제8장 일반함수모형의 비교정태분석

일반함수모형의 비교정태분석 일반함수모형 개요(introduction) - 편도함수의 정의는 독립변수들 간에 어떤 함수관계도 존재하지 않는 것을 전제로 함(즉, 상호독립적). - 그러나 일반함수형태가 모형에 포함되면, 어떤 명시적 축약형의 해를 얻을 수 없을 경우에는, 그러한 편리한 방법은 기대할 수 없음. - 예를 들어, 단순한 국민소득모형에서 Y=C+I0+G0 C=C(Y, T0) [여기서 T0는 외생변수로서의 조세]

일반함수모형의 비교정태분석 일반함수모형 - 앞의 두 모형은 Y*를 구하기 위해 하나의 단일방정식 (하나의 균형조건)으로 다음과 같이 축약할 수 있음. Y=C(Y, T0)+I0+G0 - 그러나 소비함수 C가 일반함수형태로 주어져 있어서 명시적인 해를 얻는 것은 불가능함. - 균형해 Y*를 외생변수 I0, G0, T0의 미분가능함수라면, Y*=Y*(I0, G0, T0) 또는 Y*C(Y*, T0)+I0+G0

일반함수모형의 비교정태분석 일반함수모형 - 만일 앞의 식에서 ∂Y*/∂T0를 구하고자 한다면, 함수 C에 포함된 두 변수는 서로 독립적이지 않음. - 왜냐하면, 이 경우 T0는 직접적으로 C에 영향을 미칠 뿐만 아니라, Y*에 대해서도 간접적으로 영향을 미침. - 따라서 편미분은 이러한 문제를 해결 수 없음. - 결과적으로, 이러한 문제를 해결하기 위하여 전미분 (total differentiation)이라는 편미분의 대비 개념이 필요함.

일반함수모형의 비교정태분석 일반함수모형 - 전미분의 과정은 전도함수(total derivative)의 개념과 관련됨. - 전도함수는 C(Y*, T0)와 같은 함수에서 독립변수 T0가 다른 독립변수 Y*에 영향을 줄 때, 변수 T0에 관한 그 함수의 변화율의 정도를 나타냄.

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 도함수(differentials and derivatives) - 도함수 dy/dx=f(x)는 차분몫의 극한임. =f(x)= - 따라서 ⊿y/⊿x 그 자체는 (⊿x0의 규정없이) dy/dx와 같지 않음. - 여기서 이 두 몫의 불일치를 로 나타내면, - = 또는 = + [단, ⊿x0에 따라 0] - ⊿x가 0에 무한접근하면, 불일치항 도 0에 무한접근 dy dx lim ⊿x0 ⊿y ⊿x ⊿y ⊿x dy dx ⊿y ⊿x dy dx

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 도함수(differentials and derivatives) - 앞의 식을 양변에 ⊿x를 곱하면 다음과 같음. ⊿y= ⊿x+⊿x 또는 ⊿y=f(x)⊿x+⊿x - 이 식은 ⊿x의 특정변화로 인한 y의 변화(⊿y)를 나타냄. - 여기서 ⊿x가 충분히 작은 수이면 도 충분히 작은 수가 되고, ⊿x는 더욱 작은 수가 됨. - 따라서 f(x)⊿x는 y의 증분 ⊿y의 근사값으로 사용할 수 있음. dy dx

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 도함수(differentials and derivatives)

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 도함수(differentials and derivatives) - [그림 8.1]의 x0에서 x0+⊿x로 변하면, y=f(x) graph에서 점 A에서 점 B로 이동함. - 이때 ⊿y는 CB이고, 두 거리의 비율(=기울기)은 CB/AC= ⊿y/⊿x임. - 이를 수식으로 다시 정리하면, ⊿y= ⊿x= AC=CB dy= dx= AC=CD ⊿y ⊿x CB AC dy dx CD AC

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 도함수(differentials and derivatives) - 여기서 점 A를 지나는 접선을 그리고, CB 대신 CD를 ⊿y의 근사값으로 사용하면, 불일치 또는 근사값 오차는 DB가 됨. - AD의 기울기는 f(x0)이므로, ⊿x가 감소함에 따라(⊿x0) 점 B에서 점 A로 이동함. 이에 따라 불일치를 줄이고 f(x0), 즉 dy/dx를 ⊿y/⊿x에 더 가까운 근사값으로 만듬. - 따라서 ⊿x가 감소함에 따라 dy와 ⊿y의 차이도 0에 접근

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 도함수(differentials and derivatives) - [그림 8.1]에서 접선 AD의 기울기는 dy/dx가 됨. - 따라서 다음과 같이 정리할 수 있음. =접선 AD의 기울기=f(x) - 위 식의 양변을 dx로 곱하면, dy=f(x)dx 따라서 dx의 어떤 특정한 값이 주어지면, 그것에 f(x)를 곱함으로써 ⊿y의 근사값으로서의 dy를 구할 수 있음. - 변화량 dy와 dx를 각각 x와 y의 미분(differential)이라 함. dy dx

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 수요함수 Q=f(P)의 가격탄력성은 (⊿Q/Q)/(⊿P/P)로 정의됨. - 위 식에서 근사값을 사용하면, 독립적 변화 ⊿P와 종속 적 변화 ⊿Q는 dP와 dQ로 바꿀 수 있음. - 따라서 d(elasticity를 나타내는 그리스 문자 epsilon) 로 표현되는 수요의 점탄력성(point elasticity)이라는 근사값으로서의 탄력성측도를 얻음.

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 수요의 점탄력성 다음과 같이 정리할 수 있음. d= = = - 수요의 점탄력성은 평균함수에 대한 한계함수의 비율 - 위 식에서 d 일 때 수요는 dQ/Q dP/P dQ/dP Q/P 한계함수(marginal function) 평균함수(average function) = 1 =1 1 =0 완전탄력적(perfectly elastic) 탄력적(elastic) 단위탄력적(unitary elastic) 비탄력적(inelastic) 완전비탄력적(perfectly inelastic)

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 수요함수 Q=100-2P일 때 수요의 점탄력성(d)? =-2 및 = - 평균함수에 대한 한계함수의 비율인 점탄력성은 d= =-2/ = - 이처럼 탄력성은 P의 함수로 주어짐. 따라서 특정한 가격이 선택되면 점탄력성의 크기가 결정됨. dQ dP Q P 100-2P P dQ/dP Q/P 100-2P P -P 50-P

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 예를 들어, P=25일 때 d=-1 또는 d=1이므로 수요는 이 가격(점)에서 단위탄력적임. - P=30일 때 d =1.5이므로 수요는 이 가격에서 탄력적임. - 만약 25P50일 때 d1이므로 수요는 탄력적이고, 0P25일 때 d1이므로 수요는 비탄력적임. - 여기서 만약 P=50이라면 d=(완전탄력적)가 되고, P=0라면 d=0(완전비탄력적)이 됨.

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 공급함수 Q=P2+7P일 때 공급의 점탄력성(s)? =2P+7 및 = =P+7 - 평균함수에 대한 한계함수의 비율인 점탄력성은 s= = - 여기서 P=2일 때, 공급탄력성의 값은 11/9(1)임. 따라서 공급은 P=2에서 탄력적(elastic)임. dQ dP Q P P2+7P P dQ/dP Q/P 2P+7 P+7

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 앞의 [그림 8.2]에서 두 경우 모두 곡선상의 점 A에서 (또는 정의역 x=x0에서) 한계함수의 값은 접선 AB의 기울기로 측정됨. - 한편, 평균함수의 값은 직선 OA(원점에서 곡선상의 점 A를 연결한 직선)의 기울기로 측정됨. - 따라서 점 A에서 점탄력성은 평균함수와 한계함수의 기울기 수치의 비교로 알 수 있음. - 점 A에서 ⒜의 경우 비탄력적, ⒝의 경우 탄력적임.

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 점탄력성은 두 기울기 수치의 비교로 측정할 수 있기 때문에 비교되는 두 기울기는 두 각(m과 a; 하첨자 m과 a는 한계와 평균을 의미)의 크기에 의존함. - 따라서 두 기울기를 비교하는 대신에 이에 상응하는 두 각을 비교해도 무방함. - [그림 8.2]⒜는 (ma) 비탄력적, ⒝는 (ma) 탄력적 - [그림 8.3]에서는 ⒜와 ⒝ 기울기의 두 각이 모두 같음 (m=a). 즉, 주어진 곡선상의 점 C에서 단위탄력적임.

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 지금까지 살펴본 기하학적 방법은 함수 y=f(x)의 종속 변수 y가 세로축에 표시되고 있음을 유의해야 함 (왜냐하면, 경제학에서는 정반대로 표시하기 때문). - 따라서 수요와 공급의 점탄력성을 구하고자 할 때, 종속변수인 수요(Qd)와 공급(Qs)이 가로축에 위치하면 점탄력성을 구하는 방법은 정반대로 수정되어야 함.

일반함수모형의 비교정태분석 미분(differentials) 전미분(total differentials)의 개요 - 미분의 개념은 독립변수가 둘 이상인 다변수함수에 대해서도 확장할 수 있음. - 함수 z=f(x, y)에서 x와 y의 증분을 각각 ⊿x, ⊿y라면, ⊿z=f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y) - 위 식의 우변에서 f(x, y+⊿y)를 빼고 더하면, ⊿z=[f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y+⊿y)]+[f(x, y+⊿y)-f(x, y)] - 첫 번째 대괄호 안에서 x는 변하고 y는 고정되어 있고, 두 번째 대괄호 안에서 y는 변하고 x는 고정되어 있음.

f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y+⊿y) 일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials)의 개요 - 한편, 앞의 식은 다음과 같은 식이 성립함. =fx(x, y)+1 =fy(x, y)+2 - 여기서 각각 ⊿x, ⊿y를 양변에 곱하고, 다시 정리하면 다음과 같이 나타남. ⊿z=fx(x, y)⊿x+fy(x, y)⊿y+1⊿x+2⊿y - 위에서 fx와 fy는 각각의 편도함수(partial derivatives)임. f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y+⊿y) ⊿x f(x, y+⊿y)-f(x, y) ⊿y

일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials)의 개요 - 한편, 앞의 식에서 ⊿x와 ⊿y가 각각 0에 무한접근하면, 각각의 불일치항인 1과 1도 0에 무한접근함. - 따라서 1⊿x와 1⊿y도 더욱 더 작은 수가 되므로, z의 총변화(dz)는 근사값으로 다음과 같이 미분됨. dz= dx+ dy 또는 dz=fx(x, y)dx+fy(x, y)dy - 위 식에서 dz는 두 원천으로부터 발생하는 변화의 합 이기 때문에, 이것을 dz의 전미분이라 함. ∂z ∂x ∂z ∂y

일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials) - 예를 들어, 저축함수 S=S(Y, i); 여기서 S는 저축, Y는 국민소득, i는 이자율임. - 여기서 각각의 편도함수 ∂S/∂Y는 한계저축성향(MPS), ∂S/∂i는 한계이자율성향(MPI)을 나타냄. - 따라서 Y의 미소변화 dy에 따른 S의 변화는 근사값 (∂S/∂Y)dy로, i의 미소변화 di에 기인하는 S의 변화는 근사값 (∂S/∂i)di로 나타낼 수 있음.

일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials) 할 수 있음. dS= dY+ di 또는 dS=SYdY+Sidi - 만약 i는 일정한데 Y만 변한다면, 이 경우 di=0이 되고, 전미분은 dS=(∂S/∂Y)dY로 되고, 양변을 dY로 나누면 = - 따라서 편도함수 ∂S/∂Y는 독립변수 i가 일정하다는 전제 하에 두 미분 dS와 dY의 비율과 같음. ∂S ∂Y ∂S ∂i ∂S ∂Y dS dY

일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials) U=U(x1, x2,, xn) - 위 함수의 전미분은 다음과 같이 표현할 수 있음. dU= dx1+ dx2++ dxn 또는 dU=U1dx1+U2dx2++Undxn=Uidxi - 위 식에서 우변의 각 항은 어떤 하나의 독립변수가 미소변화할 때 초래되는 총효용변화의 근사값임. ∂U ∂x1 ∂U ∂x2 ∂U ∂xn

일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials) - 다른 함수와 마찬가지로 점탄력성을 구할 수 있음. - 그러나 각 탄력성은 여러 개의 독립변수 중 오직 어떤 하나의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화로 정의됨. - 따라서 앞서 저축함수는 두 개의 탄력성이 정의될 수 있고, 효용함수는 n개의 탄력성이 정의될 수 있음. - 이 때, 각각의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화는 편도함수가 되고, 이들의 탄력성을 편탄력성(partial elasticity)이라 함.

일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials) - 앞에서의 저축함수에 대한 편탄력성은 다음과 같음. SY= = Si= = - 효용함수에 대한 n개의 편탄력성은 다음과 같음. Uxi= = (i=1, 2,, n) ∂S/∂Y S/Y ∂S ∂Y Y S ∂S/∂i S/i ∂S ∂i i S ∂U/∂xi U/xi ∂U ∂xi xi U

일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials) - 예 1 : U(x1, x2)=ax1+bx2 (여기서 a, b0) =U1=a =U2=b dU=U1dx1+U2dx2=adx1+bdx2 - 예 2 : U(x1, x2)=x12+x23+x1x2 (여기서 a, b0) =U1=2x1+x2 =U2=3x22+x1 dU=U1dx1+U2dx2=(2x1+x2)dx1+(3x22+x1)dx2 ∂U ∂x1 ∂U ∂x2 ∂U ∂x1 ∂U ∂x2

일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials) - 예 3 : U(x1, x2)=x1ax2b (여기서 a, b0) =U1=ax1a-1x2b= =U2=bx1ax2b-1= dU=U1dx1+U2dx2=( )dx1+( )dx2 ∂U ∂x1 ax1ax2b x1 ∂U ∂x2 bx1ax2b x2 ax1ax2b x1 bx1ax2b x2

일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials) - 예 4 : z=2x+5xy+y =z1=2+5y =z2=5x+1 dz=z1dx+z2dy=(2+5y)dx+(5x+1)dy - 예 5 : z=2x2+y2 =z1=4x =z2=2y dz=z1dx+z2dy=4xdx+2ydy ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y

일반함수모형의 비교정태분석 전미분(total differentials) 전미분(total differentials) - 예 6 : u=xy2z3 =u1=y2z3 =u2=2xyz3 =u3=3xy2z2 du=u1dx+u2dy+u3dz=y2z3dx+2xyz3dy+3xy2z2dz - 예 7 : y= =y1= =y2= dy=y1dx1+y2dx2= dx1+ dx2 ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z x1 x1+x2 ∂y ∂x1 x2 (x1+x2)2 ∂y ∂x2 -x1 (x1+x2)2 x2 (x1+x2)2 -x1 (x1+x2)2

일반함수모형의 비교정태분석 미분연산법칙(rules of differentials) 함수 y=f(x1, x2)의 전미분 dy를 구하는 간단한 방법은 편도함수 f1과 f2를 구하고, 다음 식에 대입하는 것임. dy=f1dx1+f2dx2 - 그러나 다음과 같은 미분법칙을 적용하는 것이 편리함. - 여기서 k는 상수이고, u, v는 변수 x1, x2의 함수임. [법칙 1] dk=0 (상수함수의 법칙) [법칙 2] d(cun)=cnun-1du (멱함수의 법칙) [법칙 3] d(uv)=dudv (합과 차의 법칙) [법칙 4] d(uv)=vdu+udv (곱의 법칙)

일반함수모형의 비교정태분석 미분연산법칙(rules of differentials) u v 1 v2 [법칙 5] d( )= (vdu-udv) (몫의 법칙) [법칙 6] d(uvw)=dudvdw [법칙 7] d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw 이상의 법칙들이 응용되는 실례를 살펴보기로 함. - 예 1 : y=5x12+3x2 이 함수의 편도함수 f1=10x1 및 f2=3이므로 구하고자 하는 미분은 dy=f1dx1+f2dx2=10x1dx1+3dx2 그러나 u=5x12과 v=3x2로 놓고, 미분법칙을 적용하면, dy=d(5x12)+d(3x2)=10x1dx1+3dx2

일반함수모형의 비교정태분석 미분연산법칙(rules of differentials) - 예 2 : y=3x12+x1x22 편도함수 f1=6x1+x22와 f2=2x1x2이므로 구하고자 하는 미분은 dy=f1dx1+f2dx2=(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2 u=3x12과 v=x1x22로 놓고, 미분법칙을 적용하면, dy=d(3x12)+d(x1x22)=6x1dx1+x22dx1+x1d(x22) =(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2

일반함수모형의 비교정태분석 미분연산법칙(rules of differentials) x1+x2 2x12 - 예 3 : y= 하는 미분은 dy=f1dx1+f2dx2= dx1+ dx2 u=x1+x2와 v=2x12으로 놓고, 미분법칙을 적용하면, dy=(1/4x14)[2x12d(x1+x2)-(x1+x2)d(2x12)] =(1/4x14)[2x12(dx1+dx2)-(x1+x2)4x1dx1] =(1/4x14)[-2x1(x1+2x2)dx1+2x12dx2] = dx1+ dx2 -(x1+2x2) 2x13 1 2x12 -(x1+2x2) 2x13 1 2x12 -(x1+2x2) 2x13 1 2x12

일반함수모형의 비교정태분석 미분연산법칙(rules of differentials) - 예 3 : y=3x1(2x2-1)(x3+5) 위 식의 편도함수 f1=3(2x2-1)(x3+5), f2=2(3x1)(x3+5), f3=3x1(2x2-1)이므로 구하고자 하는 미분은 dy=f1dx1+f2dx2+f3dx3=3(2x2-1)(x3+5)dx1 +2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-1)dx3 u=3x1, v=2x2-1, w=x3+5으로 놓고, 미분법칙을 적용 dy=(2x2-1)(x3+5)d(3x1)+3x1(x3+5)d(2x2-1) +3x1(2x2-1)d(x3+5) =3(2x2-1)(x3+5)dx1+2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-1)dx3