신호의 분석와 합성 미디어통신연구실 책임교수 최재호 2011.11.15

분석/합성! 무엇 때문에 하는가? 분석/합성! 어떻게 하는가? 자주 언급되는 분석/합성 필터 분석/합성 필터 뱅크 구조 연습문제

분석의 대상이 되는 신호들 1-D 신호: 음성, 음악, 소리 데이터 2-D 신호: 정지 영상 데이터 기타 고차원 데이터

분석/합성의 목적 각종 데이터의 압축 및 저장 신호의 전송 통신 네트워크의 효율적 활용

신호의 표현방법 및 표현영역 1-D 시간 영역: 음악소리, 소리의 파형 톤의 주파수 영역 표현 신호의 표현방법 및 표현영역 1-D 시간 영역: 음악소리, 소리의 파형 톤의 주파수 영역 표현 음악의 시간 – 주파수 영역 표현 (spectrogram) 2-D 공간 영역 (영상) 2-D 공간-주파수 영역 (영상의 다해상도 분할)

신호의 분석으로 얻어지는 정보 시간을 배제한 주파수 요소 (Fourier transform) 시간에 따른 주파수 요소 (spectrogram = windowed Fourier transform) 신호의 평균 값, 분산 값, 에너지(전력) 값 신호의 엔트로피 (정보량)

신호 분석/합성으로 얻어지는 효과와 부산물 잡음 제거 효과: de-noising, echo-cancelling 정보의 압축 가능: JPEG, JPEG2000, MPEG 정보의 보호 가능: DRM, watermarking 압축에 의한 정보의 손실 발생 가능성 양자화 오류 발생 가능성 정확한 데이터의 합성 가능

분석/합성! 어떻게 하는가? 신호 분석/합성에 사용되는 대표적 변환 기법 Discrete cosine transform (DCT: 에너지 압축효과가 높아서 JPEG에 사용) Fourier transform (FT: 특정 시간대의 신호의 주파수 특성은 볼 수 없음) Windowed Fourier 변환 (STFT: 창 시간대의 신호의 특성을 살펴볼 수 있음) Wavelet 변환 (WT: 신호의 (시/공간)지역적 성질을 유지할 수 있는 기법) - Haar, Hadamard, Daubechies 등의 웨이브렛 필터를 사용하여 변환

Fourier Transform 전통적인 주파수 분석 기법 시간 영역 주파수 영역 신호처리 분야의 비약적인 발전의 모태 시간 영역 주파수 영역 신호처리 분야의 비약적인 발전의 모태 기본함수(Basis function)로 sine, cosine 함수만 사용 (모든 신호 분석) 단점 신호 데이터에 불연속성, 날카롭게 돌출된 부분(고주파수 성분)이 포함될 경우, 신호의 특징 분석이 어려워짐 신호의 시간 정보와 주파수 정보를 동시에 파악할 수 없다.

Windowed Fourier Transform 창 함수를 이용한 주파수 분석 기법 (STFT or W-FT) 일정한 시간 크기를 가진 창 함수와 Fourier 변환을 결합 시간 변화에 따른 주파수 특성을 분석 ex. 가보 변환(Gabor’s transform) : 가우시안 함수를 창 함수로 이용 단점 분석 영역이 시간-주파수에 대해 항상 일정 약정상 신호(non-stationary signals)를 효율적으로 분석할 수 없다.

Wavelet Transform Mother Wavelet 을 기저함수로 사용하는 변환 기본 함수로 sine, cosine 함수를 포함하여 다양한 wavelet 함수 사용 고주파 부분에는 더 작은 분석함수를 사용하여 국부적 특성을 분석 가능 가장 적절한 다중해상도 표현 방법 사용분야 : MPEG/JPEG2000, DRM, watermarking, 패턴인식 개발된 WT: 직교 WT, 쌍-직교 WT, 패킷 WT, Chirplet WT 등

Continuous 변환식 FT 변환식 : Wavelet Transform : WFT 변환식 : Windows Function 시간상의 이동 역할 ( : 압축 계수, : 전이 계수 ) Wavelet Transform : 크기를 변화시키는 역할

Discrete 변환식 DFT : Highpass filtering DWT: Lowpass filtering

WFT vs WT WFT와 WT의 창 함수 비교 고주파 대역 – 폭이 좁은 윈도우 적용 저주파 대역 – 폭이 넓은 윈도우 적용 각기 다른 스케일에서도 적용이 가능하다

FT vs WT FT STFT WT

변환의 예 사인 변조 신호 Wavelet Transform Fourier Transform Windowed Fourier Transform

Wavelets 필터(파형)의 설계 Wavelet (작은 파, 작은 물결[small wave]) 설계 조건 신호의 값이 양, 음 방향으로 빠르게 감소하여 0으로 수렴 [수렴 조건] 함수가 진동하여야 한다 [진동(Oscillatory) 조건] 진동 조건 수렴 조건 Morlet Wavelet

Wavelet 변환식 Fourier 변환과는 전혀 다른 모양의 기저함수 사용 (X)로 정의되는 mother wavelet(모-함수 또는 원형 함수)을 천이 시키고, 확대/축소 시켜서 얻어지는 함수들의 집합을 Wavelet이라 함. a는 크기 인자로 Wavelet기저의 (시간)창 크기 조정함 b는 시간 축상에서의 천이(변이)를 나타냄. 이 값을 변화 시킴으로서 Wavelet 기저함수의 (시간) 위치 조정 가능. a 값을 점점 크게 하면 시간-창은 작아지고 주파수-창은 커짐 (고주파대역)

모 웨이브렛(mother wavelet) [기저 함수] sin(x) (x) : mother wavelet Scale Translation (4x) (4x+3)

대표적인 웨이브렛 기저함수의 예 haar Cspline3 Daub4 Cspline4

Haar Wavelet (t) = 1 , (0  t  ½) -1 , ( 1/2  t  1) 0, (otherwise) 가장 일반적, 간결한 형태 시간적으로 에너지 집중을 가지며, 진동하는 특성 매끄러운 신호나 영상처리에 효과적이지 못함. 계산속도가 빠르고 쉽게 구현 가능 (t) = 1 , (0  t  ½) -1 , ( 1/2  t  1) 0, (otherwise)

Daubechies Wavelet 영상압축분야에 잘 알려진 프랑스 수학자 D Discrete wavelet 변환 방법 제공 유한 길이를 갖는 비대칭형 필터 쌍으로 구성됨 (Db4, Db8 … 등) 저대역 분할 필터 (scaling 함수)/고대역 분할 필터 (wavelet 함수) 예) Db4 저대역 분할 필터의 계수 (h0 : scaling 함수) h0 = {0.483, 0.8365, 0.2241, -0.1294} Db4 고대역 분할 필터의 계수 (h1 : wavelet 함수) h1 = {0.1294, 0.2241, -0.8365, 0.483}

N 값에 따른 Daubechies Wavelet의 종류

Wavelet을 사용한 신호의 분해 Wavelet 분해 과정 : 근사값과 세부 값을 만드는 과정. 근사값은 신호의 저주파 성분 - 예) Dd4의 scaling h0 필터적용 세부 값은 신호의 고주파 성분 - 예) Dd4의 wavelet h1 필터적용 2차원 영상에 적용하면 4개의 세부 성분으로 나뉘어짐 가로: 저주파 세로: 고주파 가로: 고주파 세로: 고주파 가로: 저주파 세로: 저주파 가로: 고주파 세로: 저주파

영상의 다해상도 분해 x-축 방향으로 필터링 -> 저주파성분 L과 고주파 성분 H로 나뉨 L , H를 y-축 방향으로 필터링 -> LL, LH, HL, HH 4개의 부영상을 얻음 LL 대역의 영상 : 해상도가 반으로 줄어든 저주파 성분. : 에너지 집중도가 높고 영상의 중요한 정보를 포함 LH, HL, HH 대역의 영상 : 수평, 수직, 대각 성분에 대한 edge성분을 가지고 있는 고주파 성분. : 에너지 집중도가 낮고 물체의 윤곽 부분에 해당하는 상세 정보를 포함

LL1 LH1 < 수평 > HL1 수직 HH1 대각 LL2 LH2 HH2 HL2 ( a) 2 단계 Wavelet 분할 b) 2

Wavelet 피라미드의 특성 3계층 피라미드의 예 1번 변환 디테일 : 2번 변환 디테일 : 3번 변환 디테일 : 최종 변환 트렌드 : 데이터 크기 : 에너지 = 97%

Wavelet의 응용 정보 손실형 영상압축 기법 원 영상의 디지털 데이터의 일부가 손실되는 압축기법이다. JPEG2000에서 사용되며 영상의 블로킹 현상없는 품질유지 가능 JPEG의 경우에는 DCT (Discrete Cosine Transform)을 적용하고 있으며 블록 단위 변환으로 인하여 블록킹 현상 발생. 약 50:1로 압축 오차 : 약0.14 본래 영상 약 25:1로 압축 오차 : 약 0.12

윤곽선 검출(Edge Detection) : 영상의 윤곽을 나타내줌 로버츠필터 소벨필터 프레위트필터 라플라시안필터 본래 영상 웨이브렛을 이용한 윤곽선 검출

선명도 높이기 : 색상과 윤곽이 더 뚜렷한 영상을 얻기 위함 본래 영상 선명도를 높인 영상

FBI 지문 압축 원본 이미지 26:1 압축

데이터의 잡음 제거

소리와 음의 합성 (ex. 음악의 합성) Edge, Line detection

신호의 분석/합성의 결론 신호의 시-공간-주파수 표현이 탄력적으로 가능하다 신호의 특징점이나 특정 구역을 중심으로 집중적인 분석이 가능하다 계층적 피라미드 구조의 데이터 저장 또는 처리 가능하다. 블로킹 현상 등이 없는 영상데이터 압축 가능 다양한 응용 분야

연습문제 1-D 이산 신호의 Fourier transform (DFT) - x[n] = [2, 2, -2, -2], N=4 1단계 분석/합성 필터 뱅크 1단계 분석 필터뱅크의 구성 (Harr 웨이블렛 필터 활용; x[n]은 위와 동일) 1단계 합성 필터뱅크의 구성 - 저주파통과 분석필터(합성 짝): - 고주파통과 분석필터(합성 짝): 각 분석필터링 단계에서의 신호 값 계산 각 합성필터링 단계에서의 신호 값 계산 합성된 신호와 원래 입력 값이 동일???

예상 시험문제 2단계 분석/합성 필터 뱅크 N-point DFT

시험문제 1-D 이산 신호의 Fourier transform (DFT) - x[n] = [], N=8 2단계 분석/합성 필터 뱅크 2단계 분석 필터뱅크의 구성 (Harr 웨이블렛 필터 활용) 2단계 합성 필터뱅크의 구성 - 저주파통과 분석필터(합성 짝): - 고주파통과 분석필터(합성 짝): 각 분석필터링 단계에서의 신호 값 계산 각 합성필터링 단계에서의 신호 값 계산 합성된 신호와 원래 입력 값이 동일???