 연습문제 m1=3.0Kg, m2=4.0Kg, m3=8.0Kg 인 입자가 옆의 그림과 같이 가느다란 막대기에 하나로 연결되어 있다(막대기의 무게는 무시한다). 이 세 개의 입자로 이루어진 물체의 질량중심의 x축 상의 위치는? y축 상의 위치는? 만약 m3의 질량이 증가하면 질량중심은 m3쪽으로 접근하는가 아니면 멀어지는가? 접근한다.

rcom = (20, 20, 16) y 연습문제 균일한 재질로 만들어진 뚜껑이 없는 정육면체 형의 x 5(윗면) x y z 연습문제 3(뒷면) 1(좌) 4(우) 균일한 재질로 만들어진 뚜껑이 없는 정육면체 형의 상자가 있다. 상자의 한 변의 길이가 40cm라면 이 상자의 질량의 중심의 위치벡터를 구하라(x, y, z). 2(밑면) 다섯 개의 면의 질량중심의 위치벡터는 rcom = (20, 20, 16)

입자계에 대한 Newton의 제2법칙 질량 중심의 운동은 외부의 힘에 의해서만 영향을 받는다. 내부 입자의 밀거나 당기는 총 질량 알짜 외부 힘 = 외부 힘의 총합 질량중심의 가속도 질량 중심의 운동은 외부의 힘에 의해서만 영향을 받는다. 내부 입자의 밀거나 당기는 힘은 질량중심의 위치나 속도에 영향을 미치지 않는다.

n개의 입자로 이루어진 계의 질량중심을 구하는 식 [증명] n개의 입자로 이루어진 계의 질량중심을 구하는 식 로부터  양변의 시간에 대한 도함수를 구하면  다시 시간에 대한 도함수를 구하면 : i번째 입자에 작용하는 힘

[증명 계속] 외부 내부 외부 내부 Newton의 제3법칙 (작용반작용)에 의하여 서로 상쇄됨

질량 중심의 운동은 외부의 힘에 의해서만 영향을 받는다. 날아가던 폭탄이 도중에 폭발하여 파편이 흩어져도 전체 파편들로 이루어진 계의 질량중심의 위치나 날아가던 속도에는 영향을 미치지 않는다(공기의 저항 등을 모두 무시한 경우에..) 확인문제 빙판(마찰이 없는 판) 위에서 갑, 을 두 사람이 x축 상에서 무게를 무시할 수 있는 가는 밧줄을 서로 당기고 있다. 갑의 몸무게가 을의 두 배라고 하고, 처음의 질량의 중심을 x축의 원점의 위치에 위치시켰다면, 다음의 세 가지 경우에 두 사람은 어느 지점에서 만나겠는가? a) 갑이 을을 당길 때, b) 을이 값을 당길 때, c) 둘이 동시에 당길 때 답: 세 경우 모두 x축의 원점(처음의 질량중심이 있던 위치)에서 만난다. 두 사람으로 이루어진 계에서 서로 당기는 힘은 내부 힘으로 서로 상쇄되기 때문에 질량 중심의 운동에 영향을 미치지 않는다. 즉, 질량중심의 위치가 변하지 않는다. 밧줄의 위치가 짧아지므로 두 사람은 서로 만나게 되지만 질량 중심이 변하지 않으므로 결국 두 사람은 질량중심이 있는 위치에서 만나게 된다.

연습문제 질량이 각각 65kg과 40kg인 두 스케이터가 질량을 무시할 수 있는 길이 10m의 막대를 마주 잡고 빙판에 서 있다. 막대의 양끝에서 막대를 당기면서 서로 만날 때 40kg의 스케이터는 총 몇 미터 움직였는가? 40kg 65kg com L 풀이 외부 힘이 가해지지 않았으므로 질량중심의 위치는 변하지 않는다 질량중심은 두 스케이터의 사이에 있어야 하므로 결국 두 스케이터는 질량중심에서 만난다. 이 만나는 점의 위치를 40kg 스케이터로부터 L 만큼 떨어진 장소였다고 하고, 40kg 스케이터의 처음 위치가 x=0인 점이라고 하면 (65kg x 10m + 40kg x 0) / (65kg + 40kg) = L = 6.19m

= = 보기문제 오른 쪽 그림과 같이 세 개의 입자로 이루어진 계의 각 입자에 각각 F1 = 6.0N, F2=12N, x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 45 F2 F1 F3 8.0kg 4.0kg com 보기문제 오른 쪽 그림과 같이 세 개의 입자로 이루어진 계의 각 입자에 각각 F1 = 6.0N, F2=12N, F3=14N의 힘이 작용하고 있다. 현재의 질량중심이 빨간색 점으로 표시되어 있다. 세 입자가 움직일 때 질량중심이 움직이는 a)가속도를 구하고 또, b)그 이동 방향의 x축에 대한 각도를 구하라. acom,x = F1x + Fx2 + F3x M = -6.0N + (12N)cos45 + 14N 16kg = 1.03 m/s2 F1 + F2 + F3 = M·acom acom = F1 + F2 + F3 M acom,y= F1x + Fx2 + F3x M = 0N + (12N)sin45 + 0N 16kg = 0.53 m/s2 acom = acom,x 2 acom,y 2 = 1.2m/s2 θ = tan-1 ( ) = 27 ° acom,y acom,x + 각 힘 벡터의 성분이 주어져 있지 않고 크기만 주어져 있으므로 x, y성분을 따로 계산하여야 함.

선운동량 (Linear Momentum) 선운동량은 물체의 속도와 같은 방향으로 다음과 같이 정의된다. SI단위: kg·m/sec 선운동량의 시간에 대한 변화율이 곧 힘이 됨을 다음의 식에서 알 수 있다. 따라서 다음과 같이 정의할 수 있으며 이는 힘이 선운동량을 변화시킨다는 의미를 갖는다.

입자계의 선운동량 여러 입자로 이루어진 입자 계의 선운동량은 계의 총 질량 M과 질량중심의 속도를 곱한 것과 같다. 양변의 시간에 대한 도함수를 구하면 따라서, 입자계에 대한 Newton의 2법칙을 다음과 같이 표현할 수 있다.

선운동량 보존법칙: 고립 계에서 외부 힘이 작용하지 않으면 계의 총 선운동량은 변하지 않는다. x y 240m/sec 450m/sec 300m/sec 로켓이 수직으로 발사되어서 1000m 높이까지 도달하였을 때 속도가 300m/sec였다. 이 순간 로켓이 폭발하여 정확히 3등분 으로 갈라졌다. 첫 번째 덩어리는 450m/sec의 속도로 수직으로날아갔고 두 번째 덩어리는 240m/sec의 속도로 동쪽으로 날아갔다. 세 번째 덩어리는 어느 방향으로 얼마의 속도로 날아갔겠는가? 풀이 폭발 전 선운동량: pi = Mv0 =300M j 폭발 후 선운동량: pf = (M/3)(240) i + (M/3)( 450) j + (M/3)v 폭발은 내부적인 힘이라 질량중심의 가속도에 영향을 주지 않으므로 선운동량의 변화는 없다. 따라서, (M/3)(240) i + (M/3)( 450) j + (M/3)v = 300M j v = 900 j – 240 i – 450 j = -240 i + 450 j 속력: (-240)2 + (450)2

충돌과 충격량 야구공이 날아오다가 배트에 맞아서 날아오던 반대 방향으로 날아갔다면 외부의 힘이 공의 선운동량 를 반대 방향으로 날아갔다면 외부의 힘이 공의 선운동량 를 바꾼 것으로 볼 수 있고 이 때 선운동량의 변화량은 다음과 같은 계산식으로 표현된다. 이므로 시간 ti부터 tf까지의 변화량 △p는 △p = pf - pi 충격량 충격량의 정의

충격 량은 힘의 시간에 대한 변화 그래프의 시간 축과 이루는 면적으로 나타낼 수 있다. 많은 경우에 F(t)를 알 수 없다. △t 시간 동안의 평균 힘이 Favg라면 충격량은 다음과 같이 계산될 수 있다. 평균 힘(Favg)은 알 수 있는 경우가 많다.

충돌하는 동안에 힘의 변화를 나타내는 식 F(t)를 알 수 없으므로 직접 적분을 통하여 y x 30° 10° vi=70m/sec vf=50m/sec y x 30° 10° pi pf 보기문제 9-5 레이스카가 경기 도중에 콘크리트 벽에 그림과 같이 부딪힌 후 튕겨 나갔다 운전자의 질량이 80kg이라면 a)운전자에 가해진 충격 량은 얼마인가 풀이 a) 충돌하는 동안에 힘의 변화를 나타내는 식 F(t)를 알 수 없으므로 직접 적분을 통하여 충격 량을 구할 수는 없다. 그러나 [△p = pf – pi = 충격량] 이므로 선운동량의 변화를 통하여 충격 량의 크기를 구할 수 있다. J = pf – pi = mvf – mvi = m(vf – vi) Jx = m(vfx – vix) = (80kg)[(50m/s)cos(-10°) – (70m/s)cos(30°)] = – 910 kg·m/s Jy = m(vfy – viy) = (80kg)[(50m/s)sin(-10°) – (70m/s)sin(30°)] = – 3495 kg·m/s -104.6° Jx Jy J 따라서 충격 량의 크기는 J = Jx2 + Jy2 = 3616 kg·m/s 충격 량의 방향이 x축과 이루는 각도는: θ = tan-1( Jy / Jx ) = 75.4° 실제 값은 180 + 75.4 = 255.4° = -104.6°

보기문제 9-5(계속) b) 충돌이 지속된 시간이 14msec라면 운전자에 가해진 평균 힘은? 풀이 J = Favg·△t 의 식을 사용 3616 kg m/s 0.014s Favg = J / △t = = 2.583 x 105N c) 운전자에 가해진 가속도는? 풀이 F = ma에 의해 a = F/m = 2.583 x 105N / 80kg = 3229m/sec2

선운동량의 보존 입자 계에 알짜 외부 힘이 작용하지 않으면 계의 총 선운동량 p는 변하지 않는다 보기문제 9-6 질량 6kg의 물체가 x축 방향으로 4.0m/s의 속력으로 미끄러지고 있다(마찰은 없다). 물체가 갑자기 내부적인 압력으로 두 조각으로 깨져서 질량 2.0kg인 첫 번째 조각은 계속하여 x축 방향으로 8.0m/s의 속력으로 미끄러졌다. 두 번째 조각의 속도를 구하라 풀이 처음에 6.0kg의 물체가 4.0m/s 로 움직였으므로 깨지기 전의 선운동량은: (6.0kg)(4.0m/sec) = 24.0kgm/sec 물체가 내부 압력으로 깨졌으므로 외부의 힘이 가해지지 않았기 때문에 선운동량은 깨진 후에도 변함이 없어야 한다. 따라서 깨진 후의 두 물체의 각각의 선운동량의 합은 깨지기 전의 선운동량의 합과 같아야 한다. 따라서, (2.0kg)(8.0m/sec) + (4.0kg)(v2) = 24.0kgm/sec 의 관계에 의하여 두 번째 조각의 속도는 v2 = 2.0m/sec +x축 방향으로 움직임

탄성충돌, 비 탄성충돌, 완전 비 탄성충돌 당구공의 충돌과 같이 충돌 후 운동에너지가 보존되는 것을 탄성충돌이라고 한다. 탄성충돌, 비 탄성충돌, 완전 비 탄성충돌 당구공의 충돌과 같이 충돌 후 운동에너지가 보존되는 것을 탄성충돌이라고 한다. 충돌 후 운동에너지가 보존되지 않는 것을 비 탄성 충돌 이라고 한다. (충돌 전후의 운동에너지의 차이는 다른 형태의 에너지(열 등)으로 바뀜) 충돌 후 두 물체가 붙어서 하나의 입자처럼 움직이는 경우를 완전 비 탄성충돌 이라고 함 (운동에너지의 손실이 최대)

일 차원 비 탄성충돌 선운동량이 보존되므로 일 차원 완전 비 탄성충돌

① ½ (m1+m2)V2 = (m1 + m2) · g · h ② h=6.3cm m2=5.4kg v m1=9.5g 보기문제 9-9 옆의 그림처럼 질량 5.4kg인 통나무에 질량 9.5g인 총알이 날아와 박혔다. 그 결과 통나무가 최고 6.3cm 높이까지 흔들렸다. 총알이 통나무에 박히기 직전의 속력을 구하라. 풀이 총알이 통나무에 박혀서 한 덩어리가 되었으므로 완전 비 탄성충돌이다. 총알이 나무에 박힌 후의 속도 V는 ① 역학에너지 보존의 법칙에 의하여 ½ (m1+m2)V2 = (m1 + m2) · g · h ② ①을 ②의 V에 대입: v = m1 + m2 m1 2 · g · h 0.0095kg + 5.4kg 0.0095kg = 2 · (9.8m/sec2 )· (0.063m) = 630m/sec

질량중심의 속도 = M = ( ) 닫힌 고립계에서 질량중심의 속도는 변하지 않는다. 완전 비 탄성 충돌 시 질량중심의 위치의 변화 = M = ( ) 따라서, 질량중심의 속도:

일 차원 탄성충돌 , 모든 충돌에는 에너지 손실이 있으나 그 값이 무시해도 될 정도의 충돌의 결과는 탄성충돌로 어림 계산 할 수 있다. 충돌한 개별 입자들의 운동에너지가 변하지 않는 다는 것이 아니라 그 입자들로 이루어진 계의 운동에너지의 총 합이 변하지 않는다는 것이다. 선운동량 보전 법칙에 의하여: 탄성충돌의 운동에너지 보전 법칙에 의하여: 두 물체의 질량 m1, m2와 초기 속도 v1i, v2i 를 안다면 위 식에서 미지수는 v1f, v2f 이므로 위 두식의 힌트에 의하여 v1f, v2f를 구하는 식은 다음과 같다. ,

일 차원 탄성충돌(목표 물체가 정지해 있는 경우) 옆의 경우처럼 목표물체가 정지해 있는 경우(v2i = 0) 에는 앞 페이지의 식은 다음과 같이 간단해진다. 목표물체는 충돌 후 항상 앞으로 움직인다. 질량의 차이에 의하여 충돌 후 뒤로 움직일 수도 있다.

일 차원 탄성충돌(두 물체의 질량이 같은 경우) 발사체는 충돌 후 정지 목표물은 충돌 후 v1i의 속도로 이동

보기문제 9-11 질량 30g인 물체 1을 왼쪽으로 들어서 h1 = 8.0cm만큼 들었다가 놓았다. 물체 1이 내려와서 질량 75g인 물체 2와 탄성충돌 하고 난 직후 물체 1의 속도를 구하라 h1 2 1 m1 m2 풀이 충돌직전의 m1의 속도 v1i는 ½m1v1i2 = m1gh1 에 관계로부터 V1i = 2gh1 = (2)(9.8m/s2)(0.080m) = 1.252 m/s 충돌 순간의 속도의 방향은 수평이므로 1차원 탄성 충돌로 볼 수 있다. 따라서 선 운동량이 보존된다. 따라서, 충돌 후의 m1의 속도는: v1f = v1i m1 – m2 m1 + m2 0.03kg – 0.075kg 0.03kg + 0.075kg = (1.252 m/s) = – 0.537 m/s

이차원 충돌 이차원 충돌에서도 운동량 및 운동에너지(탄성충돌의 경우)는 보존됨 옆의 그림에서 두 물체가 탄성충돌을 한 후 각각 x축과 θ1, θ2의 각도로 튕겨나갔다고 하면 x축 성분의 선 운동량 보존 관계는: y축 성분의 선 운동량 보존 관계는: 탄성충돌이므로 운동에너지관계는: 위 세 개의 hint를 미지수가 세 개인 경우의 해를 구할 수 있는 연립방정식으로 사용할 수 있다.

– · • ≠ ∫ θ μ Σ 60°①②③④△Θ⅔⅓½㎡㎠㎝㎞㎦㎨