(1) 필터 구조마다 유한 정세도 특성(finite precision characteristics)이 다름. (2) 구현 비용이 다름. 즉, 사용되는 덧셈기, 곱셈기, 지연소자의 수가 필터 구조마다 차이가 있음. 제06장 필터 구조
IIR 필터의 3가지 방식 구현에 의한 특성 비교 차분방정식: (infinite precision의 계수로 구현) 전달함수: 제06장 필터 구조
(finite precision의 계수로 구현, 양자화 step size : D=0.125) 차분방정식: 전달함수: 제06장 필터 구조
- infinite precision의 계수로 구현 : (직렬형 구조로 구현) - infinite precision의 계수로 구현 : - finite precision의 계수로 구현 : 위 전달함수를 양자화 step size가 0.125인 시스템으로 구현하면, 제06장 필터 구조
전달함수: 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
여러 가지 필터 구조 제06장 필터 구조
Digital filter 구현의 기본소자 unit delay(지연소자), adder(덧셈기), multiplier(곱셈기) 제06장 필터 구조
사용소자 개수 곱셈기: N+M+1 덧셈기: N+M 지연소자: N+M 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
- 사용되는 소자의 개수 제06장 필터 구조
전치 구조(transposed form) 시스템의 입력과 출력을 반대로 정의하고 모든 처리 순서를 반대로 하면, 등가의 시스템이 되는 구조 - 2차의 FIR 필터에 전치 정리를 적용 제06장 필터 구조
- 분자 다항식이 1인 2차의 IIR 필터에 전치 정리를 적용 (proof) 제06장 필터 구조
- 전치 제 I 직접형 구조 제06장 필터 구조
- 전치 제 II 직접형 구조 - 사용되는 소자의 개수 제06장 필터 구조
(예) N=6 이면 2차 필터 3개 N=7 이면 2차 필터 3개, 1차 필터 1개 제06장 필터 구조
고차의 분모 다항식을 2차 다항식으로 인수분해 하는 이유는 1차까지 인수분해하면 일반적으로 허수의 계수가 생기기 때문 - 제 II 직접형 구조로 구현할 경우 고차의 분모 다항식을 2차 다항식으로 인수분해 하는 이유는 1차까지 인수분해하면 일반적으로 허수의 계수가 생기기 때문 제06장 필터 구조
- 유한 정세도 특성은 일반적으로 직렬형 구조가 고차의 직접형 구조에 비하여 우수함. - 위의 전달함수 식에서 2차의 다항식이 인수분해 될 때에, 인수분해 된 분모다항식의 계수인 0.9와 0.64는 원래 원래 분모 다항식의 계수 0.576 보다 큼. 따라서, 구현 될 때, 계수 양자화 에러는 직렬형의 전달함수 보다 작게 된다. 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
- 병렬형을 만들기 위하여 인수분한 후, 부분분수로 만드는 과정 - 부분분수로 나타내면, 제06장 필터 구조
- 계수비교를 통하여 얻은 계수 - 병렬형 구조를 위한 전달함수 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
차분방정식: y[n] = b0 x[n] + b1 x[n-1] + b2 x[n-2] + … + bN x[n-N] 전달함수 : H(z) = b0 + b1 z-1 + b2 z-2 + … + bN z-N 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
- 5탭의 선형위상 필터 경우의 전치 필터의 장점 곱셈기의 수를 5(N)개에서 3((N+1)/2)개로 감소시킴. 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
- 필터에 을 입력시키면 출력이 이 되는 것을 이용 - 즉, 필터에 1을 입력시키면 출력이 전달함수 가 됨을 의미 - 필터에 을 입력시키면 출력이 이 되는 것을 이용 - 즉, 필터에 1을 입력시키면 출력이 전달함수 가 됨을 의미 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
- 반사 계수 - 식을 정리하면, - 반사계수 - 좌측 다항식의 계수 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
- 반사계수 제06장 필터 구조
- 신호의 방향을 바꾸기 위해 다음과 같이 변형 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
- 행렬식으로 표현하면, - 일반적인 상태방정식의 표현 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
유한 정세도 특성(finite precision characteristics or finite wordlength effects) hA/D conversion quantization error : caused by representing the input data by only a small number of bits hcoefficient quantization error : caused by representing the filter coefficients by a finite hproduct roundoff error : caused when the output and results of internal arithmetic operations are rounded(or truncated) hoverflow error : caused when partial sums exceeds the limited wordlength 제06장 필터 구조
Effects on the filter performances h A/D conversion quantization error : - limits the signal-to-noise ratio (SNR) obtainable h coefficient quantization error : - modifies the desired frequency response - modifies the locations of poles and zeros h product roundoff error : - reduces the SNR - cause an oscillation at the filter ouput or the output to remain stuck at a fixed nonzero value(limit cycle) h overflow error : - the output will be wrong 제06장 필터 구조
- 0.9와 0.64는 원래 분모 다항식의 계수인 0.576보다 크다 - 평균적으로 이와 같은 현상이 관찰 - 0.9와 0.64는 원래 분모 다항식의 계수인 0.576보다 크다 - 평균적으로 이와 같은 현상이 관찰 - 계수 양자화 에러는 직접형 구조보다 크다 제06장 필터 구조
- 양자화 step size 가 0.125인 시스템으로 구현 - 직렬형 구조의 필터계수의 양자화 - 직렬형 구조의 주파수 응답이 직접형 구조의 주파수 응답보다 원 주파수 응답에 가깝다 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
- 잡음원 - 유용한 모델이 되기 위한 조건 제06장 필터 구조
- 반올림 라운딩을 사용한 잡음원의 범위 D= 2 Xm/2B+1 = Xm /2B 모든 데이터의 값 ; | X| <1 그러므로, D= 1/2B = 2-B - 하나의 입력 잡음원의 평균과 분산 : 제06장 필터 구조
- 분자다항식이 M차이고 분모다항식이 N차인 제1 직접형 구조의 잡음원의 분산 - 잡음원의 합 - 입력 잡음원의 분산 - 분자다항식이 M차이고 분모다항식이 N차인 제1 직접형 구조의 잡음원의 분산 제06장 필터 구조
- 입력 잡음원과 이로 인한 출력에 대한 차분 방정식 - 출력 의 평균 or - 출력의 분산 제06장 필터 구조
그러므로, - 자기상관함수의 DTFT인 파워 밀도 스펙트럼의 정의 - 자기상관함수 - 위 자기 상관함수의 DTFT인 잡음원 e[n]의 파워 밀도 스펙트럼 제06장 필터 구조
- 위 식을 이용한 출력 자기상관함수의 DTFT인 f[n]의 파워 밀도 스펙트럼 제06장 필터 구조
- 출력의 분산 - 잡음원에 대한 출력의 평균과 분산 : 제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
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제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
제06장 필터 구조
Limit cycles in IIR filters - Two types of limit cycles(limit cycle oscillations) ; (1) Granular limit cycles(due to product round-off) (2) Overflow limit cycles(due to overflow of adders) - Granular limit cycles; (ex) 1st order I I R filter y[n]=x[n] - 0.9y[n-1] x[n]= 10, n=0 = 0, n>0 제06장 필터 구조
Output with rounding (finite precision) Output with no rounding (infinite precision) Output with rounding (finite precision) 제06장 필터 구조
- Overflow limit cycles; (ex) 2nd order I I R filter y[n]= - a1y[n-1] - a2y[n-2] + x[n] ; rounding operation where 제06장 필터 구조
- Overflow limit cycles ; (zero - input case) 제06장 필터 구조
H.W.(6장 연습문제) 6-3, 6-6, 6-10, 6-12, 6-15 제06장 필터 구조