Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems 2001년 대한토목학회 학술발표회 2001.11. 3 Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems 안녕하십니까. 이인원 교수님으로부터 소개받은 박사과정 학생 조지성입니다. 오늘 발표드릴 중간발표논문 제목은 “감쇠시스템을 위한 개선된 Sturm 수열 성질 ”입니다. 조지성*: 한국과학기술원 토목공학과 박사과정 고만기 : 공주대학교 토목공학과 교수 이인원 : 한국과학기술원 토목공학과 교수 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems  Objective To develop an efficient technique for checking missed eigenpairs of a non-proportionally damped system  Proposed Method Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Complex eigenvalue problem Chen’s algorithm Characteristic polynomial 따라서 본 연구의 목적은 비비례 감쇠시스템에 적용할 수 있는 효율적인 누락된 고유치의 검사기법을 개발하는 것입니다. Gleyse’s theorem Check the number of eigenvalues inside some open disks Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

Structural Dynamics & Vibration Control Lab. Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Complex Eigenvalue Problem - Standard form Chen’s Algorithm (similarity transformations) 복소고유치문제는 앞에서 보신 식(8)과 같이 나타낼 수 있는데 이식에 파이틸데라는 새로운 벡터를 도입하면 기존의 고유치 해석을 수행할 수 있는 선형화된 식으로 변형됩니다. 그리고 이식에서 우측의 [ C M M 0]행렬의 역행렬을 각각 곱하면 식 (10)과 같은 표준화된 고유치문제로 변형됩니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

Gleyse’s Theorem - Characteristic polynomial - Schur Cohn matrix T: Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Proposed Method Gleyse’s Theorem - Characteristic polynomial - Schur Cohn matrix T: 다음으로 Gleyse의 정리를 말씀드리겠습니다. Gleyse의 정리는 특성다항식이 식(14)와 같이 정해졌을 때 아래 그림과 같이 복소평면에서 반경이 1인 원안에 존재하는 고유치의 개수를 구할 수 있는 정리로써 그 계산식은 다음과 같습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

Structural Dynamics & Vibration Control Lab. Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Proposed Method The number of eigenvalues inside an unit open disk (14) N : the number of eigenvalues inside an unit open disk 2n : degree of the characteristic polynomial P S[1, d1, d2, ···, d2n]: the number of sign changes in the sequence (1, d1, d2,···, d2n) - Calculation of di 다음으로 Gleyse의 정리를 말씀드리겠습니다. Gleyse의 정리는 특성다항식이 식(14)와 같이 정해졌을 때 아래 그림과 같이 복소평면에서 반경이 1인 원안에 존재하는 고유치의 개수를 구할 수 있는 정리로써 그 계산식은 다음과 같습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

Structural Dynamics & Vibration Control Lab. Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Numerical Examples  Numerical Example Simple Spring-Mass-Damper System 1 2 10 k k m m m Mass: m = 1.0 Stiffness: k = 1.0 Rayleigh damping:  = 0.05,  = 0.05 - Exact eigenvalues 먼저 심플 스프링 매스 댐퍼 시스템에 대한 내용입니다. 시스템 행렬들은 다음과 같습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

Structural Dynamics & Vibration Control Lab. Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Numerical Examples - Radius  = 1.005| 18| i dii sign(di) S 0 1 + 1 9.206e+03 + 2 9.206e+03 + 3 9.206e+03 + 4 9.206e+03 + 5 9.204e+03 + 6 9.187e+03 + 7 8.977e+03 + 8 8.511e+03 + 9 6.368e+03 + 10 5.248e+03 + i dii sign(di) S 11 1.799e+03 + 12 1.459e+03 + 13 1.331e+02 + 14 1.098e+02 + 15 9.891e+00 + 16 8.390e+00 + 17 -3.412e+00 - 18 -2.312e+00 + 19 1.065e+00 + 20 7.366e+00 + 1 2  2 = 18 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

Structural Dynamics & Vibration Control Lab. Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Conclusions  Conclusion The proposed method is more effective than the previous methods for checking missed eigenpairs of damped systems !! 최종적으로, 본 연구의 결론을 말씀드리겠습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.