제 3 장의 구성 3.1 푸리에 변환 (Fourier transform) 3.2 푸리에 변환의 성질 3.2 푸리에 변환의 성질 3.3 특이함수의 푸리에 변환 3.4 푸리에 변환 쌍 3.5 주파수 변환과 관련된 정리들

5.2 푸리에 급수 푸리에 급수의 세가지 표현

3.1 푸리에 변환 (Fourier transform)  푸리에 변환식의 유도 푸리에 급수의 복소지수 형식에서 적분의 정의식을 이용하여 아래와 같이 유도

 푸리에 변환식의 유도

푸리에 변환의 정의 푸리에 변환(Fourier transform) 정의 푸리에 역변환(inverse Fourier transform) 정의 F(ω)  : 단위는 [volt·sec] 함수 f(t) 의 주파수 스펙트럼 밀도함수 임의의 주파수 ω에 대한 주파수 성분을 표시

푸리에(Fourier) 변환의 목적 통신시스템에서 신호의 변조 등 주로 신호의 주파수특성을 쉽게 구할 목적으로 사용

라플라스(Laplace) 변환의 목적 주로 회로망해석이나 제어공학 등에서 신호의 변환, 전달, 재생 과정에서 풀어야하는 선형 미분 방정식의 해를 쉽게 구할 목적으로 사용

3.2 푸리에 변환의 성질 푸리에 변환의 정의식에 오일러(Euler)의 공식 을 적용하면, 복소수의 성질을 이용하여 3.2 푸리에 변환의 성질 푸리에 변환의 정의식에 오일러(Euler)의 공식 을 적용하면, 복소수의 성질을 이용하여 f(t) 의 주파수 변환 F(ω) 를 진폭 |F(ω)| 와 위상 |φ(ω)| 에 대한 주파수 스펙트럼으로 분리할 수 있다.

진폭과 위상에 대한 주파수 스펙트럼 푸리에 변환으로 구한 주파수 스펙트럼은 ω에 대해 대칭성을 갖는다. ⇒ 식 (3.9)~(3.12) ω에 대해 cosωt는 우함수, sinωt는 기함수이므로 ③⇒진폭 |F(ω)| 는 ω=0 축에 좌우대칭인 우함수 ④⇒위상 |φ(ω)| 는 원점에 대칭인 기함수

푸리에 변환의 성질 푸리에 변환의 대칭성질 ⇒ 식 (3.13)~(3.14) 푸리에 변환 쌍의 변환성질 ⇒ 식 (3.15)~(3.27) ① 상수(constant)의 곱 ② 선형성(linearity) ③ 공액복소수 성질

푸리에 변환의 성질 (계속) ④ 시간비례(time scaling) ⑤ 시간천이(time shift) ⑥ 주파수천이(frequency shift)

푸리에 변환의 성질 (계속) ⑦ 시간 컨벌루션(time convolution) ⑧ 주파수 컨벌루션(frequency convolution) ⑨ 시간영역에서의 미분(derivation) ⑩ 시간영역에서의 적분(integration)

푸리에 변환의 성질 (계속) ⑪ 쌍대성(duality)

3.3 특이함수의 푸리에 변환 특이함수(singularity function) 3.3 특이함수의 푸리에 변환 특이함수(singularity function) 콘덴서의 전압, 코일의 전류와 같이 자연계의 전기신호는 특이함수처럼 급격히 변할 수 없다. 자연현상이나 정상적인 물리계에서는 나타나지 않고, 유한한 범위나 모든 차수의 유한한 미분도 갖지 않는 수학적인 방법에서만 존재하는 함수 실제의 자연현상에 유사한 특이함수 모델을 사용하면, 실제 신호를 근사적으로 간편하게 해석하기에 편리하다.

자연계 신호의 특이함수 모델링

단위 충격파 함수의 특성 단위 충격파 함수 (unit impulse function) δ(t) ① 충격파 함수의 정의 ② 충격파 함수의 크기 ③ 충격파 함수의 면적 ④ 충격파 함수의 천이(shift) 특성

단위 충격파 함수의 푸리에 변환 ⑤ 충격파 함수의 푸리에 변환

시그넘 함수의 푸리에 변환 시그넘 함수(signum function) sgn(t) ① 시그넘 함수의 정의 ② 시그넘 함수의 푸리에 변환

단위 계단 함수의 푸리에 변환 단위 계단 함수(unit step function) U(t) ① 단위 계단 함수의 정의 ② 단위 계단 함수의 푸리에 변환 t=0 에서의 sgn(t) 와 U(t) 의 값은 수학적으로는 중간 값인 0과 0.5이다. 이런 형태의 함수를 구분연속(piecewise continuous) 함수라고 한다. 함수가 미분이 가능하기 위해서는 연속이어야 하고, 구분연속인 점에서 미분하면 충격파 (impulse)함수가 발생한다.

통신신호 해석에 사용되는 기본함수들 사각파 함수(rectangular function) 구형파라고 하기도 한다. 사각파 함수의 폭 T(T>0) 삼각파 함수(triangular function) 삼각파 함수의 폭 2T(T>0)

기본함수들 (계속) 샘플링 함수(sampling function) 싱크(sinc) 함수 W=π 인 경우를 보통 sinc(t) 라고 한다. 주기 충격파 함수(periodic impulse function) 주기는 T이며, δT(t) 를 콤함수(comb function), 혹은 임펄스 열(impulse sequence 또는 impulse train)이라고 한다.

3.4 푸리에 변환 쌍 시간영역에서의 신호의 형태를 알고 있으면 푸리에 변환 쌍을 이용하여 주파수영역에서 나타날 스펙트럼의 형태를 대략 짐작할 수 있다. 푸리에 변환 쌍의 예 ... 식(3.43)~(3.58) 시그넘 함수의 푸리에 변환 쌍 단위 계단 함수의 푸리에 변환 쌍

푸리에 변환 쌍 (계속) 지수 (exponential) 함수 ... 여기서 (a>0) 복소(complex) 지수함수 상수(constant)

푸리에 변환 쌍 (계속) 충격파 함수의 푸리에 변환 쌍

푸리에 변환 쌍 (계속) 사각파 함수의 푸리에 변환 쌍

푸리에 변환 쌍 (계속) 샘플링 함수의 푸리에 변환 쌍

푸리에 변환 쌍 (계속) 정현파(sinusoidal) 함수의 푸리에 변환 쌍

푸리에 변환 쌍 (계속) 정현파(sinusoidal) 함수의 푸리에 변환 쌍 (계속)

푸리에 변환 쌍 (계속) 삼각파 함수의 푸리에 변환 쌍

푸리에 변환 쌍 (계속) 주기(periodic) 충격파 함수의 푸리에 변환 쌍

F(ω) 와 |F(ω)| F(ω) : 푸리에 변환에서 얻은 복소수 성분

F(ω) ⇒ F(f) 의 변환 충격파 함수가 나타나지 않는 주파수 스펙트럼 주파수 축이 ω, f로 달라도 F(ω), F(f)크기는 같다. (예) f=1000 때와 ω=2π×1000 은 같은 주파수이므로, 그 위치에서 크기는 같다.

F(ω) ⇒ F(f) 의 변환 (계속) 주파수 스펙트럼에 충격파함수가 나타나는 경우 충격파 함수의 수학적 정의 때문에 표현이 달라진다. 단위 충격파 함수의 면적인 근방의 적분 값이 1

F(ω) ⇒ F(f) 의 변환 (계속) 충격파 함수가 나타나는 푸리에 변환 (예) 식 (3.54), (3.55) ⇒ 식 (3.61), (3.62)

3.5 주파수 변환과 관련된 정리들 중첩의 정리⇒ 대부분의 신호들은 여러 가지 성분을 갖는 신호들이 서로 합쳐진 것이다. 3.5 주파수 변환과 관련된 정리들 중첩의 정리⇒ 대부분의 신호들은 여러 가지 성분을 갖는 신호들이 서로 합쳐진 것이다. 안테나 이론에서 전파에 대한 중첩의 정리 공기 중으로 방사되는 전자기파는 여러 개의 무선 안테나 소자들에서 발생하는 전자기파의 합 전압이나 전류원(source)에 대한 중첩의 정리 대부분의 정보신호는 여러 가지 주파수 성분을 포함, 주파수 스펙트럼에도 중첩의 정리가 성립 ⇒ 여러 가지 주파수 성분이 섞인 통신채널에서 주파수대역의 할당과 주파수 분할이 가능해진다.

중첩의 정리, 파세발의 정리 주파수 스펙트럼에 대한 중첩의 정리 (principle of superposition) 여러 가지 주파수 성분을 갖는 신호가 합쳐진 신호의 전체 주파수 스펙트럼은 각 주파수 성분에 대한 스펙트럼의 합이 된다. 어떤 주파수 성분의 크기가 변하면 해당 스펙트럼의 크기만 변한다. 파세발의 정리(Parseval's theorem) 동일한 신호를 시간영역과 주파수영역의 서로 다른 영역에서 해석하더라도 같은 신호에 대해서 각 영역에서 구한 전력이나 에너지는 서로 같다.

파세발의 정리 (계속) 주기신호의 평균 전력에 대한 파세발의 정리 저항 1Ω 에 걸린 주기신호의 평균 전력은 시간함수 f(t) 나 복소수 지수형식의 푸리에 계수 Fn 의 둘 중 하나만 알면 계산이 가능하다. 전력의 단위 [Watt]가 된다. 실효치를 적용한 전력계산과 비교해보면,

예제 3.1

파세발의 정리 (계속) 일반적인 신호의 에너지에 대한 파세발의 정리 저항 1Ω에 걸린 일반적인 신호의 에너지는 다음과 같이 시간영역이나 주파수영역에서 각각 구할 수 있다. 에너지의 단위 [Watt·sec] |F(ω)|2 : 단위 주파수당 신호가 갖는 에너지밀도

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