4. ELECTROSTATICS 1 (정전기학 1) 7e Applied EM by Ulaby and Ravaioli

정전기학 1 학습내용 4. 1 Maxwell's equations (맥스웰방정식) 4. 2 Charge (전하) 4 정전기학 1 학습내용 4.1 Maxwell's equations (맥스웰방정식) 4.2 Charge (전하) 4.3 Coulomb's law and electric field) (쿨럼법칙과 전기장) 4.4 Gauss's law (가우스법칙) 4.5 Electric potential (전위) 4.6 Conductors (도체) 정전기학 2 학습내용 4.7 Dielectrics (유전체) 4.8 Boundary conditions (경계조건) 4.9 Capacitance (정전용량) 4.10 Electrostatic energy (정전기장 에너지) 4.11 Image method (영상법)

4.1 Maxwell’s Equations (맥스웰방정식) Static (정, 시간에 따라 변하지 않는) ; Dynamic (교류, 시간에 따라 변하는) Electrostatics (정전기학) D : 전속밀도 (C/m2) ρv : 전하밀도 (C/m3) E : 전기장 세기 (V/m) 맥스웰 방정식 Magnetostatics (정자기학) B : 전속밀도 (Wb/m2) H : 전기장 세기 (A/m)

4.2 전하(Charge) 4.2.1 전하의 발생 - 전하: 전기를 띤 입자. 전기장을 발생시키는 원천 - 원자가 전자를 잃으면 양전하(+) 떨어져 나간 전자 (electron)는 음전하 He 원자 - 기본전하: 양성자, 전자 (중성자는 전기를 띠지 않음) - 기본전하의 불균형  양이온, 음이온

4.2.3 전하량의 양자화(Quantization of Charge) - 전하량은 기본전하량(양성자, 전자)의 정수배로만 존재 - 전하량의 단위: Coulomb (C) 양성자 (proton) 1개의 전하량  전자 (electron) 1개의 전하량  전하량 보존의 법칙(Conservation of Charge) - 전하의 총량은 불변 - 전자의 재배치가 있었으나 전체로는 전하량이 불변

4.2.4 Charge Distributions (전하분포) Point charge: q Volume charge density (체적전하밀도) Total Charge in a Volume Surface charge density (면전하밀도) Line charge density (선전하밀도)

4.3 Coulomb’s Law (쿨럼법칙) 전하에 의한 전기장, 전기장에 전하에 가하는 힘 Electric field at point P due to single charge Electric force on a test charge placed at P Electric flux density D (C/m2) [진공의 유전율 (permittivity)]

Charles-Augustion de Coulomb (쿨럼) (1736-1806) - A French military engineer and physicist - 과학에 기여한 내용: - 쿨럼법칙, 정전기력 - 마찰력

4.3.1 점전하에 의한 전기장 계산 (관측점의 위치벡터) (전하의 위치벡터)

4.3.2 Electric Field Due to Multiple Charges

4.3.3 Electric Field Due to Charge Distributions 분포전하에 의한 전기장: 적분하여 구한다.

선전하의 전기장

루프 전하의 전기장

원판 전하의 전기장

4.3.4 전기력선 (Electric Field Lines, Electric Flux) 전기력선의 조밀도가 전계강도의 크기

4.3.5 전속밀도(Electric Flux Density) - 유전율이 다른 매질에서는 동일한 전하량에 의해서 발생하는 전기력선의 수가 달라짐 - 유전율의 영향을 고려한 물리량이 필요 (전속밀도, 단위: C/m2)

4.4 Gauss’s Law 4.4.1 가우스법칙 전하로부터 사방을 나가는 전기력선의 합 = 전하량 Application of the divergence theorem gives:

가우스 법칙의 도식적 이해

가우스 법칙 증명

Carl Fridrich Gauss (1777-1855) - A German mathematician - 과학에 기여한 내용 수학: Number theory, geometry, probability, geodesy, theory of functions 물리학: Planetary astronomy, potential theory, electromagnetism

4.4.2 맥스웰의 1번 방정식 (맥스웰의 1번 방정식)

James Clerk Maxwell (1831-1879) - A Scottish scientist - 과학에 기여한 내용 - 전자기장 법칙: 맥스웰 방정식. 전기신호, 전자파, 광파에 적용되는 이론 특수상대성 이론, 양자역학 등 현대 물리학의 기초가 되었음. - 기체운동법칙: Maxwell-Boltzman distribution - First durable color photograph in 1861

4.4.3 Applying Gauss’s Law Construct an imaginary Gaussian cylinder of radius r and height h:

점전하에 의한 전기장 (구표면에서 Er 일정) 쿨롱의 법칙에 의한 전계강도와 동일한 결과

구 표면 전하에 의한 전기장

무한평판에 의한 전기장

Analysis problem: an isolated point charge 1. A point charge at the center of a spherical PEC (perfect electric conductor) surface. 2. The PEC surface is uniformly charged. 3. Let the radius of the PEC surface go to infinity. 4. The electric field due to the point charge remains unchanged.

Analysis problem: electric field inside a uniformly charged spherical Show that E = 0 at an interior point P.

Analysis problem: electric field inside a nonuniformly charged sphere 1. Uniformly charged sphere with Q at the center 2. Uniformly charged sphere without Q inside 3. Nonuniformly charged sphere

Analysis problem: electrostatic charging 1. Uncharged: no surface charge 2. Charged by a point charge Q inside: - Inside surface: charged with −Q - Outside surface: charged with +Q 3. Charged from outside: - Surface at infinity: charged with -Q

4.4.4 Charging (대전) - Charge on conductors: redistribuited - Inside conductors: E = 0

4.4.5 발산(Divergence) 발산의 정의: 단위체적당 폐곡면을 통해 나가는 속 (flux) (작은 폐곡면에 대한 전속) 발산의 정의: 단위체적당 폐곡면을 통해 나가는 속 (flux)

Del 연산자

발산의 의미 - 발산은 각 점에서 정의됨. - 아래 그림에 표시한 점에서의 발산의 부호을 구해 보라.

벡터함수의 발산 - 발산은 모든 벡터함수에 적용할 수 있는 벡터연산 - 아래 그림의 점 P 에서의 발산을 분석하라.

Analysis problem: div D

4.4.6 발산 계산공식 (암기) (책에서 찾아서 사용) (책에서 찾아서 사용)

4.4.7 발산정리(Divergence Theorem) 임의의 체적을 미소체적으로 나눔 [발산정리(Divergence Theorem)] 발산정리의 용도: 체적 적분 ↔ 면적분

4.5 Electric Scalar Potential (전위) V : 전위 W : 에너지 (일) F : 힘 Minimum force needed to move charge against E field:

4.5.1 전기장 에너지 전기장에서 전하를 이동시키기 위해서는 전기력과 반대의 힘을 가해야 함. 전기장에서 전하를 이동시키는데 소요되는 에너지

Exercise problem: work done in an electrostatic field

4.5.2 전위차 V21 : 전위차 점 2의 전위에서 점 1의 전위를 뺀 값 점 1을 기준으로 한 점 2의 전위

전위차 (Potential Difference)의 경로불변 법칙 전하의 이동경로에 따라 일의 차이가 있는가? 답: 경로에 관계 없이 한 일 동일 전하의 이동경로에 따른 일의 차이는 없음! 즉, 다른 경로를 이용하더라도 시작점과 끝점이 같으면 소요에너지는 동일!

전위차 (Potential Difference)와 에너지 (일) 전위차: 점 1(V1)에서 점 2(V2)로 단위전하를 이동시키는데 소요되는 에너지 전위(절대전위): 점 1을 r = ∞로 설정한 전위 → 에너지(일) = 전하량 x 전위차

점 전하에 의한 전위차 전위차는 시작점과 끝점의 위치에만 의존하고 두점을 연결하는 경로에 관계 없음

선적분 계산 dL은 항상 dx, dy, dz를 사용하고 방향은 적분 시점, 종점으로 제어

Exercise problem: potential of an infinite line charge

4.5.3 전위 (Electric Potential) 전위: 무한히 먼 점과 현재 점의 전위차 점 P2의 전위 전위: 무한히 먼 거리에 있던 단위전하를 그 위치로 이동시키는데 사용된 에너지

다수의 점전하에 의한 전위 → 중첩원리 적용 점전하 Q1에 의한 전위 다수의 점전하에 의한 전위

4.5.4 분포전하에 의한 전위 For a point charge, V at range R is: In electric circuits, we usually select a convenient node that we call ground and assign it zero reference voltage. In free space and material media, we choose infinity as reference with V = 0. Hence, at a point P For continuous charge distributions:

루프 전하의 전위 쿨럼공식으로 구한 전기장:

구면 전하의 전위 E = 0 from Gauss’s law → 구 내부의 모든 점에서 전위 일정

4.5.5 키르히호프의 전압법칙(KVL) (보존장) 폐경로를 따라서 전하를 이동시켜 다시 시작점으로 돌아온다면 소요되는 에너지는 항상 0이다. 키르히호프의 전압법칙(KVL) (보존장)

4.5.6 전위와 전기장

전위를 이용한 전계강도의 계산 전기장의 방향은 전위가 가장 빠르게 감소하는 방향

구배연산자(Gradient Operator) 두 점 사이의 온도차이를 편미분으로 표시 구배 연산자(Del operator): 3차원 벡터 변화율 연산자

구배연산자의 의미 이 와 동일한 방향일 때( ) 온도가 가장 많이 변화

: 3차원 변화량 (x, y, z 각 방향의 변화량; 벡터) 아래 그림을 보고 gradient 연산자의 의미를 이해하라. 함수: f (x, y)

Exercise problem: gradient

등전위면 사이에 형성되는 전기장의 방향 → E의 방향은 전위(전압) 가장 빠르게 감소하는 방향 - 전위의 변화율이 가장 큰 방향(최단거리)에 정반대 방향으로 전기장이 형성 → E의 방향은 전위(전압) 가장 빠르게 감소하는 방향

전기장은 등전위체 표면에 수직 dl : 접선방향 벡터 dV = 0 등전위면상에서 → (전기장의 방향)는 등전위체의 표면과 항상 수직

등전위면과 전기력선

전위를 이용한 전계강도 계산의 장점 전위는 스칼라 계산이므로 벡터계산을 하는 쿨롱의 법칙, 가우스 법칙에 비하여 계산이 단순하다.

원통, 구좌표계에서 전위의 구배연산 (직각 좌표계) → 암기 (원통 좌표계) → 책에서 찾음 (구좌표계) → 책에서 찾음

임의 방향 전기 다이폴

Poisson’s & Laplace’s Equations In the absence of charges:

전위함수에 관한 미분방정식 1. 전위함수: potential function, potential field 2. 전위함수 미분 방정식 포싼 방정식: 전하가 있는(분포되어) 영역에서의 미분방정식 inhomogeneous differential equation (우변이 0이 아님) 러플러스 방정식: : 전하가 없는 영역에서의 미분방정식 homogeneous differential equation (우변이 0) 3. 경계조건(boundary condition): 영역의 경계면에서 전위함수가 만족해 야 할 조건 → 해를 유일하게 결정

포싼 방정식, 러플라스 방정식(Poisson’s and Laplace’s Equations) 경계면에서 전위(전압) + 전위함수 미분방정식 = 러플러스 방정식 전하분포 + 경계조건 + 전위함수 미분방정식 = 포싼 방정식 전위함수를 구하는 방법(정전기장 문제를 푸는 방법) 전하분포를 알 경우: 적분, 포싼 방정식 전하분포를 모를 경우: 러플러스 방정식, Conformal mapping 연산(풀이) 방법: 이론적 방법, 수치해석적 방법

러플라스(Laplace) 연산자

Del 연산자:

포싼/러플러스 방정식의 경계조건(boundary condition, BC) 1. Dirichlet(디뤼클’레이) 경계조건: type I, fixed 경계조건 V = V0 on S (closed) 2. Newmann (노이먼) 경계조건: type II, natural, flux 경계조건 3. Robin 경계조건: mixed 경계조건 폐곡면 일부에서는 type I, 나머지에서는 type II 경계조건 Dirichlet = 디뤼클’레이, 디뤼’클리이, 디뤼쉴레이

전하밀도, 전위, 전계강도의 관계 전하밀도 전계강도 전위

라플라스/포싼 방정식의 풀이 삼차원 미분방정식 해법 - 이론적 방법 - 적분법 - 변수분리법 + 직교함수전개법 - 수치해석적 방법 - MoM - BEM, BIM - FD - FEM

라플라스/포싼 방정식의 풀이 단일 독립변수 라플라스 방정식 독립변수가 1개인 경우 비교적 쉽게 해를 얻을 수 있다. 만일 전위가 z 방향으로만 변화한다면  : 단일 독립변수 라플라스 방정식

Exercise problem: potential and electric field in a parallel plate : 단일 독립변수 라플라스 방정식 경계조건:

전압과 전하밀도 – 평행 평판 도체

: 단일 독립변수 라플라스 방정식 경계조건:

: 단일 독립변수 라플라스 방정식 경계조건:

Uniformly Charged Sphere

Laplace Equation for Symmetric Problems

4.6 Conductors (도체) Net electric field inside a perfect conductor is zero.

Field Lines at Conductor Boundary At conductor boundary, E field direction is always perpendicular to conductor surface.

4.6.1 도체의 특성 - 에너지 밴드갭(Band gap): 전자가 가질수 있는 에너지 준위 차 - 전도대: 도체 내에서 외력(전기장)에 의해 전자가 자유롭게 움직일 수 있는 상태 - 자유전자 (free electron): 원자에 의해 구속되지 않고 도체 내에서 자유롭게 움직일 수 있는 전자. 자유전자 농도는 물질의 고유한 특성이며 온도변화에 둔감 - 가전자대: 원자의 최외각 전자궤도에서 원자 주변을 회전하는 전자

자유전자의 발생 - 원자가 모여서 분자를 구성하고 물질을 형성 - 이 때 각 원자의 전자 최외각 궤도가 겹치게 된다. - 전자는 물질전체에 걸쳐 겹쳐진 궤도를 따라 자유롭게 이동할 수 있다. 그림: 좌 = 나트륨에서의 자유전자 이론, 우= 온도에 따른 자유전자 농도

전기전도율에 따른 물질의 분류 - 도체(Conductor): 밴드갭이 없거나 매우 작아서 전자가 손쉽게 전도대로 이동 - 반도체(Semiconductor): 중간 정도의 밴드갭  외부에너지를 가하면 도체로 동작 자유전자 밀도 ne = 1012 - 1019 /m3 실리콘: 1.5 · 1016 /m3, GaAS: 1.8 · 1012 /m3, Ge: 2.4 · 1019 /m3 - 부도체(Insulator): 밴드갭이 너무 커서 전도대로 전자의 이동이 불가능 자유전자 밀도 ne = 106 - 109 /m3 자기, 플라스틱, 고무

4.6.2 완전 도체와 전기장 완전도체 표면에서 V = V0 = constant (전위 일정) E = n En (전기장 벡터는 도체면에 수직 1. 도체내부에 외부에서 전하 주입 2. 모든 전하는 전기력에 의해서 도체의 표면까지 밀려 난다. 도체 내부의 전하량 = 0  도체 내부의 전계강도 = 0 (등전위) 도체면에서의 전하분포: 도체의 형상에 의해 결정됨. 3. 측면방향 힘이 0이 되면 전하는 움직임을 멈춘다.  표면에 수직한 전기장만 존재

대전된 도체 주변의 등전위면과 전기력선 점선 = 등전위면 실선 = 전기력선

속이 빈 도체 내부의 전하에 의한 대전 Q: 아래 그림에서 전기력선과 등전위면을 도시하라.

외부 전기장이 있어도 도체 내부의 전계강도는 0 - 외부 전기장에 의해서 전자가 도체의 표면으로 이동 - 전자의 이동에 의해서 내부전기장 이 생성 - 내부전기장과 외부전기장이 상쇄되어 도체 내부의 전계강도는 0 - 도체표면의 면전하밀도는 전기장의 수직성분 (수평성분 = 0)과 다음 관계

도체는 등전위체(Equipotential Body) 도체 표면에서: V = V0 → dV = 0 dV = V · dL = − E · dL = 0 E  dL

4.6.3 전류(Current), 전류밀도, 전도도 전류: 기준면을 통과하는 전하량 변화의 속도 전류의 방향과 전자의 이동방향

전류: 전기장에 의한 전하의 흐름 불완전도체: 양단에 전위차 인가 가능 (비등전위면) - 전류는 특정방향으로의 전하량 변화 - 전기장이 전자에 전기력을 가하는 경우에만 전류가 흐름 - 전기장은 전위차에 의해서 발생

Convection vs. Conduction Convection (대류): 진공에서 전자가 전기장에 의해 이동 (전류매체 없음) Conduction (전도): 도체에서 전자기 전기장에 의해 이동 (전류매체 있음)

도체 내에서 전자의 이동

전자의 이동속도(drift velocity) - Fermi speed: 자유전자가 불규칙하게 운동하는 속도. 구리 1.57 x 106 m/s - 평균 자유경로(mean free path): 자유전자가 다른 전자와 충돌하지 않고 이동하는 평균 경로 길이. 구리 4 x 10-8 m μe : 전자의 이동도(mobility), m2/(V·s) - 이동속도(drift velocity): 전기장을 인가할 때 자유전자가 이동하는 속도 μh : 정공(hole)의 이동도(mobility), m2/(V·s) - 실리콘 결정: 전자이동도 0.14 m2/(V·s), 정공 이동도 0.045 m2/(V·s) - 탄소 나노튜브: 0.015 m2/(V·s) - 구리: 0.0044 m2/(V·s) - 절연체: 10-13 m2/(V·s)

전류밀도 For a surface with any orientation: 전류=단위시간당 특정면을 통과하는 전하량 단위 ampere (A) J : current density (단위면적당 전류)

전도율(concudtivity)과 저항율(resistivity) - 완전도체: σ = ∞ - 완전부도체 (절연체): σ = 0 - 구리의 전도율: 5.8 x 107 S/m - 바닷물: σ = 4 S/m - 민물: σ = 0.001 S/m

전자의 이동속도(drift velocity) - 직경 1 mm, 길이 1 m의 구리선에 1 V를 인가할 경우 저항은 0.0216 Ω - 전류밀도 = 5.9 · 107 A/m2 - 전하밀도 = −8.5·1028 · 1.6·10-19 = −1.36 · 1010 C/m3 - 전자의 이동속도: 4.3 mm/s - 전자농도는 일정. 전류가 증가할 수록 전자 이동속도 증가

전류밀도 경계조건 For steady current density J in the absence of nonconservative energy sources (1) Normal component : the normal component of a divergenceless vector field is continuous. (2) Tangential component : the tangential component of a curl-free vector field is continuous across an interface. Differential form Integral form The ratio of the tangential components of J at two sides of an interface is equal to the ratio of the conductivities.

4.6.4 저항 (Resistance)과 옴의 법칙

Exercise problem

Exercise problem Resistance of a conducting flat circular washer  (1) Choose a coordinate system : CCS (2) Assume a potential difference V0. (3) Find E . Boundary conditions are : (4) Find the total current I. (5) Find R.  + V0 - (at  = /2 surface)

온도에 따른 저항변화 반도체 (InSb): 온도 증가 시 저항 감소 → ← 도체 (구리): 온도 증가 시 저항 증가 ← 초전도체 (YBa2Cu3): 임계온도 94 K (-179°C) 이하에서 저항이 0

여러 가지 형상의 저항 계산 - 전류가 흐르는 방향을 기준으로 위치에 따라 단면적과 전도율이 함수로 주어진 경우 - 이론적으로 저항을 구할 수 있는 구조: 원뿔, 속이 빈 원통, 속이 빈 구 - 적분을 계산하지 않거나 이론적으로 구할 수 없는 경우 → 근사값 구하기

4.7 Joule’s Law

4.7 Joule’s Law The power dissipated in a volume containing electric field E and current density J is:

Tech Brief 7: Resistive Sensors An electrical sensor is a device capable of responding to an applied stimulus by generating an electrical signal whose voltage, current, or some other attribute is related to the intensity of the stimulus. Typical stimuli : temperature, pressure, position, distance, motion, velocity, acceleration, concentration (of a gas or liquid), blood flow, etc. Sensing process relies on measuring resistance, capacitance, inductance, induced electromotive force (emf), oscillation frequency or time delay, etc.

Piezoresistivity (압전현상) The Greek word piezein means to press R0 = resistance when F = 0 F = applied force A0 = cross-section when F = 0  = piezoresistive coefficient of material

Piezoresistors (압전형 저항)