운동시뮬레이션 제11주 통계역학, 상전이 그리고 아이징 모델 컴퓨터시뮬레이션학과 2016년 봄학기 담당교수 : 이형원 E304호, hwlee@inje.ac.kr

다음주 과제 실습해오기 제 9 장 읽어오기 제 3차 시험 일시 : 5월 18일 5교시 범위 : 6,7,8 장 장소 : E120

소개 무작위 계 : 상호작용 효과 없음 상호작용이 있는 다 입자 계 상전이 : 가스/액체/고체 온도 개념 몬테카를로 방법을 사용한 환경과의 상호작용 자화현상 이해

8.1 아이징 모델과 통계역학 전자스핀과 자기모멘트 강자성(Ferromagnetic)은 나란한 배열을 선호함 𝑆 𝑖 =±1 𝐸=−𝐽 <𝑖𝑗> 𝑠 𝑖 𝑠 𝑗 𝑀= 𝛼 𝑀 𝛼 𝑃 𝛼 𝑀 𝛼 = 𝑠 𝑗 𝑃 𝛼 : 계가 𝛼 상태에 있을 확률

온도 효과 모두 한 방향일 때 최저에너지 상태 각 스핀은 열원(heat bath)로 부터 에너지를 흡수 방출하여 상태 변화 계는 지속적으로 상태를 바꿈 상태 𝛼에 있을 확률 𝑃 𝛼 ~ 𝑒 − 𝐸 𝛼 / 𝑘 𝐵 𝑇 , Boltzmann factor 각 상태를 microstate이라고 함, 2 𝑁 상태 수 스핀의 모든 가능한 조합이 다른 상태가 됨. T

온도효과

거시적인 양 자화 𝑀= 𝛼 𝑀 𝛼 𝑃 𝛼 , 𝑀 𝛼 = 𝑖 𝑠 𝑖 큰 N에 대해서는 이론적으로 해결할 수 없음 자화 𝑀= 𝛼 𝑀 𝛼 𝑃 𝛼 , 𝑀 𝛼 = 𝑖 𝑠 𝑖 큰 N에 대해서는 이론적으로 해결할 수 없음 몇 가지 특수한 경우에만 해를 구할 수 있음 XY 모델 : 스핀이 임의의 방향 Heisenberg 모델 : 3차원 스핀

8.2 평균장 이론 스핀계에 대한 근사 해 𝑀= 𝑖 𝑠 𝑖 =𝑁 𝑠 𝑖 , 𝑠 𝑖 앙상블평균 𝑀= 𝑖 𝑠 𝑖 =𝑁 𝑠 𝑖 , 𝑠 𝑖 앙상블평균 𝐸=−𝐽 𝑖𝑗 𝑠 𝑖 𝑠 𝑗 −𝜇𝐻 𝑖 𝑠 𝑖 , 𝐻 외부 장 𝑃 ± =𝐶 𝑒 ±𝜇𝐻/ 𝑘 𝐵 𝑇 𝑠 𝑖 = 𝑠 𝑖 =±1 𝑠 𝑖 𝑃 ± = 𝑃 + − 𝑃 − = tanh 𝜇𝐻 𝑘 𝐵 𝑇 𝑠 = tanh 𝑧𝐽 𝑠 𝑘 𝐵 𝑇

𝑇< 𝑇 𝑐 𝑇> 𝑇 𝑐

Critical Temperature 𝑠 ~ 𝑇 𝑐 −𝑇 𝛽

근사해 𝑥가 작으면 tanh 𝑥 ≈𝑥− 𝑥 3 3 𝑠 ≈ 𝑧𝐽 𝑠 𝑘 𝐵 𝑇 − 1 3 𝑧𝐽 𝑠 𝑘 𝐵 𝑇 3 𝑠 ≈ 𝑧𝐽 𝑠 𝑘 𝐵 𝑇 − 1 3 𝑧𝐽 𝑠 𝑘 𝐵 𝑇 3 𝑠 ≈ 3 𝑇 𝑘 𝐵 𝑇 𝑧𝐽 3 𝑧𝐽 𝑘 𝐵 −𝑇 1/2 ~ 𝑇 𝑐 −𝑇 𝛽 𝑇 𝑐 = 𝑧𝐽 𝑘 𝐵 =4 , 𝛽= 1 2

8.3 Monte Carlo 방법 𝑃 𝛼 ~ 𝑒 − 𝐸 𝛼 / 𝑘 𝐵 𝑇 상태의 확률 Metropolis 알고리즘 𝑃 𝛼 ~ 𝑒 − 𝐸 𝛼 / 𝑘 𝐵 𝑇 상태의 확률 Metropolis 알고리즘 임의의 스핀 값을 바꾸어 에너지를 계산한다.( 𝐸 2 ) 𝐸 2 < 𝐸 1 이면 바꾼 스핀을 유지한다. 아니면 0과 1사이의 난수 𝑟을 만든다 𝑟< 𝑒 −( 𝐸 2 − 𝐸 1 )/ 𝑘 𝐵 𝑇 이면 스핀을 바꾼다. 아니면 유지한다. 𝑃 1 𝑊 1→2 = 𝑃 2 𝑊 2→1 , detailed balance

동작 원리 𝐸 2 < 𝐸 1 인 경우 𝐸 2 > 𝐸 1 인 경우 𝑊 1→2 =1,𝑊 2→1 = 𝑒 −( 𝐸 1 − 𝐸 2 )/ 𝑘 𝐵 𝑇 𝑃 1 𝑃 2 = 𝑊 2→1 𝑊 1→2 = 𝑒 −( 𝐸 1 − 𝐸 2 )/ 𝑘 𝐵 𝑇 𝐸 2 > 𝐸 1 인 경우 𝑊 1→2 = 𝑒 −( 𝐸 2 − 𝐸 1 )/ 𝑘 𝐵 𝑇 ,𝑊 2→1 =1

8. 4 아이징 모델과 2차 상전이 Metropolis algorithm

경계 조건 주기경계조건(periodic boundary condition) Free boundary condition Fixed boundary condition 경계의 효과를 줄이는 것이 중요함.

자화 값의 변화 온도가 임계 값에 접근할 수록 변화가 심함. 𝑇 𝑐 = 2 ln 1+ 2 ≈2.27, 𝑇 𝑐 =4(평균장 이론)

온도에 따른 자발적 자화 임계온도 이하에서 자발적 자화 형성 𝑀~ 𝑇 𝑐 −𝑇 𝛽 𝛽= 1 2 (평균장 이론) 𝛽= 1 8

열용량 𝐶= 𝑑 𝐸 𝑑𝑇 ~ 1 𝑇 𝑐 −𝑇 𝛼 , 얼마나 효과적으로 가열되는가를 측정하는 양 𝐶= 𝑑 𝐸 𝑑𝑇 ~ 1 𝑇 𝑐 −𝑇 𝛼 , 얼마나 효과적으로 가열되는가를 측정하는 양 𝐸 = 1 𝑁 𝑚 𝛼=1 𝑁 𝑚 𝐸 𝛼

상관관계 𝑓 𝑖 = 𝑠 𝑖 𝑠 0 𝑓 𝑖 ~ 𝐶 1 + 𝐶 2 𝑒 − 𝑟 𝑖 /𝜉 𝐶 1 = 𝑠 2 𝑓 𝑖 = 𝑠 𝑖 𝑠 0 𝑓 𝑖 ~ 𝐶 1 + 𝐶 2 𝑒 − 𝑟 𝑖 /𝜉 𝐶 1 = 𝑠 2 𝑓 𝑖 − 𝐶 1 ~ 𝐶 2 𝑒 − 𝑟 𝑖 /𝜉 𝜉~ 1 𝑇 𝑐 −𝑇 𝜈

8.5 1차 상전이 자화의 불연속 변화

8.6 Scaling 𝑚 𝑡,ℎ = 𝑡 𝛽 𝑓 ± ℎ 𝑡 𝛽𝛿 𝑡= 𝑇− 𝑇 𝑐 𝑇 𝑐 , ℎ= 𝜇𝐻 𝐽