제 5 강 근대수학의 여명 무리수 (Irrational number) 인도, 아라비아 (0 과 음수 ) 데카르트 - 해석기하학.

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1 제 5 강 근대수학의 여명 무리수 (Irrational number) 인도, 아라비아 (0 과 음수 ) 데카르트 - 해석기하학

2 는 무리수 무리수 (Irrational number) : 기하학적인 수 유비수 / 무비수 주장도 있음 귀류법으로 증명 p, q 모두 짝수이므로 처음 가정에 위배 p, q 모두 유리수가 아니다, 즉 무리수다.

3 인도의 수학 1. 산술 ( 대수 ) 기호사용, 인도 - 아라비아숫자 발명, 10 진법 사용 음수와 영의 발명 결점 - 대중과 분리된 학문, 엄격한 증명을 경시 2. 기하학 브라마굽타의 사각형 면적과 네개의 변의 길이의 관계 바스카라 – 피타고라스정리 증명

4 아라비아의 수학 대수학 ( 방정식 ) 의 발달 – 주로 천문학자 4 세기 -12 세기 중반까지 그리스와 인도의 수학을 통일 : 근세 유럽 수학의 출발점 기하학분야에서 그리스 원본 번역 – 유클리드의 프톨레마이오스 등

5 0 의 개념 로마의 표기법 I II III IV V VI VII VIII IX X … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000 1999 =M CM XC IX 계산어려움 : 중세까지 지속 수메르인 ( 메소포타미아 ) – 60 진법사용

6 프톨레마이오스 구두점 사용 인도 - 아라비아에서 876 년, 오늘날과 같은 0 의 개념 확립 여러가지 0 의 산술적 의미 : 20 에서 4 를 5 번 빼내면 0 이됨 n 에서 0 을 ? 번 빼내면 0 이 됨

7 음수의 발명 상업이 발달한 아라비아 - 인도 양수 = 재산, 음수 = 빚 바스카라 (12 세기 ) : 양수의 제곱도 음수의 제곱도 양수이며 결국 양수의 제곱근은 하나는 양수, 하나는 음수이다. 음수의 덧셈 음수 양수 곱셈 음수 음수 곱셈 온도계 : 매일 온도가 2 도씩 내려가서 오늘 0 도가 되었다. 3 일전에는 몇도였는가 ?

8 왜 부등식 양변에 음수를 곱하면 부등호가 바뀌는가 ? 일반적으로, 음수 c 를 곱한다.

9 대수공식들의 기하학적 증명 + + + = ab a b a a b a a b b b

10 b a-b b a a - b - b - b b

11 b b a + = b a b a ab

12 a b = a b a b + 4 a b a bc =+ a b a c

13 a b cd = + ++

14 중세의 유럽 수학 1. 수도원 수학 5 세기 -11 세기 : 암흑시대, Boethius 식 수학 12 세기 -15 세기 : 이슬람 수학을 기초로 새로운 발달 최고급 서적이 아랍어에서 라틴어로 역번역 2. 13 세기 피보나치 (Fibonacci) : 다음 강의 3. 인도 - 아라비아식 셈법 ( 진보 ) 과 로마식 셈법 ( 보수 ) 의 대립 15 세기 -16 세기 아라비아식 셈법이 일반에 보급 15 세기말 파치올리

15 케플러, 데자르그, 파스칼 - 사영 기하학의 기초 1. 케플러 (Kepler) 1609-1619 행성운동에 관한 세가지 법칙 1604 년, 원추곡선의 연속성의 원리 원 - 타원 - 포물선 - 쌍곡선 - 직선의 연속적 형태 2. 데자르그 배경에 관한 정리 두 삼각형에 대해 대응하는 꼭지점끼리 잇는 세개의 직선이 한 점에서 만나면, 대응변의 세개의 교점은 동일직선위에 있다. 데카르트의 해석기하학의 등장으로 무시됨.

16 3. 파스칼 (Pascal) 파스칼의 수삼각형 : 도박이론을 통해 확률론의 기초 능력이 같은 두 팀 A, B 가 5 판 3 선승제 게임에서 A 가 먼저 1 승을 했다면, A 와 B 가 각각 우승할 확률은 ? 단, 5 경기를 모두 치른다고 가정한다. a: A 가 이기는 경우, b: B 가 이기는 경우 aaaa aaab, aaba, abaa, baaa bbba, bbab, babb, abbb aabb, abba, abab Bbaa, baab, baba 11 : 5 bbbb

17 수삼각형과 이항계수 파스칼의 신비의 육각형 P Q R 사영기하학에서 응용이 풍부한 정리중 하나 : 400 개 이상의 따름 정리가 있다. 직선 PQR : 파스칼 선

18 해석기하학 1. 해석기하학의 정의 좌표를 이용하여 곡선을 방정식으로 표현하는 것으로 진정한 본질은 기하학적 고찰을 대수적 고찰로 바꾸는 데 있다. 2. 해석기하학의 창시자 데카르트 (Descartes) 1637 년, 의 3 번째 부록인 데카르트 이전의 방정식 문제 정육면체 체적과 모서리의 길이의 6 배의 합이 10 이 되도록 모서리의 길이를 정하라. 풀이도 작도를 이용 !!!

19 a x 1 b 선분 곱하기 선분 = 여전히 선분 a x 1 b 선분의 제곱 = 여전히 선분

20 좌표의 개념 : Cartesian Coordinates O 양수 음수 R 점 P 의 위치를 원점 O 를 기준으로 정함 벡터 (vector) R : 크기와 방향을 가진 양 P R 의 크기 R 의 방향

21 원의 방정식 ( 한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합 ) P R x y O Q R’R’ x’x’ y’y’ 원의 방정식