수학을 통해 배우는 IT 과학의 세계 전북대: 한상언 교수.

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1 수학을 통해 배우는 IT 과학의 세계 전북대: 한상언 교수

2 목 차 삼각함수와 컴퓨터 그래픽스 벡터와 현대기하학 행렬과 행렬식 도형변환 (컴퓨터기하학과 관련하여)
목 차 삼각함수와 컴퓨터 그래픽스 벡터와 현대기하학 행렬과 행렬식 도형변환 (컴퓨터기하학과 관련하여) 디지털, 컴퓨터 위상수학, 이산기하학

3 삼각함수, 정수, 벡터, 행렬과 행렬식의 성질 삼각함수의 정의 ?
정수의 집합은 덧셈연산에 관하여 어떤 특성이 있는가? 즉, (Z, +)의 성질 파악! 벡터의 성질 피타고라스 정리 증명(벡터를 이용) 행렬과 행렬식 및 성질

4 기하변환 (Geometric Transformation)
물체의 이동, 축소, 확대, 회전 등 2차원에서만 생각해보자. 2차원의 모든 점의 좌표는 행렬도 표시되고, 특징점만 이동한다. 즉, 다각형: 점, 선 원: 중심, 반경 타원: 중심, 장축, 단축의 길이 곡선: 특징점과 곡률, 뒤틀림 등

5 1. 이동(Translation)

6 1. 이동(Translation)-1 ※ 효율성이 증대됨
다각형의 이동은 그 다각형을 구성하는 정점들에 대해서만 변환을 가한 뒤 이 점들을 연결하는 선을 그리기만 하면 된다 . 원을 이동할 때는 중심의 위치만 이동한 후 동일한 반경으로 그린다. ※ 효율성이 증대됨

7 2. 회전(Rotation)

8 2. 회전(Rotation)-1 ※ 컴퓨터 그래픽에서 사용되는 모든 기하변환은 행렬로 표시됨

9 3. 축소, 확대(Scaling) 좌표축 원점을 기준으로 물체를 축소하거나 확대하는 작업은 다음과 같다.

10 4.균질 좌표계 (1) (Homogeneous Coordinate System)
행렬의 곱셈은 결합법칙이 성립한다. 물체 설계시 연속적인 변환이 가해진다.

11 4. 균질좌표계-1 (Composite Transformation)

12 4. 균질좌표계-2 (Composite Transformation)
※ 모든 2차원 기하변환은 3X3 형식의 3차원 행렬의 곱(적)연산으로 표시됨

13 4. 균질좌표계-3 (Composite Transformation)

14 4. 균질 좌표계 (2) 2차원에서 회전은 원점을 기준으로 이루어지고, 3차원에서 회전은 하나의 회전축을 기준으로 이루어짐

15 5. 좌표계 사이의 변환

16 6. 복합변환 (Composite Transformation)

17 6. 복합변환 (Composite Transformation)
연속적인 기하변환을 복합변환: 중심점 기준 회전(Pivot Point Rotation)은 다음 세 가지 변환이 복합되어 이루어짐 (1) 중심점(pivot)이 좌표축의 원점에 일치하도록 중심점을 이동(Translation)시킴 (2)물체 정점을 좌표축 원점기준으로 회전(Rotation)함 (3) 회전된 물체를 다시 (1)번에 이동한 방향의 반대 방향으로 이동(Translation)시킴

18 6. 복합변환 (Composite Transformation)
이 과정을 복합행렬(Composite Matrix, Concatenated Matrix) C로 표시하면, C= 복합행렬의 응용 : 인체나 로봇의 움직임을 표현할 때, 관절

19 7. 반사 (Reflection)

20 7. 반사 (Reflection) x축을 기준으로 물체를 반사하여 거울에 비친 모습을 얻는 반사변환(Reflection Transformation) 행렬은 다음과 같다.

21 7. 반사 (Reflection)

22 7. 반사 (Reflection) ④물체를 y=x에 대하여 반사할 때도 복합행렬이 이용된다. How?
(1)먼저 y=x 축이 y 축과 정렬되도록 물체와 y=x 축을 동시에 반 시계방향으로 회전시킨다. (2)물체를 y축에 관해 반사시키고 (3) 그 결과를 다시 시계방향으로 회전시켜 되돌려 놓는다. 즉,

23 7. 반사 (Reflection)

24 8. 전단(Shearing) 물체를 잘라낸 모양을 만들기 위한 변환: 여기서 을 적용하여 직사각형을 평행사변형으로 전단 변환

25 8. 전단(Shearing) ★ 테이퍼링(Tapering)(깍기) ★ 휨(Bending) ★ 비틀림(Twisting)
☎ 모든 과학은 수학으로 통한다!

26 감사합니다