Nha Trang 2000 Nha Trang, Vietnam, Aug. 14-18, 2000 SOLUTION OF EIGENVALUE PROBLEM FOR NON-CLASSICALLY DAMPED SYSTEM WITH MULTIPLE EIGENVALUES * In-Won Lee: Professor, KAIST Man-Cheol Kim: Senior Researcher, KRRI Kyu-Hong Shim: Postdoctoral Researcher, KAIST

OUTLINE PROBLEM DEFINITION PROPOSED METHOD NUMERICAL EXAMPLES CONCLUSIONS 제가 발표드릴 내용은 다음과 같습니다. 먼저 서론 부분에서는 비비례 감쇠 시스템의 효율적인 고유치 해법의 필요성과, 이를 해석하였을 경우 얻게 되는 복소 고유치와 고유벡터가 감쇠의 영향을 고려하지 않는 경우의 값들과 물리적으로 어떻게 다른가를 이 부분에서 살펴보고 이에 대해 현재 이용 가능한 기존 방법들의 장단점을 파악한 다음 이를 토대로 본 연구의 목적을 말씀 드리겠습니다. 본 논문에서는 비비례 감쇠 시스템에 대한 두 가지의 고유치 해석방법이 제안되어 있습니다. 첫번째 방법은 수정된 Newton-Raphson 방법을 이용한 방법이고 두 번째 방법은 Lanczos 방법을 이용한 방법입니다. 그러나 본 발표에서는 첫번째 방법 즉 수정된 Newton-Raphson 방법을 적용한 것은 저 번 중간발표 때 발표하였기 때문에 생략하고 두 번째 방법에 대해서만 해석방법에서 발표 드리도록 하겠습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

PROBLEM DEFINITION Dynamic Equation of Motion (1) where : Mass matrix, Positive definite : Damping matrix : Stiffness matrix, Positive semi-definite : Displacement vector : Load vector 먼저 서론 부분입니다. 자유 진동 구조물의 운동방정식은 식(1)과 같습니다. 식(1)에서 M, C, K는 각각 질량, 감쇠, 강성 행렬이고 u는 변위벡터 입니다. 여기서 M은 양에 반 한정 행렬이고 K는 양에 한정 행렬이라 가정하겠습니다. 지금 까지는 대부분구조물의 감쇠 특성이 질량과 강성행렬의 선형 조합으로 묘사할 수 없는 비비례 감쇠인데도 불구하고 구조물의 운동방정식에 이를 정확히 묘사할 수 없었기 때문에 일반적으로 Rayleigh Damping과 같이 강성행렬과 질량행렬의 선형 조합으로 이루어진 비례 감쇠행렬로 이의 영향을 고려해 왔습니다. 따라서 전체 구조물을 이루는 부분 구조의 감쇠특성을 정확히 알고 있거나 또는 제진을 위해 기초분리장치와 같은 감쇠시스템을 도입한 구조물처럼 감쇠의 영향을 좀 더 실질적으로 고려할 수 있는 경우에는 이의 영향을 고려하여 동적해석을 수행하여야만 좀 더 정확한 해석 결과를 얻을 수 있습니다. 감쇠의 영향을 고려하여 동적해석을 수행할 수 있는 방법은 크게 직접 적분 법과 모드 중첩 법이 있습니다. 직접 적분 법은 정확한 해석 결과는 얻을 수 있으나 시스템의 Full Order에서 수치적분을 수행하기 때문에 자유도가 많아 질 경우 해석시간이 많이 소요되고 또한 모드별 특성을 파악할 수 없다는 단점을 가지고 있습니다. 모드 중첩 법은 시스템의 좌표계를 Modal 좌표계로 변환해서 해석하기 때문에 해석시간도 적게 소요되고 각 모드별 특성을 파악할 수 있다는 장점을 가지고 있기 때문에 전 방법 보다 효율적 입니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Methods of Dynamic Analysis Step by step integration method Mode superposition method Mode Superposition Method Free vibration analysis should be first performed 식(1)의 동적해석에 모드 중첩 법을 적용하거나 또는 동 특성을 파악하기 위해서는 고유치 해석을 선행해야 합니다. 감쇠행렬이 비례 감쇠인 경우 즉 이와 같은 식을 만족하는 경우에는 실수영역에서 직접적이고 간단한 방법으로 고유치 해석을 수행할 수 있습니다. 그러나 이의 조건식을 만족하지 못하는 비비례 감쇠인 경우에는 일반적으로 복소 계산을 필요로 하기 때문에 많은 해석 시간을 필요로 합니다. 따라서 좀 더 효율적으로 동적해석을 수행하거나 또는 동특성을 파악하기 위해서는 안정적이고 효율적인 비비례 감쇠 시스템에 대한 고유치 해법이 필요 합니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Condition of Classical Damping (2) Example : Rayleigh Damping Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Eigenproblem of classical damping systems (3) : Real eigenvalue : Natural frequency : Real eigenvector(mode shape) where - Low in cost - Straightforward Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Quadratic eigenproblem of non-classically damped systems (4) where : Complex eigenvalue : Complex eigenvector(mode shape) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

An efficient eigensolution technique of (5) where : Complex Eigenvalue : Complex Eigenvector (6) - Very expensive An efficient eigensolution technique of non-classically damped systems is required. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Current Methods for Solving the Non-Classically Damped Eigenproblems Transformation method: Kaufman (1974) Perturbation method: Meirovitch et al (1979) Vector iteration method: Gupta (1974; 1981) Subspace iteration method: Leung (1995) Lanczos method: Chen (1993) Efficient Methods Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

PROPOSED METHOD Find p Smallest Eigenpairs Solve Subject to For and : multiple or close roots If p=1, then distinct root where Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Relations between and Vectors in the Subspace of (7) where (8) (9) Let be the vectors in the subspace of and be orthonormal with respect to , then (10) (11) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Introducing Eq.(10) into Eq.(7) (12) Let (13) where : Symmetric Then (14) or (15) or (16) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Multiple or Close Eigenvalues Multiple eigenvalues case : is a diagonal matrix. Eigenvalues : Eigenvectors : Close eigenvalues case : is not a diagonal matrix. - Solve the small standard eigenvalue problem. - Get the following eigenpairs. (13) (10) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Newton-Raphson Technique (17) (18) where (19) (20) (21) : unknown incremental values Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Matrix form of Eqs.(22) and (23) Introducing Eqs.(19) and (20) into Eqs.(17) and (18) and neglecting nonlinear terms (22) (23) where : residual vector Matrix form of Eqs.(22) and (23) (24) Coefficient matrix : • Symmetric • Nonsingular Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Modified Newton-Raphson Technique (24) Introducing modified Newton-Raphson technique (25) (19) (20) Coefficient matrix : • Symmetric • Nonsingular Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Algorithm of Proposed Method Step 1: Start with approximate eigenpairs Step 2: Solve for and Step 3: Compute Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Step 4: Check the error norm. If the error norm is more than the tolerance, then go to Step 2 and if not, go to Step 5. Step 5: Check if is a diagonal matrix, go to Step 6, if not, go to Step 7. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Step 8: Check the error norm. Step 6: Multiple case Step 7: Close case Go to step 8. Go to step 8. Step 8: Check the error norm. Error norm = Stop ! Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Initial Values of the Proposed Method Intermediate results of the iteration methods - Vector iteration method - Subspace iteration method Results of the approximate methods - Static Condensation method - Lanczos method Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

NUMERICAL EXAMPLES Structures Analysis Methods Cantilever beam(distinct) Grid structure(multiple) Three-dimensional framed structure(close) Analysis Methods Proposed method Subspace iteration method (Leung 1988) Lanczos method (Chen 1993) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Convex with 100 MIPS, 200 MFLOPS Comparisons Solution time(CPU) Convergence Convex with 100 MIPS, 200 MFLOPS Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Cantilever Beam with Lumped Dampers (Distinct Case)  Material Properties Tangential Damper :c = 0.3 Rayleigh Damping : =  = 0.001 Young’s Modulus :1000 Mass Density :1 Cross-section Inertia :1 Cross-section Area :1  System Data Number of Equations :200 Number of Matrix Elements :696 Maximum Half Bandwidths :4 Mean Half Bandwidths :4 1 2 3 4 99 100 101 C 5 Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Results of Cantilever Beam Structure (Distinct) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

CPU Time for 10 Lowest Eigenpairs, Cantilever Beam Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Convergence by Lanczos method(Chen 1993) Cantilever beam (distinct) Starting values of proposed method   : 1st, 2nd eigenpairs  : 3rd, 4th eigenpairs  : 5th, 6th eigenpairs  : 7th, 8th eigenpairs  : 9th, 10th eigenpairs     Convergence by Lanczos method(Chen 1993) Cantilever beam (distinct) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Convergence of the 1st eigenpair Cantilever beam (distinct)  : Proposed Method  : Subspace Iteration Method (q=2p)   이와 같은 예제 구조물에 대해 독립, 종속 란쪼스 벡터를 각각 10개, 20개, 10개씩 증가하면서 100개 까지 10번 수행하였습니다. 본 그래프는 차수가 10, 20, 30 등으로 감소된 고유치 문제를 수행하였을 때 Physical Error Norm 10에 마이너스 6승을 만족하는 리쯔짝의 수를 그래프화 하였습니다. 초기의 그래프의 기울기는 약 3분의 1로 이는 Physical Error Norm 10에 마이너스 6승을 만족하는 10개의 고유치를 구하기 위해서는 30개의 독립, 종속 란쪼스벡터를 이용하여 해석해야 한다는 것을 의미합니다. 알고리즘상 차수가 50인 시스템에 대해 그 두배인 100개의 독립, 종속 란쪼스 벡터를 이용하면 모든 값들이 정확하게 해석적 결과와 일치 해야 하며 이 그래프에서는 이를 명확하게 나타내 주고 있습니다. Convergence of the 1st eigenpair Cantilever beam (distinct) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Convergence of the 5th eigenpair Cantilever beam (distinct)  : Proposed Method  : Subspace Iteration Method (q=2p)   이와 같은 예제 구조물에 대해 독립, 종속 란쪼스 벡터를 각각 10개, 20개, 10개씩 증가하면서 100개 까지 10번 수행하였습니다. 본 그래프는 차수가 10, 20, 30 등으로 감소된 고유치 문제를 수행하였을 때 Physical Error Norm 10에 마이너스 6승을 만족하는 리쯔짝의 수를 그래프화 하였습니다. 초기의 그래프의 기울기는 약 3분의 1로 이는 Physical Error Norm 10에 마이너스 6승을 만족하는 10개의 고유치를 구하기 위해서는 30개의 독립, 종속 란쪼스벡터를 이용하여 해석해야 한다는 것을 의미합니다. 알고리즘상 차수가 50인 시스템에 대해 그 두배인 100개의 독립, 종속 란쪼스 벡터를 이용하면 모든 값들이 정확하게 해석적 결과와 일치 해야 하며 이 그래프에서는 이를 명확하게 나타내 주고 있습니다. Convergence of the 5th eigenpair Cantilever beam (distinct) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Grid Structure with Lumped Dampers (Multiple Case)  Material Properties Tangential Damper :c = 0.3 Rayleigh Damping : =  = 0.001 Young’s Modulus :1,000 Mass Density :1 Cross-section Inertia :1 Cross-section Area :1  System Data Number of Equations :590 Number of Matrix Elements :8,115 Maximum Half Bandwidths :15 Mean Half Bandwidths :14 100@0.1=10 100@0.1=10 Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Results of Grid Structure (Multiple) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

CPU Time for 10 Lowest Eigenpairs, Grid Structure Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Convergence by Lanczos method(Chen 1993) Grid structure (multiple) Starting values of proposed method  : 1st, 3rd eigenpairs  : 2nd, 4th eigenpairs  : 5th, 7th eigenpairs  : 6th, 8th eigenpairs  : 9th, 11th eigenpairs  : 10th, 12th eigenpairs       Convergence by Lanczos method(Chen 1993) Grid structure (multiple) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Convergence of the 2nd eigenpair Grid structure (multiple)  : Proposed Method  : Subspace Iteration Method (q=2p)   이와 같은 예제 구조물에 대해 독립, 종속 란쪼스 벡터를 각각 10개, 20개, 10개씩 증가하면서 100개 까지 10번 수행하였습니다. 본 그래프는 차수가 10, 20, 30 등으로 감소된 고유치 문제를 수행하였을 때 Physical Error Norm 10에 마이너스 6승을 만족하는 리쯔짝의 수를 그래프화 하였습니다. 초기의 그래프의 기울기는 약 3분의 1로 이는 Physical Error Norm 10에 마이너스 6승을 만족하는 10개의 고유치를 구하기 위해서는 30개의 독립, 종속 란쪼스벡터를 이용하여 해석해야 한다는 것을 의미합니다. 알고리즘상 차수가 50인 시스템에 대해 그 두배인 100개의 독립, 종속 란쪼스 벡터를 이용하면 모든 값들이 정확하게 해석적 결과와 일치 해야 하며 이 그래프에서는 이를 명확하게 나타내 주고 있습니다. Convergence of the 2nd eigenpair Grid structure (multiple) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Convergence of the 9th eigenpair Grid structure (multiple)  : Proposed Method  : Subspace Iteration Method (q=2p)   이와 같은 예제 구조물에 대해 독립, 종속 란쪼스 벡터를 각각 10개, 20개, 10개씩 증가하면서 100개 까지 10번 수행하였습니다. 본 그래프는 차수가 10, 20, 30 등으로 감소된 고유치 문제를 수행하였을 때 Physical Error Norm 10에 마이너스 6승을 만족하는 리쯔짝의 수를 그래프화 하였습니다. 초기의 그래프의 기울기는 약 3분의 1로 이는 Physical Error Norm 10에 마이너스 6승을 만족하는 10개의 고유치를 구하기 위해서는 30개의 독립, 종속 란쪼스벡터를 이용하여 해석해야 한다는 것을 의미합니다. 알고리즘상 차수가 50인 시스템에 대해 그 두배인 100개의 독립, 종속 란쪼스 벡터를 이용하면 모든 값들이 정확하게 해석적 결과와 일치 해야 하며 이 그래프에서는 이를 명확하게 나타내 주고 있습니다. Convergence of the 9th eigenpair Grid structure (multiple) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Three-Dimensional Framed Structure with Lumped Dampers(Close Case) 2@3.01=6.02 2@3=6 6@3.01=18.06 12@3=36 6@3=18 Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

 Material Properties  System Data Lumped Damper :c = 12,000.0 Rayleigh Damping : =-0.1755  = 0.02005 Young’s Modulus :2.1E+11 Mass Density :7,850 Cross-section Inertia :8.3E-06 Cross-section Area :0.01  System Data Number of Equations :1,128 Number of Matrix Elements :135,276 Maximum Half Bandwidths :300 Mean Half Bandwidths :120 Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Results of Three-Dimensional Frame Structure (Close) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

CPU Time for 12 Lowest Eigenpairs, 3-D. Frame Structure Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Convergence by Lanczos method(Chen 1993) 3-D. framed structure (close)  : 1st, 2nd eigenpairs  : 3rd, 4th eigenpairs  : 5th, 6th eigenpairs  : 7th, 8th eigenpairs  : 9th, 10th eigenpairs  : 11th, 12th eigenpairs Starting values of proposed method       Convergence by Lanczos method(Chen 1993) 3-D. framed structure (close) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Convergence of the 9th eigenpair 3-D. framed structure (close)  : Proposed Method  : Subspace Iteration Method (q=2p)   이와 같은 예제 구조물에 대해 독립, 종속 란쪼스 벡터를 각각 10개, 20개, 10개씩 증가하면서 100개 까지 10번 수행하였습니다. 본 그래프는 차수가 10, 20, 30 등으로 감소된 고유치 문제를 수행하였을 때 Physical Error Norm 10에 마이너스 6승을 만족하는 리쯔짝의 수를 그래프화 하였습니다. 초기의 그래프의 기울기는 약 3분의 1로 이는 Physical Error Norm 10에 마이너스 6승을 만족하는 10개의 고유치를 구하기 위해서는 30개의 독립, 종속 란쪼스벡터를 이용하여 해석해야 한다는 것을 의미합니다. 알고리즘상 차수가 50인 시스템에 대해 그 두배인 100개의 독립, 종속 란쪼스 벡터를 이용하면 모든 값들이 정확하게 해석적 결과와 일치 해야 하며 이 그래프에서는 이를 명확하게 나타내 주고 있습니다. Convergence of the 9th eigenpair 3-D. framed structure (close) Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

CONCLUSIONS An efficient Eigensolution technique ! The proposed method is simple guarantees numerical stability converges fast. An efficient Eigensolution technique ! Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea

Thank you for your attention. Structural Dynamics & Vibration Control Lab., KAIST, Korea