6. 확 률

경우의 수 (합의 법칙) (1) 두 사건 A, B 가 동시에 일어나지 않을 때, A, B 가 일어나는 경우를 각각 m가지, n가지라고 하면 A 또는 B 가 일어나는 경우의 수는 m+n 가지이다.

(곱의 법칙) 한 사건 A 가 m 가지로 일어나고 그 각각에 대하여 다른 사건 B 가 n가지로 일어날 때 A 와 B 가 동시에 일어나는 경우의 수는 이다.

* point-up 경우의 수를 조사할 때는 다음을 주의한다. (i) 빠짐없이 , 중복되지 않게 조사한다. (ii) 수형도, 사전식 배열법 등을 이용한다.

연습문제 A, B, C, D 의 네 지점을 잇는 도로망이 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라. (1) B 에서 A를 지나 C로 가는 방법의 수 (2) B에서 C 로 가는 방법의 수를 구하라. A D C B

세 개의 문자 a, b, c 중 두 개를 택하여 일렬로 배열하는 방법의 수는? 첫째 자리 둘째 자리 결과 ab ac ba bc ca cb

따라서, 위의 결과는 첫째자리에 들어갈 수 있는 경우의 수에다 둘째자리에 들어갈 수 있는 경우의 수를 곱의 법칙에 의하여 곱한 가지수가 된다. 이것을 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 순열 이라 한다.

순 열 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하여 일렬로 나열하는 방법을 n 개에서 r개를 택하는 순열이라 하고, 이 순열의 수를 로 나타낸다. (단, )

* point-up 에서 r = n 이면, 의 공식

의 활용 (i) 몇 개가 이웃할 때는 순열은 첫째, 이웃한 것을 하나로 생각 둘째, 이웃하는 것끼리 자리바꿈 하여 생각. (ii) < 적어도...> 의 순열은 여집합을 생각한다.

연습문제 1, 2, 3, 4, 5 의 다섯 개의 숫자 중에서 서로 다른 세 숫자를 이용하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수는 모두 몇 개인가? [60]

4명의 가족 A, B, C, D 가 원탁에 둘러 앉는 경우의 수와 일렬로 배열할 때의 차이 ? A B C D ABCD D A “회전방향이 같으므로 같은 경우로 본다.” 따라서 네 자리 가운데 어느 한 자리에 A를 고정해 놓고 나머지 세 자리에 B, C, D를 고정하는 경우도 있으므로 구하는 경우의 수를 (4-1)!*4 라고 해선은 안된다. 따라서 A만 고정한 경우만 생각하면 된다.

원순열 서로 다른 n개의 원소를 원형으로 배열하는 것을 원순열 이라 한다. 또 이를 계산하는 방법은

원순열에서 다음을 생각해 보자. A D C B A B C D 위의 두 가지를 만약에 뒤집어 놓는다면? (예를 들어 목걸이라 하자.) 일반적으로 원형으로 배열할 때 같지 않던 것이 이것을 뒤집어 놓으면 같게 되는 것이 몇 개씩 있을까?

염주순열(목걸이 수열) 서로 다른 n개의 원소를 원형으로 배열한 것을 뒤집어 놓을 수 있는 순열을 염주순열 이라 한다. 이것은 원순열의 개수 중 각각 2개씩 동일한 것이 있으므로 구하는 가지수는

서로 다른 3 개의 과일 사과, 배, 수박 이 있다. 이 중에서 2개를 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 가지 이다. 중복을 허용하면 어떨까? (즉 같은 과일을 택하는 것까지 생각하면?) 위의 순열의 수에 추가하여 (사과, 사과), (배,배), (수박,수박) 의 3가지를 더 생각할 수 있다. 이것을 중복순열 이라 한다.

중복 순열 서로 다른 n 개의 중복을 허용하여 r 개를 택하여 일렬로 나열하는 방법을 n 개에서 이 중복순열의 수를 로 나타낸다.

* point-up 1 2 3 b a 함수의 개수는 중복순열의 수와 같다. 이를테면, X={1, 2, 3} , Y={a, b} 일 때, 집합 X 에서 Y로의 함수의 총수는 이다.

세 문자 a, a, b 를 일렬로 배열하는 순열의 수(x) 그럼 순열의 수는 모두 이다.

같은 것이 있는 순열 n 개 중에서 같은 것이 p개, q개, r개, …. 있을 때, n 개를 모두 택하여 만든 순열의 수는

* point-up 다음과 같은 상황은 [ 같은 것을 나열하는 순열] 의 수를 이용한다. (i) 다음의 그림과 같은 도로망이 있을 때, A 에서 출발하여 B로 가는 최단 경로의 수는 가로로 가는 것을 a , 세로로 가는 것을 b 라고 할 때, a, a, a, a, b, b, b 를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다.

A B 즉, (가지) 와 같다.

(ii) 순서가 정해진 것이 있는 순열의 수는 순서가 정해진 것을 같은 것으로 보고 나열 하는 방법의 수와 같다. Ex) SEOUL 이라는 문자를 모두 써서 만들 수 있는 순열 중 O, U 순서로 있는 경우의 수는 O, U 를 같은 것으로 보고 5개의 문자를 나열하는 방법의 수. 즉, (가지) 와 같다.

연습문제 다섯 개의 문자 a, a, a, b, b 를 모두 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하여라. [10가지]

연습문제 [(1) 81개 (2) 243가지] 다음을 구하여라. (1) 숫자 1, 2, 3 을 사용하여 만들 수 있는 네 자리 정수의 개수 (단, 한 숫자는 여러 번 사용할 수도 있다.) (2)서로 다른 5통의 편지를 A, B, C 의 세 우체통에 넣는 방법의 수

3개의 문자 A, B, C 에서 2개를 택하는 것과 2개를 택해서 나열하는 것 까지 생각하는 순열과의 차이는? 먼저 순열의 수는 (A,B) , (B,A) , (B,C) , (C,B) , (A,C) , (C,A) 이상 6가지. 단지 2개를 택하는 경우의 수는 (A,B) (B,C) (A,C)

조합 서로 다른 n 개에서 순서를 생각하지 않고 r 개 를 택하는 것을 조합이라 하고, 이 조합의 수를 로 나타낸다.

* point-up (ii) 서로 다른 n 개의 물건을 p개, q개, r개 (p+q+r = n) 의 3개조로 나누는 방법의 수는 단, p, q, r 에 있어서 어느 두 수가 같으면 2!, 세 수가 같으면 3! 로 나눈다.

예) 서로 다른 종류의 꽃 15송이를 다섯 송이씩 세 묶음으로 나누는 방법의 수

연습문제 남자 5명, 여자 3명 중에서 남자 3명, 여자 2명의 임원을 선출하는 방법의 수를 구하여라. [ ]

* point-up 이를테면, 숫자 1, 2 에서 중복을 허락하여 3 개를 택하는 조합은 ㄱ 이고, 각 조합의 둘째, 셋째 숫자에 각각 1, 2를 더하면 ㄴ 의 서로 다른 네 숫자 1, 2, 3, 4 에서 3개를 택하는 조합이 된다.

중복조합 서로 다른 n 개에서 중복을 허락 하여 r 개를 택하는 조합을 중복조합 이라 하고, 이 중복조합의 수를 로 나타낸다.

이때, , 의 수는 같으므로 이 성립함을 알 수 있다. ㄱ ㄴ

보충문제 감, 사과, 배 3종류의 과일이 있다. 5개의 과일을 사는 방법은 몇 가지인가? 2. 6명의 선거인이 2명의 후보자에게 무기명으로 투표하는 방법의수는? [ ]

순열, 중복순열, 조합, 중복조합의 차이점 : 중복을 허락하지는 않지만, 순서는 생각한다. : 중복을 허락하고 순서도 생각한다. : 중복을 허락하지 않고 순서도 생각 하지 않는다. : 중복을 허락하고 순서도 생각하지 않는다.

순열 이를테면, 세 개의 숫자 1, 2, 3 에 대하여 생각해 보자. (i) 1, 2, 3 에서 서로 다른 두 개를 뽑아 일렬로 배열하는 경우의 수는 12 , 21 , 13 , 31 , 23 , 32 의 6가지 즉, 순열

중복순열 (ii) 1, 2 ,3 에서 중복을 허용하여 두 개를 뽑아 일렬로 배열하는 경우의 수는 11 , 12 , 13 , 21 , 22 , 23 , 31 , 32 , 33 의 9가지 즉, 중복순열

조합 중복조합 (iii) 1, 2, 3 에서 서로 다른 두 개를 뽑는 경우의 수는 12 , 13 , 23 의 3가지 즉, (iv) 1, 2, 3 에서 중복을 허용하여 두 개를 뽑는 경우의 수는 11 , 12 , 13 , 22 , 23 , 33 의 6가지 즉, 중복조합

갑, 을, 병 의 세 명의 선거인 A, B 의 두 명의 후보 (갑) (을) (병) A B (1) 기명투표 : 모두 A가 2표, B가 1표로 결과는 같지만 갑, 을, 병이 누구를 투표했는가 를 따질 때는 전혀 다른 경우가 된다.

(2) 무기명투표 : (갑) (을) (병) A B A가 2표, B가 1표 A가 1표, B가 2표 각각 한가지로 셈한다. 그러므로 모두 4가지.

* point-up n 명의 선거인이 r 명의 후보에게 투표할 때, 개표 결과는 기명투표일 경우 : 무기명투표일 경우 :

을 전개할 때, 생기는 항의 수? 전개할 때의 나타나는 항들을 생각해 보자. 예를 들어, x, y, z 중에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 조합

부정방정식 에서 (1) 음이 아닌 정수해 : (2) 양의 정수해 :

이것의 항들을 생각해 보자. 4개의 인수 (a+b) 로 부터 각각 a 또는 b 를 하나씩 택하여 곱한 것이다. 예를 들어, 항은 4개의 (a+b) 중에서 3개로부터 b를 택하고, 나머지 하나는 a를 택하여 곱한 것. 즉,

이항정리 이항계수 일반항

* point-up 이항계수의 성질

파스칼의 삼각형

다항정리 일반항 : ( 단, p, q, r 는 0 이상의 정수이고 p+q+r=n)

확대 항의 계수는

연습문제 의 전개식에서 일차항 x 의 계수를 구하여라. [-80]

보충문제 의 전개식에서 의 계수는? 의 전개식에서 계수가 4인 항은 몇 개?

확률에 관한 여러 용어의 뜻 : (1) 시행 : 동일한 조건에서 여러 차례 반복할 수 있는 실험이나 관찰. (2) 표본공간 : 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 전체집합 (3) 사건 : 표본공간의 부분집합 (4) 근원사건 : 사건 중에서 더 이상 세분할 수 없는 기본적인 사건

(5) 전사건 : 표본공간 자신의 집합 (반드시 일어나는 사건) (6) 공사건 : 결코 일어나지 않는 사건 (7) 합사건 : A 또는 B 가 일어날 사건 (8) 곱사건 : A 와 B 가 동시에 일어날 사건

(9) 배반사건 : 두 사건 인 A 와 B 를 서로 배반사건이라 한다. (10) 여사건 : 사건 A 에 대하여 A가 일어나지 않는 사건을 A의 여사건 이라 한다.

확률의 정의 하나의 사건이 일어날 수 있는 가능성을 수치로 나타낸 것 사건 A가 일어날 확률을 P(A) 로 나타낸다.

* point-up 확률의 기본 성질 임의의 사건 A 에 대하여 이며, 특히, 이다. 여사건의 확률 A의 여사건을 , 사건 A가 일어날 확률을 P(A) 라고 하면

수학적 확률 어떤 시행에서 얻어지는 근원사건이 모두 같은 정도로 일어날 것이라고 기대될 때, 전사건 S에 속하는 총수를 n(S) , 사건 A 에 속하는 근원사건의 개수를 n(A) 라 하면, 사건 A가 일어날 확률 P(A) 는

통계적 확률 한 사건 A 가 일어날 확률을 P 라 할 때, n 번의 반복시행에서 사건 A 가 일어난 횟수를 r 이라 하면, 상대돗수 은 n 이 커짐에 따라 확률 P 에 가까워 진다. P : 사건 A 의 통계적 확률

기하학적 확률 영역 B 가 영역 A 에 포함될 때, 영역 B 내의 임의의 점이 영역 A 에 포함될 확률은 기하학적 확률

연습문제 흰 공 3개 , 검은 공 2 개가 들어 있는 주머니 에서 2개의 공을 임의로 꺼낼 때, 두 공이 같은 색일 확률을 구하여라. [ ]

보충문제 한 줄로 6명이 설 때, 특정한 3사람이 이웃하게 될 확률은? 2. 흰 구슬 8개와 붉은 구슬 2개가 들어 있는 주머니에서 무심히 한 개를 꺼낼 때, 이것이 붉은 구슬일 확률은?

3. 20개의 복권 중에 몇 개의 당첨 복권이 들어 있다. 계속해서 2개를 뽑을 때, 그 중 적어도 한 개가 당첨 복권일 확률은 7/19 이라 한다. 당첨 복권의 개수는?

확률의 덧셈정리 (1) 두 사건 A, B 에 대하여 (2) 두 사건 A, B 가 동시에 일어나지 않을 때,

보충문제 주머니 속에 흰공이 4개, 검은 공이 5개 들어 있다. 이 주머니에서 3개의 공을 꺼낼 때, 3개 모두 같은 색일 확률은? 2. 어떤 문제를 갑이 풀 확률이 0.7, 을이 풀 확률이 0.5 , 갑 또는 을이 풀 확률은0.9, 겁과 을이 모두 풀 확률은?

조건부확률 A 안에서 가 일어날 확률 는 A 가 일어났을 때의 B 의 조건부 확률이다.

조건부확률 사건 A(B) 가 일어났다는 가정 아래 사건 B(A) 가 일어날 확률은

보충문제 상자 A에는 흰 공 2개, 검은 공 4개가 들어 있고, 상자 B에는 흰 공 3개, 검은 공 2개가 들어 있다. 이 때, 두 상자 A, B 중에서 한 상자를 임의로 택하고, 그 상자에서 2개의 공을 임의로 꺼냈더니, 흰 공 1개, 검은 공 1개가 나올 때, 택해진 상자가 A 일 확률은?

독립사건, 종속사건 이면, 사건 A와 B는 서로 독립 이라고 하고 이 때, 두 사건을 독립사건 이라 한다. 또, 서로 독립이 아닌 두 사건 즉, 일 때, 두 사건 A, B를 종속사건 이라 한다.

연습문제 어느 고등학교에서 학생들의 혈액형을 조사 하였더니 O형인 학생이 전체의 50% 이었고, O형인 남학생은 전체의 40% 이었다. O형인 학생 중에서 1명을 뽑을 때, 그 학생이 남학생일 확률을 구하면? [ ]

확률의 곱셈정리 독립사건의 곱셈정리 두 사건 A 와 B 가 서로 독립 이면

* point-up 한번 꺼낸 것을 다시 넣지 않는 추출 : 비복원 반대로 꺼낸 것을 다시 넣는 추출을 : 복원 추출 연습문제 흰 구슬 5개, 붉은 구슬 2개가 들어 있는 주머니에서 구슬을 꺼낼 때, 처음에는 붉은 구슬, 두 번째에는 흰 구슬이 나올 확률은? [ ]

* point-up 독립 시행 동전이나 주사위를 여러 번 던질 때와 같이 어떤 시행을 계속해서 되풀이할 때, 매번 일어나는 사건이 서로 독립인 경우 즉, 각 시행의 결과가 그 이전의 시행의 결과에 영향을 미치지 않는 시행

독립시행의 확률 어떤 시행에서 사건 A 가 일어날 확률이 p 이고 그 여사건 이 일어날 확률이 q (q=1-p)일 때, n 번의 독립시행에서 사건 A 가 r 번 일어날 확률 은

연습문제 5개의 동전을 동시에 던질 때, 이 중에서 2개의 동전만 앞면이 나올 확률을 구하면? [ ]