수학과 김 지하 제 5 장 문제해결의 지도 5.1 문제와 문제해결의 정의

수학적 개념을 지도하는 일은 교사의 노력에 의해 극복할 수 있는 과제이고, 적분을 구하는 것과 같은 계산기능적인 학습과제도 교사의 큰 도움 없이 학생들 이 잘 해낼 수 있는 것이다. 그러나 다음문제를 보자.

예제 ) F(X)=bx+c, G(x)=cx+b 가 주어지고 ㅣ F(0) ㅣ ≤1, ㅣ F(1) ㅣ ≤1 일 때 ㅣ x ㅣ ≤1 에서는 ㅣ G(x) ㅣ ≤2 인가 ? ( 풀이 ) ㅣ F(0) ㅣ ≤1 에서 F(0)=c 이므로 -1≤ c ≤ 1 ---(1) ㅣ F(1) ㅣ ≤1 에서 F(1)=b+c 이므로 -1≤ b+c ≤ 1 ---(2) 문제는ㅣ x ㅣ ≤1 에서 즉, -1≤ x ≤ 1 범위에서 -2≤ G(x) ≤ 2 인가를 묻는 것인데 G(x) =cx+b 는 일차함수 이므로 계속 증가하거나 감소한다. 따라서, 범위 -1≤ x ≤ 1 에서 최대, 최소값은 x=-1 또는 x=1 일 때이다. 그런데, G(1)=c+b 은 위의 (2) 에서 -1≤ b+c ≤ 1 이다. 그리고, G(-1)=b-c 는 (1) 에서 -2≤ -2c ≤ 2 ---(1) ‘ (1) ‘ 와 (2) 에서 ( 두식의 합 ) -3≤ b-c ≤ 3 이 됩니다. ( 예를 들자면 ) b-c = 3 이 되는 경우는 b=-2,c=1 인 경우인데, 이 때, F(x) 은 = -2x+1 은, F(0)=1, F(1) =-1 로 조건을 만족하는데, G(x)=x-2 에서 G(-1)=-3 으로 ㅣ G(x) ㅣ ≤2 를 만족시키지 못합니다.

문제와 문제해결의 정의 ( 수학적인 ) 문제 : 정확한 해의 길을 알지 못하지만, 해의 결과를 요 하는 개인 또는 단체에게 부과된 양적인 장면 → 개인이나 집단이 해결하려는 그러나 구체적이 거나 확실한 해결의 방법을 쉽게 얻을 수 없는 어 떤 상황

( 수학적인 ) 문제는 3 가지 정보를 요함 ① 식이나 수학적 사실들과 같이 주어진 것 ② 주어진 식이나 수학적 사실을 다른 식으로 전 환하는 연산 ③ 마지막 발견하려는 목표

3 가지 준거에 의하여 수학적인 문제가 결정 ① 문제 : 질문형태 또는 상황 → 학생들에 의하여 우선적으로 받아들여져야 함 → 받아들여져야 한다는 것 : 학생들이 내적인 동기, 외적인 동기 또는 단순히 문제를 푸는 즐거움을 느끼기 위하여 받아들인다든지 하는 경우

② 학생들이 바로 알맞은 해의 길을 찾지 못하고, 당황하고 어떤 장벽을 느낌 예제 ) 공장에서 생산하는 전구의 수명은 평균 1,800 시간, 표준편차 100 시간이었다. 그런데 공정의 일부를 변경 한 뒤 제품에서 임의표본 100 개를 추출하여 조사하였 더니 수명의 평균이 1,825 시간이었다. 공정의 변경에 의하여 수명의 평균이 변화하였다고 생각할 수 있는가 ? ( 단, 표준편차는 공정을 변경한 뒤에도 변하지 않는 것으 로 한다.)

전구의 수명을 확률변수 X 로 보면 N(1800,100 2 ) 에 따른다. 이 모집단에서 크기 100 인 표본을 추출하였 다. 이 표본 평균은 에 따른다. N(1800,10 2 ) ⇔ <-- 표준정규분포로 고친다. ⇔ Z>2.5 따라서, 신뢰도 95% 로 평균이 높아졌다고 본 다.

* 표본평균의 분포 (1) 를 따르는 모집단에서 크기 n 인 표 본평균을 확률변수 는 다음을 따른다. (2) 모집단이 정규분포가 아니라도 표본의 크 기가 크면 위를 만족한다.

* 모평균의 추정 평균이 m, 분산이 인 모집단에서 크기 n 인 표본을 임의로 추출한 표본평균을 확률변 수 로 하면 모평균의 범위는 다음과 같 다.( 단, ) 신뢰도 95% ⇒ 신뢰도 99% ⇒

* 정규분포의 뜻 정의역이 모든 실수를 확률변수 X 로 하는 확률밀 도함수가 다음과 같을 때, 정규분포라 하고 로 나타낸다. f(x)=

③ 학생들은 새로운 풀이방법을 고안하여 시행함으 로서 탐구하는 과정으로 들어간다. 문제해결 = 과정 어떤 문제에 접근하기 위해서 과거에 배운 지식, 기 능, 이해 등을 동원하여 문제해결 → 과거에 배운 지식을 이용하여 문제를 해결하려 하기 때문에 문제해결에서 어떤 정보를 이용하 는 기능을 중요한 변인으로 여김

1) 문제해결을 지도하는 이유 첫째, 학생들이 학교에서 배우는 수학을 실생활에서 일어나는 복잡한 양적인 문제에 얼마나 잘 응 용하느냐 !! → 학교수학은 학교에서 배운 지식을 실생활에 활용하는데 보다 중점을 두어야 한다는 것이 고, 실생활에서 일어나는 수학활동은 주로 문 장제로 표현이 되므로 이러한 문제를 잘 해결 할 수 있는 능력을 학생들이 가지도록 문제해 결의 지도를 강화시켜야 한다는 것

Ex) 어느 두 마을에서는 장마철에 물이 불면 강 건너 학 교에 학생들의 등교가 어려워지기 때문에 징검다리를 없 애고 튼튼한 다리 놓기로 하였다. 그런데, 강의 곳에 다리 를 놓아야 할지 몇 번의 마을회의를 했으나 결론이 나오 지 않았다. 즉, A 마을이나 B 마을에서 같은 거리에 있는 다리를 놓는 일이었다. 어느 지점이 되는지 작도하여라. (A,B 의 수직 2 등분 선이 강과 만나는 점에 다리를 놓는다. 이 점을 p 라 하면 AP = BP 이다.)

둘째, 수학을 배우는 이유 중의 하나가 정신의 훈 련에 있다고 앞에서 말했다. 수학에서 이 러한 정신훈련은 대개 문제해결을 통해 이 루어진다. 예를 들어 " 이차방정식은 많아 야 두 개의 실근을 가지고 있음을 로올의 정리를 이용하여 보여라 "

*. 이차방정식은 많아야 두 개의 실근을 가지고 있음을 롤 의 정리를 이용하여 보아라. Rolle 의 정리 f(x) 가 [ a, b] 에서 연속이고, (a, b) 에서 미분가능하고, f(a)=f(b) 이면 f′(c)=0 인 c 가 적어도 하나 존재한다. f(x)= ax 2 +bx+c ( ) 이라 하자. f 는 [x 1, x 2 ] 에서 연속, (x 1, x 2 ) 에서 미분가능, f(x 1 )=f(x 2 ) 가 하므로 Roll 의 정리가 성립한다. 따라서, f′(c) = 0 인 c 가 에서 단 1 개 존재한 다. ( ∵ f′(x)=0 는 1 차 방정식 ) 고로, f(x)=ax 2 +bx+c 는 x 축과 많아야 2 점에서 교 차. 곧, 많아야 2 개의 실근을 가진다.

* 평균값정리에 의하면 두 접 x1 과 x2 에 대하여 x3 이 x1, x2 에 속한다. 이때 x3=(x1 + x2 )/2 임을 보여라. 평균치의 정리 함수 f(x) 가 [a,b] 에서 연속이고, (a,b) 에서 미분가능하면 다음이 성 립한다. 인 c 가 a 와 b 사이에 적어도 한 개 존재 f 가 2 차 함수에서 성립합니다. f(x) = ax 2 +bx+c ( 단, ) 이라 하자. f 는 [x 1, x 2 ] 에서 연속, (a, b) 에서 미분가능하므로 평균치의 정리가 성립 ⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2) 좋은 문제의 성격 좋은 문제가 갖추어야 할 조건들 ① 문제풀이 과정에 여러 가지의 수학적 개 념이나 기능 등을 포함 → 단순하게 한 개념이나 기능을 포함하는 것보다 여려 종류의 개념이나 기능을 내포 하고 있는 문제가 좋다는 것

예를 들어 함수 f(x) 가 폐구간 [ a, b] 에서 연속이고, ( a,b ) 에서 미분가능할 때 [ a, b] 에 속하는 모든 x 에 대하여 f`(x) =0 이면 함수 f(x) 는 상수함수임을 증명하여라. ( 풀이 ) [ a, b] 내의 임의의 두 점 x 1,x 2 (x 1 <x 2 ) 를 잡아 평균값 정리 사용하면, 인 c 가 존재하여 이다. 그런데, ( a,b ) 의 모든 점에 대해 f`(x) =0 이므로 f`(c) =0, = 0 f(x)=f(x) 이다. 즉, f 는 상수함수 이다.

② 좋은 문제는 일반화 할 수 있는 것이거나 다양한 문제 장면으로 확장될 수 있어야 함 Ex) 8x8 바둑판이 있다. 정사각형의 총 개수를 구 하여라. 또, nxn 바둑판에서 정사각형의 총개 수를 일반화할 수 있는가 ? 1x12x23x3 … 8x8 … nxn 총사 각형 의 개 수 15?

③ 좋은 문제는 다양한 해법을 가지고 있어야 한다. 예제 1 ) 한 점 p 가 삼각형 ABC 의 어느 한 변에 있으면서 세 개의 꼭지점 A, B, C 와의 거리는 똑같다. 이때 삼각형 ABC 는 직각 삼각형임을 증명하여라.

증명 1 P 가 선분 AB 에 있고 = = 2X+2Y=180 도,X+Y=90 도

증명 2 삼각형 ABC 는 원 O 에 내접한다. 점 P 는 A,B,C 로 부터 같은 거리에 있으므로 P 는 원 O 에 중심 따라서 는 원 O 의 지름, 원주각 <ACB 는 직각

증명 3 를 같은 길이만큼 연장하여 그점을 D, D 에서 A, B 에 선분을 그으면 평행사변형 CABD 가 생기고, 평행사변형 대각선은 서 로 같은 길이로 이등분 된다. 따라서, 평행사변형은 직각사각형 ACBD 가 된다.

예제 2) 원주 위에 열 개의 점이 있다. 두 점을 이어 연결할 수 있는 선분의 최대 개수를 구하여라. 원주에 있는 점을 P 1,P 2, P 3, … P n, 이라 하자. 두 점을 연결하려면 10 개 점 중 2 개를 택하면 됩니다. 따라서, 10 C 2 = = 45 가지