회로이론 Capacitors

축전기의 충전과정 두 개의 금속판을 일정한 간격으로 격리시켜 놓은 상태에서 배터리를 연결하면 배터리의 +극이 연결된 위의 금속판의 전자들이 금속판을 떠나서 배터리의 +극으로 들어가고 같은 시각에 전자들은 배터리의 –극을 통하여 배출되어 –극이 연결된 아래의 금속판으로 축적된다. 시간이 지남에 따라서 위의 금속은 전자를 잃고 양의 전하로 대전되고 아래의 금속판은 전자를 얻어서 음의 전하로 대전된다. 그 결과 두 금속판 사이의 전위차가 증가한다. 두 금속판의 전위차가 증가함에 따라서 전자의 이동률이 점차 감소한다. 두 금속판의 전위차가 배터리의 전위차와 같게 되면 더 이상의 전자의 이동은 없어지고 두 금속판은 배터리와 같은 전압을 갖은 상태를 유지하게 된다.

전기용량( C ) 축전기에 저장될 수 있는 전하량을 축전기의 전기용량(Capacitance)이라고 하고 단위는 Farad(F)를 사용한다. 1V의 전압을 가하여 1Coulomb의 전하를 저장하는 축전기의 용량을 1Farad라고 정의한다. 실제로 사용하는 축전기의 용량은 μF, pF 단위이다. 즉, 전압과 전기용량의 곱으로 해당 축전기에 충전될 수 있는 전하량을 계산할 수 있다.

[예제] a) 60V의 전압을 가했을 때 82.4 x 104 개의 전자가 축전기의 음극판에 저장되었다면 축전기의 전기 용량은 얼마인가? b) 40V의 전압이 470μF의 축전기에 인가되었다면 축전기에 충전되는 전하량은 얼마인가? a) b)

유전체를 통한 전기용량의 증가 축전기의 양극판의 전위차가 증가함에 따라서 두 금속판 사이에 형성되는 전기장의 크기도 증가한다. 전기장의 크기는 전위차에 비례하고 두 금속판 사이의 거리에 반비례한다. 유전체는 부도체 이므로 부도체의 전자는 원자를 쉽게 떠날 수 없다. 그러나 유전체를 축전기의 대전된 금속판 사이에 넣으면 유전체 원자의 전자는 한쪽으로 끌리면서 원자의 극성이 분리도어 아래의 왼쪽 그림과 같은 배열을 이룬다. 이 배열 중간의 극성은 서로 상쇄되고 결과적으로 오른쪽 그림과 같은 효과를 얻게 된다. 이 결과 서로 다른 전하의 간격이 더 좁아져서 전기장의 크기가 증가하고 결과적으로 같은 조건에서 더 많은 전하가 충전될 수 있다.

유전체의 종류 유전체가 전기장을 유도하는 크기를 진공을 기준으로 하여(1.0) 상대적으로 나타내면 아래의 표와 같다. 표의 오른쪽의 값을 상대 유전률이라고 한다. 기준이 되는 진공(공기)의 유전률을 ε0으로 나타내고 크기는 8.85 X 10-12 F/m이다.

전기용량의 결정 전기 용량은 아래의 식과 같이 금속판의 면적에 비례하고 금속판 사이의 거리에 반비례한다. 유전률 상수 는 로서 공기의 유전률 X 상대유전률로 계산되는 값이다. 따라서, 특정 유전체를 사용하는 축전기의 전기용량은 공기를 사용하는(유전체를 사용하지 않는) 축전기의 전기용량에 앞 페이지의 표에 있는 상대 유전률을 곱한 값으로 계산 된다.

[예제] 아래의 그림 a, b, c, d 에서 왼쪽 축전기의 값을 기준으로 하여 오른쪽 축전기의 값을 계산하라. (a) (b)

[예제] 오른쪽 그림의 유전체로 공기를 사용하는 축전기에 대하여 전기용량을 구하라. (b) 금속판에 48V의 전압이 인가되면 저장되는 전하의 량을 계산하라. (c) 두 금속판 사이에 상대유전률 250의 유전체를 사용하였다면 전기용량은 얼마가 되겠는가? (a) 금속판 사이의 거리 d는 금속판의 면적 A는 에 의하여 (b) (c)

축전기의 종류 및 구성 같은 종류라면 전기용량이 클 수록 크기도 커진다. 그러나 사용되는 유전체에 의해서 크기가 작아도 용량은 더 클 수 있다. 작은 크기를 유지하면서 전기용량을 높이기 위해서 여러 가지 방법이 사용된다.

축전기의 내부저항 및 누전 모든 축전기는 접합부위에서 발생하는 약간의 내부 저항을 가지고 있다. 이 저항은 축전기에 모든 축전기는 접합부위에서 발생하는 약간의 내부 저항을 가지고 있다. 이 저항은 축전기에 직렬로 연결된 아주 작은 값의 저항의 형태로 모델링 할 수 있다. 또한, 금속판 사이가 완전이 절연되지 않으므로 충전된 상태로 시간이 지나면 조금씩 방전이 된다. 이러한 방전은 축전기에 병렬로 연결된 매우 큰 값의 저항으로 나타낼 수 있다. 누전 저항 값은 비교적 누전이 빠른 전해 축전기에서는 0.5MΩ 세라믹이나 탄탈륨 축전기와 같이 누전률이 작은 축전기에서는 1000MΩ 정도이다.

전기용량의 표시 축전기의 전기용량은 축전기 몸체에 표시되는데 비교적 큰 축전기의 경우 직접 Farad값이 숫자로 표기된다. 그러나 크기가 작은 경우에는 아래와 같이 특정 표기법이 사용된다. (a) 와 같이 두 개의 숫자만 있는 경우에 단위는 Pico Farad이다. (a)의 경우 20pF 의 용량을 나타낸다. 밑에 있는 K는 103을 나타내는 것이 아니라 +/- 10%의 오차범위를 나타낸다. (b)와 같이 세 개의 숫자의 뒤에 소문자 n, u, p등이 있는 경우에는 세 개의 숫자는 용량을 나타내고 영문 소문자는 nano, micro, pico등의 단위를 직접 나타낸다. (b)의 경우 200nF의 크기를 나타내고 밑의 대문자 J는 +/-5%의 오차범위를 나타낸다. (c)와 같이 세 개의 숫자의 뒤에 하나의 대문자만 오는 경우에는 처음 두 숫자는 크기이고 세 번째 숫자는 뒤에 붙는 0의 개수를 나타낸다. 단위는 암묵적으로 pico Farad이다. 따라서 (c)의 경우 22000pF = 0.022μF를 나타낸다.

축전기의 충전과정 오른쪽의 그림과 같은 회로의 스위치를 닫은 순간 만약 축전기가 완전히 방전된 상태라면 축전기의 전압은 아래의 그래프와 같이 처음에 0인 상태에서 빠르게 증가하다가 이 후 시간이 지남에 따라서 증가율이 떨어질 것이다. 위와 같은 축전기의 전압이 증가하는 모양은 오른쪽과 같은 그래프 모양을 갖는 지수함수를 사용하여 정확히 나타낼 수 있다.

앞의 그래프에서 ( 1 – e-t/τ ) 는 충전 중인 축전기의 전압을 나타내는 그래프의 기본 모양이다. 그래프는 인가된 전압 만큼 증가하므로 아래의 식은 특정 시간에 축전기의 전압을 나타내는데 사용된다. τ 는 시간상수(time constant)로서 저항과 전기용량을 곱한 값이고 단위는 t(시간)이다..

아래 그래프는 시간 t가 τ의 배수가 되는 시점에서의 전압을 나타낸 그래프이다. t = 0 일 때: t = τ 일 때: t = 2τ 일 때: t = 5τ 일 때: 위의 그래프를 살펴보면 축전기에 전압이 인가되고 시간이 시간상수 τ의 다섯 배가 되면 축전기의 전압이 인가된 전압과 거의 같아지는 것을 알 수 있다. 이것을 다르게 표현하면 다음과 같다. 축전기의 충전과정은 RC로 계산되는 시간상수 τ 의 다섯 배의 시간 안에 거의 끝난다.

충전 과정에서의 전류의 변화 축전기의 충전과정에서 전류의 변화도 같은 지수함수로 나타낼 수 있다 아래는 시간에 따른 전류의 변화를 역시 시간상수 τ 단위로 나타낸 그래프이다. t = 0 일 때: t = 1τ 일 때: 축전기의 충전과정에서의 전류는 RC로 계산되는 시간상수 τ 의 다섯 배의 시간 이 지나면 거의 0이 된다.

또한 축전기의 충전과정에서 대부분의 변화는 첫 번째 시간 상수(τ) 안에서 일어난다는 것을 알 수 있다. 완전히 방전된 축전기에 경우에 처음 스위치를 연결하면 전압, 전류, 저항의 관계는 오른 쪽과 같이 축전기를 단락 시킨 상태와 같다. 축전기가 완전이 충전되면 더 이상의 전류는 흐르지 않게 되고 오른쪽 회로와 같이 축전기를 개방한 상태와 같아진다. 회로에서 저항을 사용하지 않는다 하더라고 축전기 내부의 저항이 아주 조금이라도 존재하기 때문에 5 τ의 시간은 현실적으로 절대 0이 될 수 없다. 따라서 다음과 같이 말할 수 있다. 축전기 내부의 전압은 절대로 순간적으로 변화할 수 없다.

충전 과정에서 저항 양단의 전압(vR)의 변화 위의 회로에서 저항과 축전기는 직렬관계이므로 저항을 통하여 흐르는 전류는 충전과정에서 축전기에서 나가는 전류와 같다. 따라서 RC회로에서 저항 양단의 전압은 아래와 같이 나타낼 수 있다. 아래는 저항 양단의 전압을 시간상수 τ의 단위로 계산하여 그린 그래프이다. 그래프의 모양과 계수가 앞 페이지의 전류의 그래프와 같다. 다만 계수 값이 전체 인가전압에 곱해지는 점이 다르다.

[예제] 오른쪽 회로에 대하여: a) 축전기의 충전과정에 나타나는 vC, iC, vR, 의 수학적인 표현식을 구하라. b) 시간상수에 대한 vC의 그래프를 그려라 c) t = 20ms에서의 vC의 값은 얼마인가? d) 현실적으로 어느정도의 시간이 지난 후에 충전과정이 끝났다고 볼 수 있는가?

축전기의 방전과정 위의 왼쪽과 같은 회로에서 스위치가 1에 연결되어 충전이 완료된 후 스위치를 2의 위치로 연결하면 오른쪽 회로와 같게 되어 축전기의 전하는 저항을 통하여 상대방 금속판을 향하여 이동하게 된다. 이 충전과 방전과정에서 축전기의 전압의 변화를 하나의 그래프로 그린 것이 아래의 왼쪽 그래프이다. 오른쪽은 전류의 그래프로서 충전과 0이 되었던 전류는 방전이 되면서 방향이 바뀌면서 큰 전류가 흐르다가 다시 감소하는 모습을 볼 수 있다. 밑의 그래프는 저항 양단의 전압으로서 역시 전류와 마찬가지로 양단의 전압의 차이가 0이었던 상황에서 전압의 극이 바뀌면서 커진 후 다시 지수적으로 감소하는 모습이다.

[예제] 앞 페이지의 그래프의 모습에 따라 지수함수의 식을 세워보면 방전과정에서의 vC, iC, vR의 값은 다음과 같이 표현되는 것을 쉽게 알 수 있다. [예제] 아래 회로에서 스위치를 시간상수의 5배의 시간 간격으로 1과 2로 번갈아 연결했을 때의 vC, iC의 그래프를 그려라. 1 2

τ 값의 변화에 따른 변화 앞의 예제의 회로에서 축전기의 용량을 1μF로 줄이면 τ = R.C의 값은 8ms가 되어서 그래프의 모양은 아래와 주기가 증가한 형태로 촘촘히 그려질 것이다. 다음은 축전기 용량의 크기에 따른 그래프의 모양을 비교한 것이다.

[예제] 오른쪽과 같은 회로에서 t = 0에서 스위치를 1의 위치에 연결 했을 때 축전기 전압의 변화를 수식으로 나타내시오 (b) t = 1τ에서 스위치를 2의 위치에 연결 했을 때 축전기 전압의 변화를 수식으로 나타내시오 (c) (a)와 (b)의 과정을 연결하여 그래프로 그리시오. (b) t= 1τ 에서의 축전기의 전압은: (a) 회로의 전류원을 전압원으로 아래와 같이 바꾼 후 따라서 다음의 회로와 같아진다. 따라서

[예제] 계속 (c) 그래프

축전기에 전하가 존재하는 상태에서의 충전 축전기가 충전될 때 이제까지는 축전기에 전하가 전혀 없는 것으로 간주 했었다. 그러나 초기 충전 시 축전기에 전하가 조금 이라도 남아 있는 상태도 있을 수 있을 것이다. 따라서 축전기에 대한 수식들의 일반 형태는 조금 달라져야 할 것이다. 예를 들어서 왼쪽의 회로에서 스위치를 닫았을 때 축전기의 전압이 0이 아니라 이미 Vi 였다면 최종 전압 Vf (전원의 전압)과의 전위차는 (Vf – Vi)일 것이다. 따라서 시간에 따른 전압의 변화는: 따라서 일반적인 형태의 식은:

[예제] 오른쪽 그림에서 스위치를 닫아서 충전을 시작할 때 축전기의 전압이 이미 4V 였다면: 이 후 시간에 대한 축전기의 전압의 변화를 나타내는 수식을 기술하라. b) 시간에 대한 전류의 양을 표현하는 수식을 기술하라. a) 먼저 시간상수 τ 는: 따라서 축전기의 전압은: b) 초기 전위차에 의한 전류는: 따라서 이 시간 이후의 전류의 수식은: