Chapter 3. 양자역학의 가정, 연산자, 고유함수, 고유치.

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1 Chapter 3. 양자역학의 가정, 연산자, 고유함수, 고유치.
3. 1. Observables and operators 양자역학의 첫 번째 가정 선운동량, 에너지, 질량, 각운동량, 입자의 수 등의 관측 대상 (예를 들어 A ) 관측 대상에 대한 측정이 주는 관측치 (여기서 측정치는 a 라 하자) : 고유치 방정식 (보통 연산자는 한 함수에 작용하여 다른 함수로 바꿈) 중요한 물리적인 관측대상들 : 에너지, 운동량 두 연산자 선운동량 연산자 고유함수? 고유치?

2 선운동량 연산자 고유치 방정식 1차원 운동 자유입자의 1차원 운동 자유입자 𝑥 라는 공간의 한 부위에 갇혀 있지 않음 𝑥 에 대한 주기함수 ! 고유치 방정식의 해 공간적 주기 파장 ( λ ) 일 때 만족 첫 번째 해! de Broglie 관계식! 자유입자의 운동량 연산자 에 대한 고유함수 : 고유치 :

3 p 에너지 연산자 단일입자 질량 : m V(r) : 포텐셜 고유치 방정식 : 시간에 의존하지 않는 Schrödinger 방정식
단일입자 질량 : m V(r) : 포텐셜 고유치 방정식 : 시간에 의존하지 않는 Schrödinger 방정식 입자가 가질 수 있는 가능한 에너지들 자유입자 (운동에너지만 존재) 1차원 입자 Schrödinger 방정식 해 wave vector: k 해 x 에 대한 두 번 미분 B=0 Remember ! 자유 입자 공통 고유 함수 가짐!!

4 이면 (vice versa ?) 모든 파수 k 에 대해 들어맞는 고유치 : 연속값 고유치는 고유함수는 만일 자유입자가 상태에 있을 때, 운동량과 에너지 를 측정하면? 와 값을 줄 것임! 다시 말해 어디에 입자가 가장 높은 확률로 위치해 있을까? Born의 가정 최대 불확실성!! -∞ 에서 +∞ 까지 어디나 존재 Heisenberg 불확실성 원리 !!

5 E 와 t 도 보완변수 에너지가 ΔE 불확실성 측정하는데 걸리는 시간의 불확실성 만일 자유입자가 상태에 있을 때, 에너지 측정기구를 입자가 지나가는 𝑥 의 한 공간에 설치한다면 Δ𝑥 =∞ 이므로 측정순간이 설치 직후 일 수도 있고 아주 오랜 시간 후 일 수도 있다. 입자의 에너지를 측정하는 순간이 언제인지 알 수 없다.

6 3. 2. 양자 역학에서의 측정 양자 역학에서의 두 번째 가정 1 차원 공간에서 움직이는 자유 입자 측정 전에는 그 입자가 어느 상태에 있는지 모름 어떤 한 순간 입자의 운동량을 측정하여 그 값이 ħk 라는 것을 얻었으면, 즉시 다음 순간 다시 운동량를 측정하면 똑같은 ħk 라는 값을 준다. 가정 (1) 가정 (2) 고유치 방정식 or 연산자 방정식

7 (2)두번째 성질 Dirac Delta Function (1)첫번째 성질 이를 단일 변수 y로 표시하면 (2) 증명: 양변에 test function 곱하여 적분

8 3.3. 상태함수와 기대치 (가정 Ⅲ) 양자역학의 세 번째 가정 상태함수의 존재와 그 계의 성질들과의 관련성. 평균이란 실험에서 측정대상 c 를 똑같은 환경에서 여러 번 되풀이하여 재는 것 : 시간 t 에 각 실험에서 c 를 잰 결과 : c 에 대한 평균

9 확률 p(ci) 를 이용한 <c >에 대한 정의
p(ci) : ci 를 측정할 확률 연속적인 값에 대한 확률은 p(c)dc 는 c 와 c+dc 사이에서 c 를 발견할 확률 <c > : c 에 대한 기대치 (expectation value) c 에 대한 측정을 할 경우에 얻어지리라 기대되는 값 Δc : 측정값이 평균 <c > 으로부터 분산되어 있는 정도를 알려주는 값 (Mean square deviation) or

10 (例) 1차원 공간에 있는 한 입자의 상태 상수 규격화 상수 무차원 Dummy 변수 규격화 조건 1 = 이 입자는 어디에 있을까? 위치에 대한 기대치 : Gaussian probability density with variance a 2 확률밀도 2a Variance 의 제곱근 uncertainty

11 확률밀도 가우스분포 정상분포 mean-square deviation 해석 이 입자의 위치를 측정하였을 경우, 여러 운동량을 가지고 있다!! 따라서 파속은 진행한다. 위상속도가 다른 성분들로 구성되어 파속은 퍼진다.

12 3. 4. 상태함수의 시간에 따른 변화 양자역학의 4 번째 가정 시간에 의존하는 상태함수는 을 만족 시간에 의존하는 Schrödinger 방정식 질량 : m 변수분리방법 가정 로 양변을 나눔 양변이 서로 의존하지 않는 변수의 함수 & 각 고유상태(n )에 따라 다른 고유치(En ) &

13 1차원의 자유입자 연속된 고유함수: 연속된 값의 고유치: 시간에 의존하는 Schrödinger 방정식의 해: 진행속도 자유 입자의 고유 상태 진행하는 파 질량: m , 운동량: p 입자의 고전적인 속도

14 운동량이 p/m 으로 정의된 자유입자 고유 상태의 확률 밀도
일정한 값 → 입자가 1차원 공간의 어디서나 발견된다 고전적 입자의 성질이 아님 !!! 고전적 (공간에 국한된) 입자에 대한 상태함수 파속(wave packet) 파속의 속도 (group velocity) 질문: 왜 각 k 의 파들은 공간에서 동일하게 발견되는데 파속은 특정 부분에서 발견되나 ? 시간 t 에서 파속 (wave packet)

15 3. 5. 양자역학에서 초기치 문제에 대한 해 연산자의 기능 Time-dependent Schrödinger 방정식
Time-dependent Schrödinger 방정식 이 방정식에 integrating factor Taylor 전개를 하면 이며 일반적으로 연산자의 파워함수 역시 연산자이다. 이다. 이것을 시간구간 (0,t)에 대해 적분하면

16 시간에 의존하는Schrödinger 방정식의 해 !!!
시간에 의존하는Schrödinger 방정식의 해 !!! (이미 전 section에서 변수분리 방법으로 유도) 가 더 일반적인 해이다.

17 즉, 정상(stationary) 상태에서는 기대치는 일정 정상상태 : 정상(stationary) 상태 한 계에 대해 관측 가능한 성질에 해당하는 연산자들의 고유함수들이 존재하는데, 이러한 고유함수와 계의 상태 함수의 관계는? 두 번째 가정 이 상태함수는 시간에 따라