2조 : 박영은, 김선경, 김혜정, 김현민, 김진원 발표자 : 박영은 게임이론과 확률 2조 : 박영은, 김선경, 김혜정, 김현민, 김진원 발표자 : 박영은

잠시..영화한편 보시죠^^?

게임이론이란… 경쟁 주체가 상대편의 대처행동을 고려하면서 자기의 이익을 효과적으로 달성하기 위해 수단을 합리적으로 선택하는 행동을 수학적으로 분석하는 이론. 폰 노이만(John von Neumann,1903 – 1957)

이러한 게임이론은… 군사학 경영학 정치학 게임이론 생물학 컴퓨터 공학 심리학 경제학 철학

우리 생활에서는.. 블랙잭(twenty-one) 룰렛(roulette)

블랙잭 & 룰렛 블랙잭 : 블랙 잭은 도박성이 가장 강한 게임이며, 외국의 카지노(도박장)에서 성행하고 있는 것이다. 게임은 딜러로부터 2장의 카드를 받고, 이것의 정수의 합계가 21점에 가까워지도록 카드를 바꾸면서 가장 점수가 많은 사람이 이기는 게임이다. 룰렛 : 돌아가는 작은 바퀴라는 뜻의 프랑스어에서 유래하였다. 실내에 설비된 0에서 36까지의 눈금으로 37등분된(미국식에는 00이 있어 38등분되어 있다) 정교한 회전원반 가운데에 주사위 1개를 넣고 쿠르피에(courpier)라는 전문가가 굉장히 빠른 속도로 회전시킨다. 회전반이 정지했을 때 주사위가 어느 눈금 위에 멎느냐에 금전을 거는 도박이다.

roulette 1에서 36번까지 숫자가 적혀 있는 칸이있고 0과 00이적혀 있는 칸이 있다. 1부터 홀수 번은 검은색이고 2부터 짝수번은 붉은색이다.

룰렛의 돈 걸기 붉은색에 걸기 이 경우엔 수익률은 1대1입니다. 붉은 색 칸은 총 38칸 중에 18칸이므로 이 경우엔 플레이어가 이길 확률은 38분의 18이다.

17번에 걸기 이처럼 한 가지 수에 걸었을 때 수익률은 35대 1입니다. 다시 말해서 1달러를 17번에 걸고공이 17번 칸에 떨어지면 35달러를 받게 된다. 17번 칸은 38칸 중 하나이므로 플레이어가 이길 확률은 38분의 1이다.

룰렛의 수익률 단순히 붉은색 칸에 걸게 된다면 정상적인 계산법으로는 수익률이 20대 18이 되어야 플레이어와 카지노는 이익이나 손해가 없게 된다. 그러나 수익률을 1:1(18:18)로 함으로서 카지노가 어느 정도의 이익을 얻게 만들어져 있다.

플레이어의 손해 계산 룰렛을 하면 할수록 일정부분을 잃게 되어있는 플레이어의 손해를 계산해 보자 38번 돈을 붉은색 칸에 걸면 평균적으로 2달러를 잃게 됩니다. 즉 1달러씩 돈을 걸면 5.3센트씩 잃게 되고 기대수익은 -5.3%가 된다.(이는 17번 칸 즉 한 번호에 계속 돈을 거는 경우에도 마찬가지이다.)

그렇다면… 플레이어는 확률적으로 패배할 수밖에 없는 운명일까. 다음과 같은 전략들을 알아보자

동시에 여러 군데로 걸기 붉은색이나 17번 같은 수에 거는게 아니라 여러 군데로 걸어보자. 그럼 이길 확률은 높아지지 않을까? 아쉽게도 이 전략은 실패다. 평균이라는 녀석의 성질을 잘 알 듯이 아무리 더해지는 양이 많아도 나누면 같아진다. 어떤 방법으로 시도하던 간에 플레이어는 5.3%의 손해를 보게 되고 이는 손해를 볼수록 모든 곳에 걸게 되어 모든 것을 잃어버렸다는 슬픈 이야기로 남을 것이다.

2배로 걸기 이 전략은 전 세계의 도박사나 투자자에게 잘 알려진 방법이다. 예를 들어 붉은색에 1달러를 걸어보자. 붉은색이 나오지 않을 경우 2달러를 다시 붉은색에 건다. 다시 붉은색이 나오지 않을 경우 4달러를 붉은색에 건다. 결국엔 붉은색은 나오게 될 것이고 3달러의 손해를 본 반면에 1달러의 이익 즉 어떤 방법이든 플레이어는 이익을 얻게 된다. 그러나 카지노는 상한선과 하한선을 설정하여 플레이어의 이러한 방법을 막아버린다. 또한 패배가 계속 된다면 단 1달러의 이익을 위해서 3만 2768달러를 걸어야 하는 상황도 나타난다.

컴퓨터를 사용하기 룰렛의 공이 출발하고 공의 움직임과 궤적을 계산하여 정확히 어디로 떨어질 것인지 컴퓨터로 계산하는 방법이다. 쏘르프 교수의 책 도박의 수학이라는 책에 나온 이 방법은 어느정도 운이라는 요소를 룰렛게임에서 어느 정도 제거할 수 있었다. 하지만 이는 카지노에서 어느 정도 막고 있고 공이 출발한 다음 걸어야 하는 단점이 있다.

결론. 룰렛은 순전히 운으로 이루어지는 도박이다. 어떠한 전략이나 방법으로도 카지노는 평균적으로 5.3%의 이익을 얻게 되어 있고, 장기적으로 돈을 딴다는 것은 수학적으로 불가능하다. 자신의 돈을 운명에 맡기고 무료 음료를 즐기면서 편하게 지내는 것이 가장 현명한 방법입니다. 룰렛 탁자에서 돈을 따는 것이 운이 좋아서 그렇다는 것만 인정한다면 말이다.

Twenty-One ‘이길 수도 있는 도박’ Blackjack은 수학적으로 카지노에 비해 도박사에게 유리한 상황이 올 수도 있는 도박이다. 그 이유는 아래 표와 같이 카지노의 이득이 가장 낮은 게임 중 하나이기 때문이다. 카지노 이득 슬롯머신(비디오포커제외) 10% 캐러비언 포커 5% 룰렛. 다이사이 2.7% 바카라 1% 블랙잭 0.5%

블랙잭의 룰 사용하는 카드는 조커를 제외한 52장이고 2-8명이 할 수 있다. 딜러는 자신을 포함해 모든 도박사에게 카드를 2장씩 돌리는데 카드 점수의 합이 21에 가까운 사람이 이긴다. 카드의 점수는 2-9까지는 숫자대로 점수를 세고, K, Q, J, 10은 10점으로 센다. 단, A는 1점이든 11점이든 편리한 쪽으로 계산할 수 있다. 점수의 합이 21이 나오는 경우를‘블랙잭’이라고 하며 무조건 게임에서 승리한다. 카드의 숫자 합이 21이 넘으면 점수에 상관없이 게임에서 무조건 진다(버스트). cf) 딜러의 버스트 확률-28% 딜러버스트 이전에 게임자 먼저 버스트 될 확률-8%

게임 방법 ① 플레이어들은 카드를 받기 전 걸고 싶은 액수만큼 돈을 건다. ② 게임이 시작되면 딜러는 자신부터 시작해 왼쪽 방향으로 카드를 한 장씩 공개해 나눠주고 자신의 카드는 보여주지 않는다. ③ 두 번째 장은 플레이어와 딜러 모두에게 공개한 채로 나눠준다. ④ 카드를 두 장씩 나눠 가지면 플레이어는 자신의 카드와 딜러의 공개된 카드를 보고 점수 합계가 21점에 가까워지도록 딜러로부터 카드를 추가로 몇 장이고 더 받을 수 있다. ⑤ 카드 추가가 끝나면 딜러는 자신의 감춰졌던 카드를 공개하는데, 점수 합이 17보다 작으 면 무조건 카드를 한 장 더 받고, 17 이상이면 각 플레이어와 승패를 가린다. cf) 딜러는 17미만의 점수에서 반드시 드로우를 해야 하지만, 도박사는 그럴 필요가 없다. 즉, 도박사는 딜러가 파산할 수밖에 없도록 만드는 상황으로부터 유리함을 얻는 것이다. 드로우(draw,뽑기): 한 장의 카드를 더 받는 것 스탠드(stand,정지): 더 이상의 카드를 받지 않는다는 것

블랙잭의 확률은? 2장의 카드의 점수 합이 21이 나오는 경우 대형 카지노에서는 보통 10 deck를 사용하는 곳이 많으므로, 이를 기준으로 계산하면,총 520장이 있는데 이중에서 2장을 고르는 경우의 수가 존재함으로 520C2 = 520*519/2 = 134940 전체 134940가지의 경우의 수가 존재한다. 블랙잭은, A를 1장, K,Q,J,10중 1장 뽑는 경우가 있는데 모든 카드가 무늬별로 10장씩 총 40장이 있으므로블랙잭이 나오는 경우의 수는 40*160/2 = 3200→ 따라서 블랙잭이 나올 확률은 3200/134940 x100= 2.371%

블랙잭에서 승리하기 위한 전략 카드카운팅이란? 분배된 카드를 제대로 기억하고 있는 방법 블랙잭은 게임에 사용된 카드를 다시 섞지 않는 ‘비복원추출’로 이루어진다. 비복원추출에서는 첫 사건의 결과가 다음 사건이 일어날 확률에 영향을 끼친다. →어떤 플레이어가 공개된 카드를 모두 기억하며 게임을 진행한다면 딜러가 나눠주는 전체 카드의 수가 적어질수록 그 안에 어떤 카드가 들어있을지 높은 확률로 추측할 수 있다. *이를 응용하면, 1)덱에 10의 카드가 많으면→ 딜러의 파산확률 up → 도박사는 드로우를 자제해야 함 2)덱에 낮은 카드가 많으면→ 딜러의 파산x확률 down → 도박사는 작게 내기해야 함 즉, 덱이 좋을 땐 크게 내기하고 덱이 나쁠 땐 작게 내기 하여 수익률을 높일 수 있다.

6. 전략 응용의 예 덱에 2, 3, 4, 5, 6 카드가 10, J, Q, K 카드 수 보다 15장 많이 나오면 앞으로 배분될 카드에서 10, J, Q, K가 나올 확률이 다른 숫자들보다 훨씬 크다고 해석할 수 있다. 이런 경우 만약 딜러의 공개된 카드가 6이하라면, 플레이어가 승리할 확률도 높아진다. 왜냐하면 딜러의 감춰진 카드가 A가 아닌 이상 딜러의 점수는 16이하가 되어 카드 한 장을 더 받아야 하는데, 10, J, Q, K가 나와 21이 초과될 확률이 높기 때문이다.

Plus.로또 복권 당첨확률 계산방법 1등 계산방법 전체 45개의 숫자 중에서 6개를 고르는 수학의 조합기능을 사용하면 전체경우의 수는 45C6=8,145,060 이 된다. 그 중 1등은 오직 1가지 경우의 수이므로 당첨확률은 (당첨경우의수/총경우의 수), 즉 1:8,145,060 이 된다. 2등 계산방법 나머지 등수 계산방법에 있어 총 경우의 수는 1등 계산방법과 같습니다, 즉 45C6=8,145,060 이 된다. 2등 보너스 숫자를 포함하고 당첨숫자 6개중 5개를 포함하는 경우의 수는 6C5=6C1=6 이 되므로 당첨확률은 (당첨경우의수/총경우의 수), 즉 (6/8,145,060) = 1:1,357,510 이 된다.

일확천금의 함정 사람들의 확률에 대한 부정확한 직관을 활용하는 대표적인 사업이 복권이다. 한장에 1천원을 주고 사는 연식추첨복권은 확률적으로 볼 때 약 5백원을 손해보게 된다. 복권 한장을 샀을 때 기대되는 값이 5백원이기 때문이다. 전체 기대값은 각각의 당첨금액에 당첨될 확률을 곱해서 더한 값이다. 이 전체 기대값에서 가장 큰 비중을 차지하는 것이 가장 낮은 당첨금액을 받는 꼴찌들의 기대값이다. 그런데 3백60원의 기대값을 가지는 5등과 6등에 당첨된 복권을 환전소에 가져가면 당첨금을 현금으로 주지 않고 새 복권으로 바꿔 준다. 여기서 우리는 복권의 함정에 다시금 빠지게 된다. 복권을 좋아하는 사람들에게는 1등에 당첨될 기회가 한번 더 생겼다는 기대감을 가질 것이다. 1천원짜리 복권의 수학적인 기대값은 5백 원이지만 6등에 당첨된 복권을 다른 복권으로 바꿔주는 방식에 의해 실제의 기대 값은 훨씬 적어지기 때문이다.

10만원짜리 이상의 고액 복권에 당첨되는 확률은 1백만명당 약 9.2명 실제 복권 1장을 사서 10만원짜리 이상의 고액에 당첨되는 확률은 1백만명당 약 9.2명에 불과하다. 나머지 당첨자들은 소액 당첨자들로 이 경우 당첨되더라도 현금으로 교환하지 않고 대부분 다시 복권을 구입하기 때문에 사실상 <당첨> 이라는 의미가 없다 복권발행사들이 내세우는 복권의 당첨률 30~36%는 소액 당첨까지 모두 합해 계산한 것으로 말하자면 숫자 장난이다. 복권발행사들이 내세우는 복권의 기댓값 또한 교묘한 수학적 눈가림이다. 복권 기댓값을 계산한 서울대 계산통계학과 진종우 교수와 연세대 응용통계학과 안윤기 교수는 <소액 당첨자들이 당첨권을 현금으로 교환하지 않고 다시 복권을 구입한다면 이는 (당첨권) 이 아니고 단순한 (복권교환권)에 불과하고 이에 맞추어 기댓값을 계산하면 5백원 짜리 복권 1장의 기댓값은 1백43원에 불과하다> 고 밝혔다. 이는 복권발행사의 선정과 무려 1백 17원의 차이가 난다