진리 나무 Truth-tree  ∧ ∨ → ↔  =.

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1 진리 나무 Truth-tree  ∧ ∨ → ↔  =

2 분석 규칙(Decomposition rules)(1)
F∧G F G  F∨G F G ~(F∧G)  ~F ~G ~(F∨G) ~F ~G ~F V ~G ~F∧~G

3 분석 규칙(Decomposition rules)(2)
F→G ~F G ~G ~(F→G ) F F ↔G ~F ~G F G ~(F ↔G) ~F G F ~G F∧~G (F∧~G) V (~F∧G) (F∧G) V (~F∧~G)

4 (A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C))

5 진리나무 만들기 ~((A→B)→(B→C)) ~((A→B)→(B→C)) A→B 1 A→B 2 ~(B→C) 2 ~(B→C) 1

6  ~[(A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C))]
4 A→(B→C) 1 ~((A→B)→(A→C)) 3 A→B 2 ~(A→C) A ~C ~A B B→C ~A B→C ~A ~B ~B C C

7  ~[(A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C))]
4 A→(B→C) 1 ~((A→B)→(A→C)) 3 A→B 2 ~(A→C) A ~C ~A B B→C ~A B→C ~A ~B ~B C C

8 X X X X X X ~F = ~[(A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C))] 4 A→(B→C) 1
3 A→B 2 ~(A→C) A ~C ~A B B→C ~A B→C ~A X X ~B ~B C C X X X X

9 결과: ~F 의 나무는 닫힌 나무 따라서 F 는 논리적 진리이다 X X X X X X ~F =
 ~[(A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C))] 4 A→(B→C) 1 ~((A→B)→(A→C)) 결과: 3 A→B ~F 의 나무는 닫힌 나무 2 ~(A→C) 따라서 A F 는 논리적 진리이다 ~C ~A B B→C ~A B→C ~A X X ~B ~B C C X X X X

10 논증의 타당성 검증 [연습] 다음의 논증은 타당한 논증들이다. 이를 진리나무의 해법으로 확인해 보라!(주의: 진리나무를 만드는 과정 중에 어떤 경로에 이미 모순이 발생했을 때는 이 경로를 0을 부쳐 닫는 것이 좋다.) (1)A→B, ꍃA→B ⊢ B (문장 예: A=“네가 결혼한다”, B=“너는 후회할 것이다”) (2) A→B, B→C, C→D ⊢ A→D (3) A→B, A'→B', A∨A'⊢B∨B'   (문장예; A="네가 옳은 말을 한다“, A'=”네가 옳지 않은 말을 한다“    B=“사람들이 너를 싫어 할 것이다.” B'=“하느님이 너를 싫어할 것이다.” (4) ￢(A→B), A'→B', A∨A'⊢B∨B' (주목: (3)과 유사한 명제!) [생각해보기] 위의 논증 중 (1)과 (3),(4)를 보통 ‘양도논법’이라고 부른다. 이 논증의 내용상의 문제점은 무엇인가?

11 (3) A→B, A'→B', A∨A‘ ⊢ B∨B' A→B, A'→B’ A∨A‘ 1 ~(B∨B‘) ~B ~B’

12 (3) A→B, A'→B', A∨A‘ ⊢ B∨B' A→B, A'→B’ 2 A∨A‘ 1 ~(B∨B‘) ~B ~B’ A A’

13 (3) A→B, A'→B', A∨A‘ ⊢ B∨B' A→B, 3 A'→B’ A∨A‘ ~(B∨B‘) ~B ~B’ A A’ ~A'
2 A∨A‘ ~(B∨B‘) 1 ~B ~B’ A A’ ~A' B ~A' B X X X

14 (3) A→B, A'→B', A∨A‘ ⊢ B∨B' 4 A→B, 3 A'→B’ A∨A‘ ~(B∨B‘) ~B ~B’ A A’
2 A∨A‘ ~(B∨B‘) 1 ~B ~B’ A A’ ~A' B ~A' B X X X ~A B X X

15 결과: 논증(3)은 타당함 (3) A→B, A'→B', A∨A‘ ⊢ B∨B' 4 A→B, 3 A'→B’ A∨A‘ ~(B∨B‘)
2 A∨A‘ ~(B∨B‘) 1 논증(3)은 타당함 ~B ~B’ A A’ ~A' B ~A' B X X X ~A B X X