13-4. Cauchy-Riemann Equation

Slides:



Advertisements
Similar presentations
6 장. printf 와 scanf 함수에 대한 고찰 printf 함수 이야기 printf 는 문자열을 출력하는 함수이다. – 예제 printf1.c 참조 printf 는 특수 문자 출력이 가능하다. 특수 문자의 미 \a 경고음 소리 발생 \b 백스페이스 (backspace)
Advertisements

1.3.1 원의 방정식. 생각해봅시다. SK 텔레콤에서는 중화동에 기지국을 세우려고 한다. 이 기지국은 중화고, 중화우체국, 뚝방에 모두 전파를 보내야 한다. 기지국은 어디에 세워야 할까 ? 중화동의 지도는 다음과 같다 원의 방정식.
Add Your Text 5. 지수함수와 로그함수 1. 지수함수 2. 로그함수 · 지수함수와 그 그래프 · 지수방정식과 지수부등식 · 로그 함수와 그 그래프 · 로그방정식과 로그부등식.
이진 나무 구조 강윤섭 2008년 5월 23일.
재료수치해석 HW # 박재혁.
적분방법의 연속방정식으로부터 Q=AV 방정식을 도출하라.
이산수학 논리∙명제에서 알고리즘까지 √ 원리를 알면 IT가 맛있다 ehanbit.net.
9장. C 언어의 핵심! 함수. 9장. C 언어의 핵심! 함수 9-1 함수의 정의와 선언 main 함수 다시 보기 : 함수의 기본 형태 { } 그림 9-1.
(Numerical Analysis of Nonlinear Equation)
공차 및 끼워맞춤.
수치해석 6장 예제문제 환경공학과 천대길.
보고서 #7 (기한: 6/2) 2개의 스택, stk1, stk2를 이용하여 큐를 구현하라.
질의 사항 Yield Criteria (1) 소재가 평면응력상태에 놓였을 때(σ3=0), 최대전단응력조건과 전단변형에너지 조건은σ1 – σ2 평면에서 각각 어떤 식으로 표시되는가? (2) σ1 =σ2인 등이축인장에서 σ = Kεn로 주어지는 재료의 네킹시 변형율을 구하라.
11장. 포인터 01_ 포인터의 기본 02_ 포인터와 Const.
Simulating Boolean Circuits on a DNA Computer
6장. printf와 scanf 함수에 대한 고찰
상관함수 correlation function
예: Spherical pendulum 일반화 좌표 : θ , Ф : xy 평면으로부터 높이 일정한 량 S 를 정의하면
A Moments of Areas.
CH 4. 확률변수와 확률분포 4.1 확률 확률실험 (Random Experiment, 시행, Trial) : 결과를 확률적으로 예측 가능, 똑 같은 조건에서 반복 근원사상 (Elementary Event, e) : 시행 때 마다 나타날 수 있는 결과 표본공간.
주파수 영역에서의 이미지 처리 이미지의 주파수는 밝기의 변화하는 정도를 의미한다.
일차방정식의 풀이 일차방정식의 풀이 순서 ① 괄호가 있으면 괄호를 먼저 푼다.
제4장 제어 시스템의 성능.
Ⅲ. 이 차 방 정 식 1. 이차방정식과 그 풀이 2. 근 의 공 식.
1.4 중첩된 한정기호 (Nested Quantifiers) 이산수학 (Discrete Mathematics)
어서와 C언어는 처음이지 제14장.
술어명제의 해석  ∧ ∨ → ↔  =.
벡터의 공간 이문현.
문제 2명의 사형수가 있다. 둘에게는 검정색 모자와 흰색 모자를 임의로 씌우는데, 자기가 쓴 모자의 색은 절대로 알 수가 없다. 서로 상대의 모자색만을 볼 수 있고, 이들이 살기 위해선 자신의 쓴 색의 모자를 맞춰야 한다. 단, 둘 중 한명만이라도 자신이 쓴 모자의 색을.
공업 수학-II 복소 해석(Complex Analysis) ( 학기)
Term Projects 다음에 주어진 2개중에서 한 개를 선택하여 문제를 해결하시오. 기한: 중간 보고서: 5/30 (5)
Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
컴퓨터 프로그래밍 기초 - 10th : 포인터 및 구조체 -
4장 기하학적 객체와 변환 - 기하 1장 – 그래픽스 시스템과 모델 2장 – 그래픽스 프로그래밍 3장 – 입력과 상호작용
제어시스템설계 Chapter 4 ~ Chapter 5.
합집합과 교집합이란 무엇인가? 01 합집합 두 집합 A, B에 대하여 A에 속하거나 B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 A와 B의 합집합이라고 하며, 기호 A∪B로 나타낸다. A∪B ={x | x∈A 또는 x∈B}
1. 2진 시스템.
2. Boole 대수와 논리 게이트.
보고서 #7 (기한: 6/2) 2개의 스택, stk1, stk2를 이용하여 큐를 구현하라.
1. 일반적인 지수.
Ch.6 주파수 응답과 시스템개념 김하린 오희재 이연재
객체기반 SW설계 팀활동지 4.
미분방정식.
수학10-나 1학년 2학기 Ⅳ.삼각함수 3. 삼각함수의 그래프(7/12) 삼각함수 수업계획 수업활동.
01 로그의 정의 ⑴ 일 때, 양수 에 대하여 을 만족시키는 실수 는 오직 하나 존재한다. 이때 를
수학10-나 1학년 2학기 Ⅱ.부등식의 영역 2. 연립부등식의 영역 (3/5) 부등식 영역 수업계획 수업활동.
수학10-나 1학년 2학기 Ⅱ.부등식의 영역 1. 부등식의 영역(2/5) 부등식 영역 수업계획 수업활동.
이차방정식과 이차함수의 관계 이차함수의 그래프와 축의 위치 관계 이차방정식 의 그래프와 축이 만나는 점의 좌표는 이차방정식
약식 진리표를 이용한 타당성 증명 진리표 그리기 방법의 한계
에어 PHP 입문.
4장. 데이터 표현 방식의 이해. 4장. 데이터 표현 방식의 이해 4-1 컴퓨터의 데이터 표현 진법에 대한 이해 n 진수 표현 방식 : n개의 문자를 이용해서 데이터를 표현 그림 4-1.
Chapter 1 단위, 물리량, 벡터.
제 5장 제어 시스템의 성능 피드백 제어 시스템 과도 성능 (Transient Performance)
부 교 재 : J.-P. Aubin, Applied Abstract Analysis 교과내용 :
Chapter 1 단위, 물리량, 벡터.
행성을 움직이는 힘은 무엇일까?(2) 만유인력과 구심력 만유인력과 케플러 제3법칙.
중복 멤버의 처리 조 병 규 한 국 교 통 대 학 교 SQ Lab..
1. 접선의 방정식 2010년 설악산.
쉽게 배우는 알고리즘 2장. 점화식과 점근적 복잡도 분석
상관계수.
제 22 강 논리식 및 논리 값 shcho.pe.kr.
이산수학(Discrete Mathematics)  술어와 한정기호 (Predicates and Quantifiers)
I. 수와 식 1. 유리수와 순환소수.
수치해석 ch3 환경공학과 김지숙.
수학10-나 1학년 2학기 Ⅱ.부등식의 영역 3. 부등식의 영역에서 최대, 최소(5/5) 부등식 영역 수업계획 수업활동.
수학 2 학년 1 학기 문자와 식 > 미지수가 2개인 연립방정식 ( 1 / 1 ) 연립일차방정식의 해.
교착 상태 해결 : 교착 상태 탐지 교착 상태 탐지(Deadlock Detection)
: 3차원에서 입자의 운동 방정식 제일 간단한 경우는 위치만의 함수 : 시간, 위치, 위치의 시간미분 의 함수
진리표를 이용한 타당성 증명 진리표(truth table) : 단순 문장들이 진리값을 상이하게 가질 수 있는 가능한 모든 경우를 남김없이 열거한 표 (ex) 오늘은 날씨가 맑거나 비가 올 것이다. 오늘은 날씨가 맑다 비가 온다 오늘은 날씨가 맑거나 비가 올 것이다. T.
Countable & Uncountable
Presentation transcript:

13-4. Cauchy-Riemann Equation 복소수 해석 13-3. 도함수와 해석함수 13-4. Cauchy-Riemann Equation Laplace Equation 2007040063 오재영 2007040089 정상민

Complex analysis 도함수와 해석함수

복소 변수 함수 S를 복소수 전체 집합의 부분 집합이라고 하였을 때, S 위에서 정의된 함수 f는 S의 각 원소 z에 복소수 w를 대응시키는 규칙. w를 z에서 f의 값이라 하고, f(z)로 나타낸다. 즉 w=f(z)이다. 집합 S를 f의 정의역이라고 한다. 다음과 같이 z=x+iy에서 함수 f의 값을 w=u+iv라고 하자. u+iv = f(x+iy) 실수 u와 v는 모두 실변수 x와 y에 따라 결정 → f(z) = u(x,y)+iv(x,y) 함수 v의 값이 항상 0이면, f의 값은 언제나 실수이다. 즉, f는 복소 변수 실수 값 함수(real-value function)이다.

복소 변수 함수 Ex) f(z)=z2이면 다음과 같다. f(x+iy) = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy u(x,y) = x2-y2, v(x,y) = 2xy 극좌표를 사용하여 표현하면 f(re iθ) = (re iθ)2 = r2e i2θ = r2cos2θ+ir2sin2θ u(r, θ) = r2cos2θ, v(r, θ) = r2sin2θ

복소 변수 함수 Ex) f(z)=4x2+i4y2 z = x+iy, z=x-iy x = (z+z)/2, y = (z-z)/2 따라서 f(z)=(1-i)z2+(1-i)z2+2(1+i)zz

P(z) = a0 + a1z + a2z2 + • • • + anzn 복소 변수 함수 n차 다항 함수(polynomial function) P(z) = a0 + a1z + a2z2 + • • • + anzn n이 0또는 양의 정수이고 a0, a1, a2, • • •, an은 복소상수, an≠0 다항함수의 항은 유한 개이고 정의역은 복소 평면 전체이다. 다항 함수의 몫P(z)/Q(z)이 유리 함수(rational function)이고, Q(z)≠0인 모든 점에서 정의된다. 함수의 개념을 일반화시켜, 정의역의 점 z에 두 개 이상의 값을 대응시키는 규칙을 생각할 수 있는데 이를 다가 함수(multiple- valued function)이라고 한다.

0 < |z- z0| < δ → |f(z)-w0| < ε 극한 함수 f를 평면의 부분집합 D에서 정의된 함수라고 했을때, z0은 D 또는 D의 경계에 있는 점이라 하자. 만일, 주어진 ε>0에 대해 0 < |z- z0| < δ → |f(z)-w0| < ε 이 되는 δ > 0 을 z0에서 갖는다고 한다면 f는 z0에서 극한 w0을 갖는다고 하고 lim f(z)=w0 이라 쓴다. 여기서 D 안에서 어떤 방법으로든지 z가 z0에 접근할 때 f(z)가 w0로 접근하는 경우에만 f는 점 z0에서 극한 w0을 갖는다. 이것은 실함수인 경우에는 실변수가 좌우에서만 접근하기 때문에 근본적으로 다르게 된다. 복소수 z는 무한히 많은 방향으로부터 z0에 접근할 수 있다. z → z0

극한 y • z0 δ •z x w0 ε •w u v

극한 점 z0에서 함수 f(z)의 극한이 존재하면 그것은 유일하다. : 다음과 같이 가정한다. lim f(z)=w0 , lim f(z)=w1 그러면 임의의 양수 ε에 대해 적당한 양수 δ0과 δ1이 존재해서 다음이 성립한다. 0 < |z- z0| < δ0이면 |w- w0| < ε이고, 0 < |z- z0| < δ1이면 |w- w1| < ε이다. z → z0 z → z0

극한 그러므로 δ를 두 수 δ0과 δ1 중에서 작은 것이라 하면 0 < |z- z0| < δ 일 때 다음이 성립한다. |w1- w0| = |{f(z)- w0}-{f(z)- w1}| ≤ |{f(z)- w0}+{f(z)- w1}| < ε+ε=2ε |w1- w0|은 음이 아닌 상수이고 ε은 임의로 작게 선택할 수 있다. → w1- w0 = 0, 즉 w1 = w0

극한 Ex) 다음 함수를 생각해보자. f(z) = z 이 때, 다음의 극한은 존재하는가? lim f(z) Sol) 만약 극한이 존재한다면, 점 z=(x,y)가 원점에 어떠한 방법으로 가까워지더라도 극한을 찾을 수 있을 것이다. 그런데 실수 축 위의 0이 아닌 점 z=(x,0)에 대해 다음을 얻는다. f(z) = x+i0/x-i0 = 1 그리고 허수 축 위의 0이 아닌 점 z=(0,y)에 대해서는 f(z) = 0+iy/0-iy = -1 z z → 0

극한 • ↓ 그러므로 실수 축을 따라 z가 원점에 가까워질 때를 생각하면, ← 극한은 1이어야 한다. 한편 허수 축을 따라 원점에 가까워질 때를 생각하면, 극한은 -1이어야 한다. 극한은 유일하므로, 이것으로부터 극한이 존재하지 않는다는 결론을 내린다. Z=(0,y) y Z=(x,0) x (0,0) • ↓ ←

lim u(x,y)=u0 , lim v(x,y)=v0 극한에 관한 정리(1) f(z) = u(x,y)+iv(x,y), z0=x0+iy0, w0=u0+iv0 일 때 lim f(z)=w0 이기 위한 필요충분 조건은 다음과 같다. lim u(x,y)=u0 , lim v(x,y)=v0 (1) z → z0 (2) (x,y)→ (x0, y0) (x,y)→ (x0, y0)

극한에 관한 정리(1) 정리를 증명하기 위해서, 먼저 극한 (2)가 성립한다고 가정하고 극한 (1)을 유도해보자. 극한 (2)에 따라서, 임의의 양수 ε에 대해 적당한 양수 δ1과 δ2가 존재해서 다음이 성립한다. 0 < {(x-x0)+(y-y0)}1/2 < δ1이면 |u-u0| < ε/2이고, 0 < {(x-x0)+(y-y0)}1/2 < δ2이면 |u-u0| < ε/2이다. δ를 두 수 δ1과 δ2 중에서 작은 것이라고 하면 다음이 성립한다. |(u+iv)-(u0+iv0)| = |(u-u0)+i(v-v0)| ≤ |u-u0|+|v-v0|, {(x-x0)+(y-y0)}1/2 = |(x-x0)+i(y-y0)| = |(x+iy)-(x0+iy0)| 그러므로 0 < |(x+iy)-(x0+iy0)| < δ이면, (3)과 (4)로부터 다음을 얻는다 |(u+iv)-(u0+iv0)| < ε/2 + ε/2 = ε 즉, 극한 (1)이 성립한다. (3) (4)

극한에 관한 정리(1) 다음으로, 극한 (1)이 성립한다는 가정으로 출발하자. 가정에 의해서, 임의의 양수 ε에 대해 양수 δ가 존재해서 0 < |(x+iy)-(x0+iy0)| < δ이면 |(u+iv)-(u0+iv0)| < ε이다. 여기에서 다음이 성립한다. |u-u0| ≤ |(u-u0)+i(v-v0)| = |(u+iv)-(u0+iv0)|, |v-v0| ≤ |(u-u0)+i(v-v0)| = |(u+iv)-(u0+iv0)|, |(x+iy)-(x0+iy0)| = |(x-x0)+i(y-y0)| = {(x-x0)+(y-y0)}1/2 그러므로 부등식 (5)로부터 0 < {(x-x0)+(y-y0)}1/2 < δ를 얻고, 부등식 (6)에 의해 |u-u0| < ε, |v-v0| < ε을 얻게 된다. 이에 따라 극한 (2)가 성립한다. (5) (6)

극한에 관한 정리(2) (7) lim f(z)=w0 , lim F(z)=W0라고 하면, 다음이 성립한다. lim {f(z)+F(z)} = w0 + W0 , lim f(z)F(z) = w0W0 , 또 W0 ≠ 0이면 다음이 성립한다. lim f(z)/F(z) = w0/W0 z → z0 z → z0 (8) z → z0 (9) z → z0 (10) z → z0

극한에 관한 정리(2) 정리(1)을 사용하면, 실 변수가 두 개인 실수 값 함수의 극한에 관한 정리들로 부터 즉각적으로 유도할 수 있다. f(z) = u(x,y)+iv(x,y), F(z) = U(x,y)+iV(x,y), z0=x0+iy0, w0=u0+iv0, W0=U0+iV0 . 가정 (7)과 정리 (1)에 의해서, (x,y)가 (x0,y0)에 가까워질 때 함수 u, v, U, V의 극한이 존재하고 그 값은 u0, v0, U0, V0이다. 따라서 (x,y)가 (x0,y0)에 가까워질 때 다음 곱의 실수 부분과 허수 부분의 극한은 각각 u0U0-v0V0과 u0U0+v0V0이다. f(z)F(z) = (uU-vV)+i(vU+uV) 그러므로 또 다시 정리(1)에 의해 z가 z0에 가까워질 때 f(z)F(z) 의 극한은 (u0U0-v0V0)+i(v0U0+u0V0)가 된다. 이것은 w0W0와 같다. (8)과 (10)에 대해서도 마찬가지이다.

연속(continuous) 다음 세 조건이 모두 성립할 때, 함수 f는 z0에서 연속이다. lim f(z)가 존재한다. lim f(z) = f(z0) 정리1. 연속 함수끼리의 합성 함수는 연속이다. 정리2. 함수 f(z)가 점 z0에서 연속이고 0이 아니면, 그 점의 적당한 근방 전체에서 f(z)≠0이다. → f(z) = u(x,y)+iv(x,y)가 점 z0=(x0,y0)에서 연속이기 위한 필요충분 조건은 성분 함수가 모두 그 점에서 연속이다. z → z0 z → z0

도함수(derivative) 함수 f의 정의역은 점 z0의 적당한 근방을 포함한다고 하자. z0에서 f의 도함수를 f′(z0)으로 나타내는데 다음과 같이 정의함. 단, 위의 극한이 존재하는 경우에만 도함수가 정의된다. z0에서 f의 도함수가 존재할 때, 함수 f는 z0에서 미분가능하다고 한다. 변수 z를 다음과 같은 새로운 복소 변수로 나타내보면 ∆z = z - z0 따라서 z → z0 f(z) - f(z0) z - z0 f′ (z0) = lim ∆z → 0 f(z0 +∆z) - f(z0) ∆z f′ (z0) = lim

도함수(derivative) 함수 f는 z0의 적당한 근방 전체에서 정의되기 때문에, 충분히 작은 |∆z|에 대해 f(z0+∆z)의 값이 항상 정의된다. ∆w = f(z+ ∆z)-f(z)로 표현하기로 한다. y • ∆z x z0 z0+∆z

도함수(derivative) f(z)=|z|2은 미분가능한가???

도함수(derivative) Ex) 함수 f(z)=|z|2이라고 하자. 임의의 점 z에서 다음을 얻는다. 만약 의 극한이 존재한다면, ∆z평면에서 점 ∆z=(∆x, ∆y)를 임의의 방법으로 원점에 가깝게 함으로써 구할 수 있다. 특히, ∆z가 실수 축 위의 점 (∆x, 0)을 따라 원점에 수평으로 가까워질 때 다음이 성립한다. 이 경우에 다음을 얻는다. = |z+∆z|2 – |z|2 ∆z ∆w (z+∆z)(z+∆z) – zz z+∆z+z ∆z ∆z ∆w ∆z ∆z = ∆x+i0 = ∆x-i0 = ∆z ∆w ∆z z+∆z+z =

도함수(derivative) ∆w 그러므로 만약 의 극한이 존재한다면, 그 값은 반드시 z+z이다. ∆z 그렇지만 ∆z가 허수 축 위의 점(0, ∆y)를 따라 원점에 수직으로 가까워질 때, 다음이 성립한다. 이 경우에는 다음을 얻는다. 그러므로 이 극한이 존재한다면, 그 값은 반드시 z-z이다. 극한은 유일하므로 다음이 성립해야 한다. z+z = z-z 즉, z=0이고 dw / dz가 존재한다면 z=0에서만 존재하고, 그 때의 값은 0이다. ∆z = 0+∆y = -(0+i∆y) = -∆z ∆w ∆z z+∆z-z =

도함수(derivative) f(z)=|z|2 f '(z)=0 (z=0일때), z≠0이면 미분할 수 없다.

도함수(derivative) 위의 문제는 어떤 특정한 점에서는 미분할 수 있지만 그 점의 임의의 근방에 속하는 모든 점에서는 미분할 수 없는 함수가 존재함을 보여준다. f(z) = |z|2의 실수 부분과 허수 부분은 각각 다음과 같다. u(x, y) = x2+y2, v(x, y) = 0 그러므로 이 예는 또한 복소 변수 함수의 실수 부분과 허수 부분이 어떤 점에서 모든 계의 연속인 편도함수를 갖지만, 그 복소 변수 함수를 그 점에서 미분하지 못할 수 있음을 보여준다. 함수 f(z) = |z|2은 위의 그 성분이 모든 점에서 연속이기 때문에, 복소 평면의 모든 점에서 연속이다. 그래서 함수가 어떤 점에서 연속이더라도 그 점에서 미분하지 못할 수 있다. 그렇지만 함수가 어떤 점에서 미분할 수 있으면 그 점에서 연속이다라는 명제는 참이다.

도함수(derivative) f는 점 z에서 미분가능한 함수이고, c는 복소상수 일 때 다음과 같다. 또 정수 n에 대해 다음이 성립한다. 마찬가지로 두 함수 f와 F의 도함수가 존재하면 합, 차, 곱, 나누기가 성립하고 chain rule또한 만족하게 된다. ∆ ∆z c=0 z=1 {cf(z)}=cf′(z) ∆ ∆z zn=nzn-1

복소함수의 해석성 lim f(z) - f(z0) z - z0 = f(z0+h) - f(z0) h 모든점에서 f가 미분가능함을 뜻한다. f가 정의역 내의 각 점에서 해석적이면 f는 정의역에서 해석적이라 하고 이 때 f를 해석함수라 한다. 함수가 복소평면 전체에서 해석적이면 전해석함수라 한다. 함수가 해석적이 되지 못하는 점을 특이점이라 한다. 복소평면의 미분에서 주의해야 할 것은 z가 z0으로 어떤 방향에서 접근하든지 관계없이 극한이 존재해야만 한다는 것이다. 즉, |h|가 0으로 접근해야만 할지라도 h의 편각은 임의로 변한다. 이 사실은 복소함수의 미분과 실함수의 미분 사이의 근본적인 차이이다.

Cauchy-Riemann Equation provides a necessary and sufficient condition for a differentiable function to be analytic in an open set

Real function

Complex function

Cauchy-Riemann Equation = + = = -

= +

= + =

= + =

Cauchy-Riemann Equation = = -

Cauchy-Riemann Equation = - - =

ex1

= = - = = = =

= = - = = => Analytic

ex2 Is analytic

Cauchy-Riemann Equation = ) ( ,

= =

Laplace Equation = + ( : nabla)

12.9 Laplacian in polar coordinate

= = -

Laplace Equation

Laplace Equation u, v  Conjugate harmonic function (공액조화함수, 켤레조화함수) Harmonic function이 Cauchy-Riemann Equation을 만족할 때 u, v  Conjugate harmonic function (공액조화함수, 켤레조화함수)

ex2 전 복소평면에서 조화함수 임을 검증하고, u의 공액조화함수 v를 구하라.

=> Harmonic function Sol) => Harmonic function

 =>