전기자기학I (Electromagnetics) 전자기력(전기력+자기력) 현상을 공부 정지한 전하(정전기)  靜전기장(정전계) 형성 등속으로 움직이는 전하  직류전류  靜자기장(정자계) 형성 가속도를 가지고 진동하는 전기장과 자기장(시변계)  전자기파 형성

1-1 벡터와 스칼라(Vector and Scalar)의 정의 - 질량, 밀도, 압력, 부피, 시간, 거리 등 - 부호: 양, 음 벡터(vector): 크기와 방향으로 표현 - 힘, 속도, 가속도, 전계강도, 자계강도 등 - 크기: 0 이상 - 방향: 3가지 기본 방향으로 표현

Ch. 1. 벡터해석 (Vector Analysis) 벡터: 전기장, 자지강, 전자파 모두 벡터량 - 벡터연산: 더하기(addition), 빼기(subtraction), 곱하기(product) - Magnitude = 크기 - Sense = 방향 부호 - Direction = 방향 - Initial point = 시점

좌표계(coordinate system) - 전기장, 자기장, 전자파는 공간에 분포. 공간과 형상을 표현하기 위해 좌표계 필요 - 평면(2D) 좌표계: 직각좌표계, 극좌표계 - 입체(3D) 좌표계: 직각좌표계, 원통좌표계, 구좌표계

원통좌표계

구좌표계

1-2 벡터의 표현 스칼라의 기호 (이탤릭체) 벡터의 기호 (로만체, 진하게, 위화살표, 아래줄) 화살표를 이용하여 벡터를 시각적으로 표현 - 화살표의 길이: 벡터의 크기 - 화살표의 방향: 벡터의 방향

수식표현 표준 스케일러 - 알파벳 대/소문자: 이탤릭체, A, a - 그리스어 소문자: 이탤릭, ρ, λ, β - 그리스어 대문자: 로맨체, Ω, Σ, Ψ - 숫자: 로맨체, 1, 2, 3 벡터 - 로만체 진하게: E, e, H, h 글자체(font) - Times New Roman이 국제적으로 가장 널리 사용

단위벡터(Unit Vector) 크기 1 방향 표현에 사용 단위벡터 표시: 단위벡터의 크기:

1-3 스칼라장과 벡터장 (Scalar Field & Vector Field) - 벡터장(vector field): 전기장 E 스칼라장(scalar field): 강수량분포  색 벡터장(vector field): 풍속분포  화살표

1-4 벡터의 합과 차(Addition and Subtraction) 평행한 벡터의 합과 차를 구하는 것은 어렵지 않음. 그러나,

평행하지 않은 벡터의 합과 차

벡터의 차

벡터합의 교환, 결합법칙 아래 그림에서 연산의 순서를 바꾸어 교환, 결합법칙을 증명해보라.

1-5 기본단위벡터를 이용한 벡터의 표현과 연산 직교좌표계의 기본 단위벡터: 오른손 법칙 - 오른손을 x 축 방향에서 y 축 방향으로 회전할 때 엄지손 방향이 z 축 방향 - 삼중순서쌍:

Ax, Ay, Az: 벡터 A의 x, y, z 성분(component) 기본단위벡터의 조합으로 벡터를 표현 를 이용하여 임의의 벡터를 표현 A는 (0,0,0)이 시점 (Ax,Ay,Az)이 종점인 벡터 Ax, Ay, Az: 벡터 A의 x, y, z 성분(component) 의 조합으로 직교좌표계의 모든 벡터를 표현할 수 있으므로 “기본 단위벡터(base vector)”라 함. (Ax, Ay, Az): 벡터 A의 간략한 표기법. 시점이 (0, 0, 0)일 때 종점의 좌표

단위벡터를 이용한 벡터의 합과 차 - 기본 단위벡터를 이용하여 벡터의 연산을 수식으로 표현할 수 있음.

벡터의 크기와 방향 벡터 A의 크기: 벡터 A의 단위벡터:

벡터와 스케일러의 곱 스칼라와 벡터의 곱: 벡터의 방향유지, 크기만 변경

Q: 두 벡터 A(1, -1, 2), B(3, 2, 3)이 주어진 경우 2A+3B, 4A-2B를 구하라. 예제 1-1 Q: 두 벡터 A(1, -1, 2), B(3, 2, 3)이 주어진 경우 2A+3B, 4A-2B를 구하라. A: 2A+3B = (11, 4, 13), 4A-2B = (-2, -8, 2) 예제 1-2

1-6 벡터의 내적(Dot Product) - 내적: dot (inner, scalar) product - 벡터와 벡터의 곱: 기존의 곱하기와 다른 새로운 개념 - 내적: dot (inner, scalar) product - 외적: cross (exterior, vector) product

내적(Dot Product)의 정의 내적의 결과는 스칼라: “스칼라곱”으로 부르기도 함

내적은 교환, 배분법칙이 성립 : 교환법칙 : 배분법칙

예제 1-3

내적의 의미 에 평행한 성분 에 평행한 성분 두 벡터의 내적은 같은 방향성분의 크기를 곱한 것

예제 1-4 이기 위한 조건  中 하나이상을 만족 

- 단위벡터와 내적하면 그 방향 성분의 크기를 알 수 있음. 내적을 이용한 방향성분의 계산 - 단위벡터와 내적하면 그 방향 성분의 크기를 알 수 있음.

기본단위벡터와의 내적으로 축방향성분의 크기를 구함

예제 1-5

예제 1-6

1-7 벡터의 외적 (Cross Product) - 외적은 방향을 가지는 벡터 외적의 결과는 벡터 : “벡터곱”으로 부르기도 함. 교환법칙 성립하지 않음.

외적의 크기 외적의 크기는 평행사변형의 면적 삼각형의 면적은 외적크기의 1/2  외적의 크기가 최대  외적의 크기는 0

기본단위벡터의 외적

물리학에서의 벡터곱 원운동: 속도, 각속도(angular velocity) 회전력: 힘, 회전력(torque) 각운동량(angular momentum): 선운동량 로렌츠의 힘: 전기장 E와 자기장 B 내에서 운동하는 전하에 작용하는 힘

예제 1-7

예제 1-8

복습: 삼각함수, 역삼각함수 Sine 함수, 역 sine 함수

복습: 삼각함수, 역삼각함수 Sine 함수 공식

복습: 삼각함수, 역삼각함수 Cosine 함수, 역 cosine 함수

복습: 삼각함수, 역삼각함수 Cosine 함수 공식

복습: 삼각함수, 역삼각함수 Tagent 함수, 역 tangent 함수

복습: 삼각함수, 역삼각함수 Tangent 함수 공식

스칼라 3중적(Scalar Triple Product) - 응용: 평행6면체(parallelepiped)의 체적 - 응용: 4면체(tetrahedron)의 체적 1/6의 근원: 1/2 삼각형, 1/3 뿔모양 피러미드의 체적

선형: 1/3 x (밑면적) x 높이 포물선형: 1/ 2 x … 타원형: 1/1.5 x …

벡터 3중적(Vector Triple Product) - 원운동 가속도: α : 각가속도(각속도의 변화율) - 이동좌표계에서의 입자운동

예제 1-9

예제 1-10

1-8 직교좌표계(Cartesian/Rectangular Coordinate System) Cartesian(칼티’이젼): 데카르트(Descartes)의 René Descarte(르네’이 데이카’알트)(1596-1650) 좌표축의 설정 오른손 법칙으로 좌표축 설정: 순서3중쌍

점의 위치를 표시 원점에서 각 축방향으로 뻗어나간 정도:

위치벡터(Position Vector) 위치벡터: 원점이 시작점 (0,0,0), 위치를 표현하고자 하는 점(Ax, Ay, Az)이 끝점인 벡터 한 점의 위치는 좌표, 또는 위치벡터를 이용하여 표현할 수 있음

변위벡터(Displacement Vector) = 거리벡터 중간경로에 관계없이 시작점 A에서 끝점 B으로 향하는 벡터 변위벡터: 두 위치벡터의 차이

예제 1-11

예제 1-12

1-9 원통좌표계(Cylindrical Coordinate System) Cylindrical = 씰린’드리컬 로 좌표를 표시 ρ = 뤄오우 φ = f아이 z = 지이

Greek Letters 총 24 글자: 대문자, 소문자 동영상 교육자료 Exploring physics: Greek letters, https://www.youtube.com/watch?v=bjWux8GH4GY (3:58) Greek alphabet song: https://www.youtube.com/watch?v=ZUrZHF_WBeI (2:12)

원통좌표계의 기본단위벡터

원통좌표계의 기본단위벡터 는 서로 수직 는 좌표의 함수 는 좌표의 함수 는 서로 수직 원통좌표계의 기본단위벡터를 이용하여 각 방향성분의 크기가 인 벡터를 표현

예제 1-13

직교좌표  원통좌표 변환 직교좌표를 원통좌표로 또는 그 반대로 변환할 수 있음

예제 1-14

1-10 구좌표계 (Spherical Coordinate System) 로 좌표를 표시

구좌표계의 기본단위벡터 는 의 함수 는 서로 수직 구좌표계의 기본단위벡터를 이용하여 각 방향성분의 크기가 인 벡터를 표현

좌표계 응용: 천체운동

좌표계 응용: 컴퓨터 그래픽스/애니메이션

직교좌표  구좌표 변환 직교좌표를 구좌표로 또는 그 반대로 변환할 수 있음

예제 1-16

원통좌표  구좌표 변환 직접변환은 어려우므로 직교좌표를 거쳐서 변환한다. 직교좌표 원통좌표 구좌표

각 좌표계의 위치벡터 표현 상황에 맞추어서 계산과 표현을 쉽게 할 수 있는 좌표계를 사용

이종 좌표계 단위벡터 변환 → 사이각만 알면 된다. 1-11 벡터의 변환 좌표의 변환이 가능한 것처럼, 동일한 벡터를 다른 좌표계에서 표현하는 변환방법이 존재한다. 이종 좌표계 단위벡터 변환 → 사이각만 알면 된다.

a : 의 방향 성분의 크기 → , 두 벡터의 사이각 = φ 1-11-1 벡터의 직교  원통좌표계 변환 - 전자기장 문제 해석에 있어서 좌표계 기본벡터 변환 필요 각각을 단위벡터 로 표현한다. a : 의 방향 성분의 크기 → , 두 벡터의 사이각 = φ b : 의 방향 성분의 크기 → 두 벡터의 사이각 = φ + π/2 c : 의 방향 성분의 크기 → 두 벡터의 사이각 = 90°

기본단위벡터 변환공식(직교↔원통) - 같은 방법으로 다음 식을 구한다.

기본단위벡터 변환공식 (원통↔직교)

예제 1-17

예제 1-18

예제 1-19

1-11-2 벡터의 직교  구좌표계 변환 직교좌표계의 벡터 구좌표계의 벡터 기본단위벡터간의 변환공식이 필요함

기본단위벡터 변환공식(구직교)

기본단위벡터 변환공식 (직교구)

1-11-3 벡터의 원통  구좌표계 변환 직접변환은 어려우므로 직교좌표계를 거쳐서 변환한다. 직교좌표계의 벡터 원통좌표계의 벡터 구좌표계의 벡터

좌표와 벡터의 변환공식

예제 1-20

위 그림을 그린다 → 도형문제를 푼다.

1-12 두 점간의 거리 직교좌표계로 변환 후 거리를 구한다. 직교좌표 사이의 거리 원통, 구좌표 사이의 거리는,

원통, 구좌표를 직교좌표로 변환한 후에 직교좌표간의 거리공식을 사용 각도변화에 따른 거리 변화를 고려해야 함 원통, 구좌표를 직교좌표로 변환한 후에 직교좌표간의 거리공식을 사용 원통 좌표 사이의 거리 구 좌표 사이의 거리

1-13 각 좌표계의 미소(infinitesimal) 면적과 체적 각 좌표계에서 미소체적의 식 적분을 위해서 매우 작은 체적을 수식으로 표현할 필요가 있음 직교좌표계 원통좌표계 구좌표계

finite [f와’이나잍] = 유한한 inifinite [인’f이닡] = 무한한 infinity [인f이’너디] = 무한 infinitesimal [인f이니테’썰머L] = 무한히 작은 and then [앤 넨]

발음주의 영단어 http://ael.cbnu.ac.kr/ael/learn_English/영어발음-주의단어.htm

미소면적의 식 적분을 위해서 매우 작은 면적을 수식으로 표현할 필요가 있음

예제 1-23

지적 호기심

적분공식

예제 1-24

예제 1-25

예제 1-26

요 약 - 벡터 연산: 합, 차, 내적 및 응용, 외적 및 응용 - 벡터의 분해: 평행성분, 수직성분 - 벡터: 크기, 단위벡터 - 벡터 연산: 합, 차, 내적 및 응용, 외적 및 응용 - 벡터의 분해: 평행성분, 수직성분 - 좌표계: 직각좌표계, 원통좌표계, 구좌표계 - 좌표변환: 이종좌표계 간 변환; 공식 암기 또는 유도 - 좌표계 기본벡터 변환: 이종좌표계 간; 공식 암기 또는 유도 좌표계와 적분: 선적분, 면적분, 체적적분; 공식 암기 또는 유도 삼각함수 공식 공부기술 수업시간 공부, 이전 기초 긴급 학습 이해 안되면 골똘히 생각 + 반복 학습 내용(상황, 개념) 이해 → 공식 암기 → 문제풀이(응용력, 상상력, 분석력)

요 약 원통좌표계

요 약 구좌표계