측정 : 넓이란 무엇인가.

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1 측정 : 넓이란 무엇인가

2 4.1 서론 이 장에서 우리는 날마다 다양한 분야에서 사용되는 넓이와 부피에 대한 개념들을 기하학, 대수학, 삼각함수, 확률, 그리고 기초미적분학과 연결하여 주의 깊게 살펴본다.

3 4.2 단순한 도형들의 넓이와 놀라운 결과들 생각열기
그림을 이용하여 가로의 길이가 2cm, 세로의 길이가 3cm인 직사각형의 넓이는 6cm2 임을 보여라. 같은 방법으로, 그림을 이용하여 가로의 길이가 단위 길이의 ½, 세로의 길이가 단위 길이의 1/3인 직사각형의 넓이는 단위 넓이의 1/6임을 보여라. 직사각형의 넓이를 구하는 방법은 정의인가? 정리인가? 직사각형의 넓이를 구하는 방법은 분수의 곱셈을 정당화하는데 유용한가?

4 단위면적(square unit) 1m2, 1yard2, …

5 가로 5, 세로 3인 직사각형 (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)×(세로의 길이)

6 가로 2/3, 세로 3/5인 직사각형 (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)×(세로의 길이)

7 직사각형의 넓이를 구하는 방법은 정의인가? 정리인가?
도대체 뭐가 문제야? (직사각형의 넓이)는 (가로의 길이)×(세로의 길이)잖아. 이것이 직사각형의 넓이 공식이야! 가로의 길이가 이고, 세로의 길이가 인 직사각형의 넓이는?

8 직사각형의 넓이를 구하는 방법은 정의인가? 정리인가?
가로의 길이가 이고, 세로의 길이가 인 직사각형의 넓이가 × 이라는 것을 어떻게 알 수 있을까? (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)×(세로의 길이) 로 정의된 이유

9 넓이를 정의한다는 것 넓이, 길이, 온도 등에 대하여 우리가 사용하는 정의들은 모두 인간에 의해 만들어진 것이다. 표준적인 측정단위를 설정함으로써 우리는 우리가 관찰한 것을 이해할 수 있다.

10 직사각형의 넓이에 대한 정의로부터 유도되는 것들
직사각형의 넓이에 대한 정의로부터 유도되는 것들 직사각형의 넓이를 (가로의 길이)×(세로의 길이)라고 정의함으로써 우리는 다른 도형들의 넓이를 쉽게 유도할 수 있다.

11 직각삼각형의 넓이 정리 4.1 두 변의 길이가 a, b인 직각삼각형의 넓이를 A라고 하면 이다.

12 삼각형의 높이(altitude)에 대한 정의

13 삼각형의 넓이 정리 4.2 임의의 변의 길이가 b, 이 변에 대응하는 높이가 h인 삼각형의 넓이는 이다.

14 평행사변형의 넓이 정리 4.3 밑변의 길이가 x이고 높이가 h인 평행사변형의 넓이는 xh 이다.

15 사다리꼴의 넓이 정리 4.4 짧은 밑변의 길이가 b1, 긴 밑변의 길 이가 b2, 높이가 h인 사다리꼴의 넓이는 이다.

16 피타고라스의 정리 정리 4.5 두 변의 길이가 a, b이고 빗변의 길이가 c 인 직각삼각형에서 a2+b2=c2 이다.

17 피타고라스의 정리의 역 정리 4.6 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형ABC에서 a2+b2=c2 이면 이 삼각형은 직각삼각형이고 각C는 직각이다. △ABC ≡ △CBD 임을 보이자. ( 임을 보이자.)

18 원에 내접하는 정다각형의 넓이

19 4.3 원 생각열기 지구의 적도지름은 7926mile이다. 적도에서의 지구의 둘레의 길이를 구하여라. (단, π ≒ 3.14)
1을 계산하기 위해 어떤 공식을 사용하였는가? 이 공식은 정리인가? 정의인가? π 의 유래는? 원에서 π는 무엇을 나타내는가? 원은 중학교 교육과정에서 중요한 부분이다. 따라서 예비교사들이 원의 역사와 원과 관련된 공식들의 의미와 놀라운 관계들을 아는 것은 매우 중요하다.

20 원의 둘레 1 원의 둘레는 2πr이다. 그것을 어떻게 알 수 있을까? 답을 알면 놀랄지도 모르겠다. 수 천년 전에 원의 둘레 C와 원의 지름 d의 비율이 원의 크기에 상관 없이 항상 같다는 사실이 발견되었다. 이 비율은 3을 약간 넘었다. 이것은 실험에 의해 반복적으로 입증된 발견이었다. 형식적인 증명은 없었다. 그래서 이것은 원의 둘레의 성질에 대하여 받아들여진 사실이었다. 그것은 관찰에 기반한 공리였다. 어쩌면 당신은 ‘그래도 증명이 필요하지 않을까?’ 라고 불안해 할 지도 모르겠다. 그래서 이것이 참이라고 당신을 안심시키기 위해 몇 가지 보강을 할 것이다.

21 원의 둘레 2 그래서 우리는 관찰에 기반하여 원의 둘레와 지름의 길이의 비가 항상 같다는 사실을 받아들일 것이다. 이 비율의 이름이 무엇일까? 영국의 수학자 William Oughtred는 1647년에 쓴 책 Clavis Mathematicae(The Key to Mathematics)에서 원의 둘레(periphery)와 지름의 비율을 나타낼 기호가 있으면 좋겠다고 생각했다. 그런데 수학자들은 수학 기호를 표현할 때 그리스 문자를 사용하는 습관이 있기 때문에, 그는 π를 사용했다. 이는 π가 둘레를 뜻하는 periphery에서 유래했다는 것을 상기시킨다.

22 원의 둘레 3 그래서 π는 원의 둘레와 그것의 지름의 비율 - 모든 원에 대하여 같은 것으로 관찰된 - 로 정의되었다. 즉 정의에 의해 이다. 그래서 명제 은 관찰에 기반한 정의로부터 왔다.

23 4.3.1 원의 넓이에 대한 비형식적 증명

24 4.3.2 원의 넓이에 대한 아르키메데스의 증명 정리 4.7 원의 넓이는 πr2이다.

25 4.3.2 원의 넓이에 대한 아르키메데스의 증명 Let AP : the area of the polygon

26 4.3.2 원의 넓이에 대한 아르키메데스의 증명 Let AP : the area of the polygon

27 4.3.2 원의 넓이에 대한 아르키메데스의 증명 정리 4.7 원의 넓이는 πr2이다.

28 4.3.2 원의 넓이에 대한 아르키메데스의 증명

29 4.3.3 극한과 원의 넓이

30 4.3.4 계산기를 사용하여 원의 넓이 구하기

31 4.3.4 계산기를 사용하여 원의 넓이 구하기

32 4.3.5 π의 계산 아르키메데스는 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정다각형의 변의 개수를 증가시킬 때 그 둘레의 길이를 찾는 방법으로 π의 값을 측정했다. 정다각형의 둘레는 원의 둘레2π에 점점 가까워지기때문에 이 값을 2로 나누면 π를 측정할 수 있다.

33 4.3.5 π의 계산 정리 4.8 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 n개의 변을 가지는 정다각형의 한 변의 길이가 s라고 하자. 이 정다각형의 변의 개수를 두배로 늘렸을 때 만들어지는 새로운 정다각형의 한 변의 길이를 t라고 하면

34 4.3.5 π의 계산

35 4.3.5 π의 계산 따름정리 4.9 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 n개의 변을 가지는 정다각형의 한 변의 길이가 s라고 하자. 이때 2n개의 변을 가지는 정다각형의 둘레의 길이는

36 4.3.5 π의 계산 n=4 일 때 : (정8각형의 한 변) n=8 일 때 : (정16각형의 한 변) n=16 일 때 :
(정32각형의 한 변)

37 4.3.5 π의 계산 따라서 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정32각형의 둘레의 길이는
이것은 반지름의 길이가 1인 원의 둘레의 길이 2π의 근사값이므로

38 4.3.5 π의 계산

39 4.3.6 비정형적인 모양의 넓이 구하기

40 4.3.6 비정형적인 모양의 넓이 구하기 미적분의 기본 정리

41 4.3.6 비정형적인 모양의 넓이 구하기