A Moments of Areas.

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1 A Moments of Areas

2 Moments of Areas 단면1차 모멘트 Example A.01 합성단면의 1차모멘트와 도심의 결정
단면2차모멘트 또는 관성모멘트 : 회전반지름 Example A. 04 Example A. 05 평행축정리 Example A. 06

3 단면1차모멘트 xy평면에 있는 단면 A를 고려해보자. 단면요소 dA의 좌표를 x, y라 하면, x축과 y축에 관한 단면 A의 1차모멘트는 (A.1) (A.2) Qx와 Qy는 SI국제단위에서는 m3 또는 mm3, 미국관용단위에서는 ft3 또는 in3이다. 단면 A의 도심은 좌표 와 에 위치한 점 C로 정의된다. (A.3) 따라서 단면 A의 1차모멘트는 단면적과 단면적의 도심의 좌표의 곱으로서 표시될 수 있다. (A.4)

4 단면1차모멘트 한 단면이 대칭축을 가지고 있을 때, 그 대칭축에 관한 단면1차모멘트는 0이다.
그림 A.3의 단면적 A를 고려하면, x의 면적요소 dA에 대해서 –x의 면적요소 dA’가 대응하고 있음을 알 수 있다. y축에 대한 단면1차모멘트 이고, 이 되어야 한다. 따라서 단면 A가 한 개의 대칭축을 가지고 있다면, 도심 C는 그 축상에 위치하게 된다. 직사각형과 원형 단면의 중심 C는 기하학적 중심과 일치한다.

5 단면1차모멘트 한 단면에 대칭중심 O를 가지고 있다면, O를 통과하는 모든 축에 대한 단면1차모멘트는 0이다.
대칭으로 인하여 한 단면의 도심 C의 위치가 결정 되었을 때, 주어진 축에 대한 단면1차모멘트는 식(A.4)로 부터 쉽게 구할 수 있다. 그림 A.6의 직사각형 단면의 경우 x, y축에 대한 단면1차모멘트는 그러나 대부분의 경우 단면1차모멘트와 도심을 결정하기 위해서는 식(A.1)에서 식(A.3)까지 나타낸 적분을 계산해야 한다.

6 Example A.01 a) x축에 관한 단면1차모멘트 Qx b) 단면의 도심의 종좌표 를 구하여라. Solution:
a) 1차모멘트 Qx: 폭 u, 미소높이 dy인 미소면적을 취한 후 폭 u를 y에 관한 식으로 나타내면, 이고, b) 도심의 종좌표:

7 합성단면의 1차모멘트와 도심의 결정 단면적을 A1, A2, A3 세부분으로 나누면 식(A.3)을 이용하여 단면1차모멘트를 계산
임의의 수의 단면으로 확대하면 (A.5) 합성단면 A의 도심인 C의 좌표 와 는 (A.6)

8 Example A.02 단면 A의 도심 C의 좌표를 구하라. Solution:
그림 A.11과 같이 좌표축을 택하면 좌우 대칭이므로 도심 C의 X좌표 이 된다. 도심 C의 Y좌표 를 구하기 위해서 단면을 A1, A2로 나누어 계산한다. Area, mm2 , mm , mm3 A1 A2 (20)(80) = 1600 (40)(60) = 2400 70 30 112 × 103 72 × 103

9 Example A.03 예제 A.02에서 도심 C를 지나는 수평축 x’ 위 부분의 단면을 A’라 할 때, x’축에 관한 단면1차모멘트를 구하여라. Solution: 그림 A.13과 같이 단면 A’를 A1, A3로 나누어 계산한다.

10 단면2차모멘트 또는 관성모멘트 : 회전반지름 x, y축에 대한 단면2차모멘트 또는 관성모멘트는 (A.7)
점 O에 관한 극관성모멘트는 (A.8) Ix와 Iy는 SI국제단위에서는 m4 또는 mm4, 미국관용단위에서는 ft4 또는 in4이다. 단면의 극관성모멘트 JO와 직곽관성모멘트 Ix, Iy 사이의 관계는 이므로 (A.9)

11 단면2차모멘트 또는 관성모멘트 : 회전반지름 한 단면 A의 x축에 관한 회전반지름 rx는 (A.10) 를 만족한다. 따라서
같은 방법으로 y축에 관한 회전반지름과 원점 O에 관한 회전반지름은 (A.12) (A.13) 식(A.9)에 해당하는 회전반지름의 항을 대입하면 (A.13)

12 Example A.04 a) 도심축 x축에 관한 단면2차모멘트 Ix b) 회전반지름 rx를 결정하시오. Solution:
a) 관성모멘트 Ix: 폭 b, 미소높이 dy인 미소면적을 취한 후 적분하면, b) 회전반지름:

13 Example A.05 a) 극관성모멘트 JO b) 직각관성모멘트 Ix와 Iy를 구하여라. Solution:
a) 극관성모멘트 JO: 반지름 ρ, 미소두께 dρ인 미소면적을 취한 후 적분하면, b) 직각관성모멘트: 원형단면이므로 이다.

14 평행축정리 임의의 축 x에 관한 관성모멘트 Ix는
x축에 평행하면서 도심을 통과하는 x’축에서 dA 까지의 거리를 y’라하면 y=y’+d 이며, 여기서 d는 두 축 사이의 거리이다. 따라서 관성모멘트는 (A.15) 따라서 평행축정리는 (A.16) (A.17)

15 Example A.06 도심축 x에 관한 관성모멘트 를 구하라. Solution:
i) 도심의 위치: 단면1차모멘트를 이용하여 계산 (예제 A.02)에서 계산됨 ii) 축 x에 대한 단면 A1의 관성모멘트: x’축에 대한 관성모멘트를 구하고 평행축정리를 이용하여 계산

16 Example A.06 iii) 축 x에 대한 단면 A2의 관성모멘트: x”축에 대한 관성모멘트를 구하고 평행축정리를 이용하여 계산 iv) 축 x에 대한 전단면 A의 관성모멘트: