행 렬

Linear system의 해법: Gauss-Jordan elimination 예: 3x -y +2z =12 x + 2y +3z =11 2x-2y -z =2

가우스 소거법을 이용한 연립일차방정식의 해 연립일차방정식의 해를 구할 때 동치인 연립일차방정식으로 고치기 위해 유한 번 시행하는 연산들 (1) 서로 다른 두 방정식의 순서를 바꿈 (2) 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱함 (3) 한 방정식에 다른 방정식의 상수 배를 더함

Gauss 소거법 실행 1. 행렬의 표현 2. 확대 행렬 A|B 생성

Gauss 소거법 3. 전진 소거하여 상 삼각 행렬로 만든다. 4. 제일 먼저 x3를 구하고, x2, x1을 차례로 전진 대입 3R2+(-1)R1R2 7R3+4R2R3 4. 제일 먼저 x3를 구하고, x2, x1을 차례로 전진 대입

Gauss 소거법 문제점 소거와 후진 대입하는 동안 0으로 나누어지는 경우와 계수가 0에 매우 근접해 있을 경우가 발생. 피벗화로 부분적으로 해결 완전 피벗화 : 계수 행렬 중 절대 값이 제일 큰 요소를 찾아 피벗 원소로 택하는 방법. 바뀐 열이 x의 차수를 변화 시키기 때문에 프로그램을 복잡하게 만들게 되므로 잘 사용되지 않는다. 부분 피벗화 : 한 개의 열 내에서만 제일 큰 원소를 찾아 피벗 원소로 택하는 방법.

Gauss-Jordan 소거법 미지수를 소거할 때 다른 모든 방정식에서 소거하고, 모든 행들은 피벗 요소로 나누어 정규화 된다. 소거한 후에는 단위 행렬이 되므로 후진 대입할 필요가 없다. Gauss 소거법 보다 약 50% 더 연산 작업을 수행해야 하므로, Gauss 소거법이 선형 연립 방정식의 해를 얻기 위해 선호되는 방법이다.

Gauss-Jordan 소거법 3R2+(-1)R1R2 3R2+(-2)R1R3

가우스 조르단 법을 이용한 연립일차방정식의 해 연립일차방정식의 해를 구할 때 동치인 연립일차방정식으로 고치기 위해 유한 번 시행하는 연산들 (1) 서로 다른 두 방정식의 순서를 바꿈 (2) 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱함 (3) 한 방정식에 다른 방정식의 상수 배를 더함 연립일차방정식의 첨가행렬에 시행하는 연산들 (1) 두 행을 교환 (2) 한 행에 0이 아닌 상수를 곱함 (3) 한 행에 다른 행의 상수 배를 더함

연립일차방정식 [과제 1] 가우스-조르단 소거법을 이용하여 다음 연립일차방정식의 해를 구하여라.

역행렬 구하기

[과제2] 가우스-조르단 소거법을 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하라. [과제2] 가우스-조르단 소거법을 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하라. 7.8 역행렬. Gauss-Jordan 소거법

행렬식 (Determinant)

[정의] n 차의 정방행렬 A 의 행렬식(determinant) |A| 또는 det(A)로 나타냄

행렬식 사루스(Sarrus)의 법칙

[예제] 다음 행렬의 행렬식을 구하여라. (1) (2) [풀이] (1) (2)

3x3행렬의 행렬식

[과제3] 사루스 방법을 이용하여 행렬식

행렬식의 기하학적 의미Parallel Vectors i x j = k j x k = i k x i = j j x i = -k k x j = -i i x k = -j a = a1i + a2j + a3k b = b1i + b2j + b3k

Area Area A = ||a x b|| a x b =

Volume Volume V = |a∙(b x c)| |a∙(b x c)| = a∙(b x c) = 0 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 a∙(b x c) = 0 iff a, b, c are coplaner

행렬식의 기본 성질(basic properties) 성질 1 : 전치행렬의 행렬식은 본래 행렬의 행렬식과 같음 : A=A 즉, 전치행렬은 행렬식의 값에 영향을 미치지 않음. 4 3 5 6 4 5 3 6 a b c d a c b d = =9 = =ad-bc

행렬식의 기본 성질(basic properties) 성질 2 : 임의 두 행(또는 두 열)을 교환하면, 행렬식의 부호는 변하지만, 그 수치는 불변임. 대각행렬의 행렬식의 값은 주대각원소들의 곱과 같음. 따라서 대응하는 행과 열을 모두 바꿔도 행렬식의 값은 변하지 않음. a b c d c d a b =ad-bc =bc-ad=-(ad-bc)

행렬식의 기본 성질(basic properties) 성질 3 : 임의의 한 행(또는 한 열)에 스칼라 k를 곱하면 행렬식의 값은 k배가 됨. 즉, 한 행(또는 한 열)의 공통인수는 행렬식 밖으로 빼낼 수 있음. 1) 한 행(또는 한 열)의 원소가 모두 0이면 행렬식의 값은 0임. a b 0 0 =0

행렬식의 기본 성질(basic properties) 성질 3 : 임의의 한 행(또는 한 열)에 스칼라 k를 곱하면 행렬식의 값은 k배가 됨. 즉, 한 행(또는 한 열)의 공통인수는 행렬식 밖으로 빼낼 수 있음. 2) n차 행렬 A에 대하여 kA의 행렬식의 값은 knA임. ka kb c d a b c d =kad-kbc=k(ad-bc)=k

행렬식의 기본 성질(basic properties) 행렬식과 행렬의 인수분해(factoring) 차이 - 행렬식의 경우 어떤 하나의 행 또는 열이 공약수를 가지면 그 공약수를 인수분해하여 행렬식 밖으로 빼낼 수 있음. - 행렬의 경우 모든 원소들에 대한 공약수가 있어야 함. 15a 7b 12c 2d 5a 7b 4c 2d 5a 7b 2c 1d =3 =3(2) =6(5ad-14bc) ka kb kc kd a b c d =k

=a(d+kb)-b(c+ka)=ad-bc= 행렬식의 기본 성질(basic properties) 성질 4 : 어떤 행(또는 열)을 곱해서 다른 행(또는 열)에 더하거나 빼어도 행렬식의 값은 변하지 않음. 즉, 전치행렬은 행렬식의 값에 영향을 미치지 않음. a b c+ka d+kb a b c d =a(d+kb)-b(c+ka)=ad-bc=

행렬식의 기본 성질(basic properties) 성질 5 : 두 행(또는 두 열)이 서로 같거나, 비례하면 행렬식의 값은 0임. 즉, 어떤 한 행(또는 열)이 다른 행(또는 열)의 배수이거나, 두 개의 행(또는 두 개의 열)이 동일하면(같으면) 행렬식은 0임. 2a 2b a b c c d d =2ab-2ab=0 =cd-cd=0

행렬식의 기본 성질(basic properties) 성질 6 : 행렬식을 하나의 타행 또는 타열의 여인자들 (즉, 타여인자들(alien cofactors))에 의해 전개 하면, 그 값은 항상 0임 : ∑a1jC2j=0 행렬식 을 첫 번째 행의 원소들(a1j)에 의해 전개하면서, 그러나 여인자들은 두 번째 행의 원소들의 여인자들, 즉 C21=-3, C22=10, C23=1들을 이용. 이를 전개하면 다음과 같음.  A=a11C21+a12C22+a13C23=4(-3)+1(10)+2(1)=0 4 1 2 5 2 1 1 0 3

행렬식의 기본 성질(basic properties) 행렬식에 의한 비특이성의 판정 - A가 nn 계수행렬인 선형방정식체계 Ax=d가 주어지면 다음과 같은 관계가 성립함. A0  A의 행(열)은 선형독립(linear independent)임.  A는 비특이행렬(non-singular matrix)임.  역행렬 A-1가 존재함.  유일한 해 x*=A-1d가 존재함. - A0이어서 유일한 해가 보장되더라도, 경제학에서 허용될 수 없는 음(-)의 해를 가질 수도 있음.

행렬식의 기본 성질(basic properties) 행렬식에 의한 비특이성의 판정 : 예제 - 다음의 방정식체계는 유일한 해(a unique solution)를 갖는가? 7x1-3x2-3x3=7 2x1+4x2+x3=0 -2x2-x3=2 - 행렬식 A의 값이 0이 아니므로 유일한 해를 가짐. -3 -3 2 4 1 0 -2 -1 =-80

행렬식의 여인자( Cofactor)에 의한 전개

행렬식 [정의] 행렬 의 행렬식

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … ainAin에 의해 계산된다. 여인자 Aij = (-1)i+j|Mij| a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a22 a23 a32 a33 a12 a21 a23 a31 a33 a13 a21 a22 a31 a32 행렬식을 구하는 또 하나의 공식으로 여인자(Cofactor)에 의한 전개가 있다. 행렬식 |A|의 제 i 행과 j 열을 없애 만들어진 행렬식을 소 행렬식(Minor Determinant) Mij라 한다. 여인자 Aij는 소 행렬식 Mij을 구해 부호를 (i + j) 에 의해 바꾼 행렬식이다. 행렬식의 성질 1에 의해 행렬식은 첫 행의 선형 함수이므로 det(A) = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n에 의해 구할 수 있다. 첫 행이 아닌 일반 행을 사용해도 결과는 동일하다. = - +

행렬식을 다음과 같이 계산한다. 계수의 부호

예: 4x4 행렬 A의 행렬식을 다음과 같이 구할 수 있다. cofactor of a11 cofactor of a12 계수의 부호 cofactor of a13 cofactor of a14

4차, 5차 그 이상의 행렬에 이와 같은 행렬식의 계산은 대해서도 적용할 수 있다. A: nxn 행렬 Cij는 A에서 aij를 제외한 요소로 구성된 행렬이다. 부호는 a1j에 따라서 +와 1가 순차적으로 변한다.

[예제] 다음 행렬 A 에 대하여 소행렬 M11, M21, M32와 여인수 A11,A21, A32를 각각 구하여라.

[예제] 다음 행렬 A 에 대하여 소행렬 M11, M21, M32와 여인수 A11,A21, A32를 각각 구하여라. [풀이]

[예제] 다음 행렬 A의 행렬식을 구하여라.

[예제] 다음 행렬 A의 행렬식을 구하여라. [풀이] (1)

(2)

여인수 전개를 이용하여 다음의 행렬식을 구하라. [과제4] 여인수 전개를 이용하여 다음의 행렬식을 구하라.

여인수를 이용한 역행렬

소행렬식/여인수

여인수전개

수반행렬

정칙행렬 A 의 역행렬( 일 때) 수반행렬(adjoint matrix) 여인수 행렬의 전치행렬

[예제] 다음 행렬 A 의 수반행렬과 역행렬을 구하여라.

[예제] 다음 행렬 A 의 수반행렬과 역행렬을 구하여라. [풀이]

[예제]

여인수 전개를 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하라. [과제5] 여인수 전개를 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하라.

연립일차방정식의 해 [정의] 계수 a1, a2,…, an 과 상수 b 가 기지수고 x1, x2,…, xn 은 미지수일 때 x1, x2,…, xn 에 관한 일차방정식(linear equation) 단, 계수 a1, a2,…, an 중에서 적어도 하나는 0이 아님 해(solution) 미지수 대신에 차례로 x1=s1, x2=s2,…, xn=sn 을 대입하여 일차방정식을 만족할 때의 s1, s2,…, sn

연립일차방정식(system of linear equation [정의]

[예제] 역행렬을 이용하여 다음 연립일차방정식의 해를 구하여라. (1) (2) [풀이] (1)

(2)

크래머(Cramer)의 공식

2차 및 3차 행렬식 2차 행렬식(Determinant of Second Order) 선형연립방정식 Cramer의 법칙 7.6 참고사항 : 2차 및 3차 행렬식 2차 및 3차 행렬식 2차 행렬식(Determinant of Second Order) 선형연립방정식 Cramer의 법칙

3차 행렬식(Determinant of Third Order) 7.6 참고사항 : 2차 및 3차 행렬식 3차 행렬식(Determinant of Third Order) 선형연립방정식 Cramer의 법칙

N차Cramer의 법칙(Determinants. Cramer’s Rule) 차 행렬식(Determinant of Third Order) 소행렬식(Minor) : 여인수(Cofactor) :

Cramer의 정리(행렬식에 의한 선형연립방정식의 해) 행렬식에 의한 계수 행렬 가 계수 을 갖기 위한 필요충분조건은 의 부분행 렬의 행렬식은 0이 되지 않는 반면, 의 또는 그 이상의 행을 갖 는 모든 정방 부분행렬의 행렬식은 0이 되는 것이다. 특히, 가 정방행렬 일 때, 계수가 일 필요충분조건은 이다. Cramer의 정리(행렬식에 의한 선형연립방정식의 해) Cramer의 법칙

크래머의 법칙(Cramer’s rule) 예제 : 다음 방정식의 해를 구하라. 5x1+3x2=30 6x1-2x2=8 - 계수와 상수항으로부터 다음의 행렬식을 얻음. A= =-28 A1= =-84 A2= =-140 - 따라서 x1*= = =3 x2*= = =5 5 3 6 -2 30 -2 8 3 5 30 6 8 A1 A -84 -28 A2 A -140 -28

크래머의 법칙(Cramer’s rule) 예제 : 다음 방정식의 해를 구하라. 7x1-x2-x3=0 10x1-2x2+x3=8 6x1+3x2-2x3=7 A= =-61 A1= =-61 A2= =-183 A3= =-244 - 따라서 해는 x1*= =1 x2*= =3 x3*= =4 7 -1 - 10 -2 1 6 3 -2 0 -1 -1 8 -2 1 7 3 -2 7 0 -1 8 1 6 7 -2 7 -1 0 10 -2 8 6 3 7 A1 A A2 A A3 A

[과제6] 크래머 공식을 이용하여 다음 연립일차방정식의 해를 구하여라.