7. 차원과 구조 7.1 기저와 차원 부분공간의 기저 V =span{v1,v2,···vs}이 Rn 의 부분공간 집합 S ={v1,v2,···vs}의 벡터들이 1차 종속이면, 적어도 S의 벡터들 중 하나는 소거해도 여전히 V를 생성

V =span{v1,v2,···vs}에서 S ={v1,v2,···vs}가 일차 종속 집합 v3=k1v1+k2v2                        (1) w=c1v1+c2v2+c3v3       w=c1v1+c2v2+c3 (k1v1+k2v2)=(c1+c3k1)v1+(c2+c3k2)v2 <정의 7.1.1> Rn의 부분공간 V의 벡터들의 집합이 일차독립이고 V를 생성한다면 V에 대한 기저(basis). [예제1] 단순한 기저들 ‧ V가 Rn 의 원점을 지나는 직선 ‧ V가 Rn 원점을 지나는 평면 ‧ V={0} 이 Rn 의 부분공간 V

[예제2] Rn 의 표준기저 표준단위벡터 e1,e2,···en 는 일차독립 Rn 의 임의의 벡터 X =x1,x2,···xs    X=x1(1,0,···,0)+x2(0,1,···,0)+xn(0,0,···,1)=x1e1+x2e2++xnen   e1,e2,···en 를 Rn 의 표준기저(standard basis). <정리7.1.2> 0 벡터를 포함하지 않는 S ={v1,v2,···vk} 에서 어떤 벡터가 그 앞의 벡터들의 일차결합이면 S는 일차종속 [예제3] 정리7.1.2를 이용한 일차독립 집합 {v1,v2,···vk}가 다른 원소들의 일차결합이 아닌 것을 보여서 다음 벡터들이 일차독립인 것을 보여라. V1={0,2,0}, V2={3,0,3},   V3={-4,0,4},   

[예제4]  행 사다리꼴 형태의 영이 아닌 행벡터의 독립 행 사다리꼴 형태에서의 영이 아닌 행벡터들의 행렬은 일차독립 <정리7.1.3> (기저의 존재)  V가 Rn 의 부부공간이면, 최대 n개의 벡터들을 가지는 V의 기저가 존재한다 <정리7.1.4> Rn의 영이 아닌 부분공간의 모든 기저들은 같은 수의 벡터를 가진다.

[예제5] 하나의 기저에 있는 벡터의 수 ‧ Rn 의 원점을 통과하는 직선의 모든 기저는 하나의 벡터 ‧ Rn 의 원점을 통과하는 평면의 모든 기저는 두 개의 벡터 ‧ Rn 의 모든 기저는 n개의 벡터 <정의7.1.5> V가 Rn 의 영이 아닌 부분공간일 때, V의 차원(dimension)은 V의 기저에 포함된 벡터의 수로 정의 하며, dim(V). 영 부분공간은 차원이 0. [예제6] Rn 의 부분공간의 차원 다음은 정의7.1.5와 예제5로부터 유도된다.    ‧ Rn 의 원점을 통과하는 직선의 차원은 1.    ‧ Rn 의 원점을 지나는 평면의 차원은 2.    ‧ Rn 의 차원은 n.

해공간의 차원 Gauss−Jordan 소거에 의한 동차선형계 Ax=0의 일반해 x=t1v1+t2v2+···+tsvs (8) 벡터 v1,v2,···vs 는 일차독립 Ax=0의 표준해(canonical solutions) 표준해 벡터는 해공간을 생성하고 일차독립 해공간의 기저를 형성 이 기저를 해공간의 표준기저(canonical basis) [예제7] 기저와 Ax=0의 해공간의 차원 동차계의 해공간에 대한 표준기저를 찾아라. X1+3x2-2x3+2x5=0 2x1+6x2-5x3-2x4+4x5-3x6=0 5x3+10x4+15x6=0 2x1+6x2+8x4+4x3+18x6=0  해공간의 차원을 구하라.

풀이  (x1,x2,x3,x4,x5,x6)=r(-3,1,0,0,0,0)+s(-4,0,-2,1,0,0)+t(-2,0,0,01,0) 표준기저벡터는 V1=(-3,1,0,0,0,0) , V2= (-4,0,-2,1,0,0) , V3= (-2,0,0,01,0)     해공간은  R6 의 3차원 부분공간. 초평면의 차원 a=a1,a2,···an 이 Rn 의 영이 아닌 벡터라면 Rn 의 원점을 통과하는 초평면 a⊥    a1x1+a2x2+···+anxn=0 이 선형계는 하나의 선행변수와 n-1개의 자유변수 해공간은 n-1차원을 가지고 이것은 dim(a⊥)=n-1 R2의 원점을 통과하는 (초)평면(직선)은 차원 1을 가지고 R3의 원점을 통과하는 (초)평면을 차원 2 <정리7.1.6> a가  Rn의 영이 아닌 벡터라면, dim( a⊥)=n-1.

7.2 기저의 성질 기저의 성질 span{v1,v2,···vk} 의 한 벡터를 다른 벡터들의 일차결합으로 나타내는 방법은 여러 가지 V=(3,4,5)을 다음의 벡터들로 어떻게 나타낼 것인지 V1=(1,0,0) , v2=(0,1,0) , v3=(0,0,1) , v4=(1,1,1)     V=c1v1+c2v2+c3v3+c4v4                  (1)

<정리7.2.1> S ={v1,v2,···vk} 가 Rn 의 부분공간 V의 기저라면, V의 모든 벡터 v는 정확히 한가지 방법으로 S의 벡터들에 의해 일차결합으로 표현된다. <정리7.2.2> S는 Rn의 영이 아닌 부분공간 V의 유한한 벡터집합이라 하자. (a) S가 V를 생성하고, V의 기저가 아니라면, V의 기저는 S에서 적당한 벡터들을 제거함으로써 얻음. (b) S가 일차독립집합이고 V의 기저가 아니라면, V의 기저는 V로부터 S에 적당한 벡터를 추가함으로써 얻음. <정리7.2.3> V가 Rn 의 영이 아닌 부분공간이라면, dim(V)는 V의 일차독립벡터의 최대수.  공학자들은 차원의 동의어로 자유도(degrees of freedom)

부분공간의 부분공간 V와 W가 Rn 의 부분공간이고, V가 W의 부분집합이면, V는 또한 W의 부분공간(subspace). 그림 7.2.1

<정리7.2.4> V와 W가 Rn 의 부분공간이고, V가 W의 부분공간이면 (a) 0 ≤ dim(V) ≤ dim(W)  ≤ n  (b) dim(V) = dim(W) 이면 V = W. <정리7.2.5> S를 Rn의 공집합이 아닌 벡터들의 집합이고, S'은 집합 S에 Rn 의 벡터들을 추가하여 얻은 집합 (a) 추가하는 벡터들이 span(S)에 있다면, span(S')=span(S) (b) span(S')=span(S)이면, 추가하는 벡터들은 span(S)에 있다. (c) span(S')와 span(S)가 같은 차원이라면, 추가하는 벡터들은 span(S)에 있고 span(S')=span(S).

때때로 생성은 일차독립을 의미한다 <정리7.2.6> (a) Rn 의 영이 아닌 k차원 부분공간에서 k개의 일차독립벡터들의 집합은 그 부분공간의 기저. (b) Rn 의 영이 아닌 k차원 부분공간을 생성하는  k개의 일차독립벡터들의 집합은 그 부분공간의 기저. (c) Rn 의 영이 아닌 k차원 부분공간에서 k개보다 적은 일차독립벡터들의 집합은 그 부분공간을 생성할 수 없다. (d) Rn 의 영이 아닌 k차원 부분공간에서 k개보다 많은 일차독립벡터들의 집합은 일차종속.

[예제1] 검사에 의한 기저 (a) 검사에 의해 벡터 v1=(-3,7) 과 v2=(5,5)이  R2의 기저를 형성하는 것을 보여라. (b) 검사에 의해 벡터 v1=(2,0,-1), v2=(4,0,7)과 v3=(6,1,-5)이 R3 의 기저를 형성하는 것을 보여라. 예제2 일차독립에 대한 행렬식 (a) 벡터 v1=(1,2,1), v2=(1,-1,3)과 v3=(1,1,4)가 R3의 기저를 생성함을 보여라. (b) 벡터 v1,v2 과 v3 을 이용하여   w=(4,9,8), 을 나타내어라. 풀이(a) 세 벡터들이 일차독립인 것을 보이면 된다.

풀이(b) (a)의 결과는 벡터 w는 v1,v2 과 v3의 유일한 일차결합으로 표현되는 것 (4,9,8)=c1(1,2,1)+c2(1,-1,3)+c3(1,1,4)            (3)           유일한 해    c1=3, c2=-1, c3=2 (4,9,8) = 3(1,2,1) - 1(1,-1,3) + 2(1,1,4) W = 3v1 - v2 + 2v3         

통합정리  <정리7.2.7> A가 nxn행렬이고 TA가 표준행렬 A를 가지는 Rn의 일차연산자라 하면, 다음 명제들은 동치이다. (a) A의 기약 행사다리꼴은 In이다. (b) A는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다. (c) A는 가역이다. (d) Ax=0는 단지 자명해를 가진다. (e) Ax=b는 Rn 의 모든 벡터b에 대해 해를 가진다. (f) Ax=b는 Rn 이 모든 벡터b에 대해 정확히 하나의 해를 가진다. (g) dat(A) ≠ 0 이다. (h) λ=0 은 A의 고유값이 아니다.

(i) TA 은 단사이다. (j) TA 은 전사이다. (k) A의 열벡터들은 일차독립이다. (l) A의 행벡터들은 일차독립이다. (m) A의 열벡터들은 Rn 을 생성한다. (n) A의 행벡터들은 Rn 을 생성한다. (o) A의 열벡터들은 Rn 의 기저를 이룬다. (p) A의 행벡터들은 Rn 의 기저를 이룬다.

7.3 행렬의 기본공간들 행렬의 기본공간 A가 nxn 행렬이라면, A와 관련된 세 개의 중요한 공간 1. row(A)로 표현되는Rn 의 행공간(rowspace)은 A의 행벡터들에 의해 생성되는 Rn 의 부분공간. 2. col(A)로 표현되는 A의 열공간(column space)은 A의 열벡터들에 의해 생성되는 Rn 의 부분공간. 3. null(A)로 표현되는 A의 영공간(null space)은 Ax=0의 해공간. 이것은 Rn 의 부분공간.

A와 AT를 함께 고려 row(A), row(AT), col(A), col(AT), null(A), null(AT) row(AT)=col(A)  col(AT)=row(A) 6개의 부분공간들은 단지 4개로 구별                                                                                                                   A의 기본공간(fundamental space) <정의7.3.1> 행렬A의 행공간의 차원은 A의 계수(rank)라 하고 rank(A)로 표시하고 행렬A의 영공간(null space)의 차원은 영공간의 차원(nullity)라 하고 nullity(A)로 표시.

<정의7.3.2> S가 Rn 의 영이 아닌 집합일 때, S⊥로 표현되는 S의 직교여공간(orthogonal complement)은 S의 모든 벡터들에 수직한 Rn 의 모든 벡터들의 집합. [예제1] R3의 부분공간의 직교여공간 L이 R3의 원점을 지나는 직선이라면, L⊥은 L에 수직한 원점을 지나는 평면이고, W가 R3의 원점을 지나는 평면이라면, W⊥는 W에 수직한 원점을 지나는 직선이다. 그림 7.3.1

[예제2] 행벡터들의 직교여공간 S가 mxn인 행렬A의 행벡터들의 집합이라면, 이 집합의 S⊥ 은 정리 3.5.6에 의해 Ax=0  의 해공간. <정리7.3.3> S가 Rn 의 공집합이 아닌 집합이라면,  S⊥ 은 Rn 의 부분공간. [예제3] 두 벡터의 직교여공간 집합 S={v1,v2}  의 xyz-좌표계의 직교성분을 찾아라.      ,       v1=(1,-2,1), v2=(3,-7,5)

(풀이) S⊥ 은 v1 과 v2 에 의한 평면에 수직이며 원점을 지나는 직선 행벡터 v1 과 v2 를 가지는 행렬을 A라 하고 Ax=0              x = 3t, y =2 t, z = t              S⊥ 는 벡터 w={3,2,1} 과 평행한 원점을 지나는 직선    (다른 풀이) v1 과 v2 에 수직한 벡터      벡터 w = -(v1 x v2) = (3,2,1)   또한 v1 과 v2 에 직교

직교여공간의 특성 <정리7.3.4> (a) W가 Rn 의 부분공간이면, W⊥∩W={0} 이다. (b) S가 Rn 의 공집합이 아니면, S⊥=span (S)⊥이다. (c) W가 Rn 의 부분공간이면 (W⊥)⊥=W 이다. <정리7.3.5> A가 mxn 행렬이면, A의 행공간과 A의 영공간은 직교여공간이다. <정리7.3.6> A가mxn행렬이라면, A의 열공간과 AT의 영공간은 서로 직교여공간이다. 두 정리들의 결과

<정리7.3.7> (a) 기본행연산은 행렬의 행공간을 바꾸지 못한다. (b) 기본행연산은 행렬의 영공간을 바꾸지 못한다. (c) 행렬의 행사다리꼴의 영이 아닌 행벡터는 그 행렬의 행공간의 기저를 이룬다. <정리7.3.8> 같은 수의 열을 가진 행렬 A와 B가 있다면, 다음 명제들은 동치이다. (a) A와 B는 같은 행공간을 가진다. (b) A와 B는 같은 영공간을 가진다. (c) A의 행벡터들은 B의 행벡터들의 일차결합이고, 역도 성립한다.

행 소거에 의한 기저 찾기 S ={v1,v2,···vs} 로 생성된 Rn 의 부분공간 W에 대한 기저를 찾는 문제 1. W의 어떤 기저라도 상관없다면, v1,v2,···vs 를 행벡터로 하는 행렬A를 만드는 것으로부터 시작. A의 행공간 W가 된다. 기저는 A를 행사다리꼴로 변형시킨 뒤, 영이 아닌 행을 추출함. 2. 기저가 꼭 S의 벡터들로 구성되어야 한다면, 기본행연산은 보통 행벡터들을 바꾸므로 이전 방법은 적당하지 않다. 이런 종류의 기저 문제를 푸는 방법은 후에 논의.

[예제4] 행 소거에 의한 기저 찾기 (a) 다음 벡터들에 의해 생성된 R5    의 부분공간 W에 대한 기저를 구하여라. v1=(1,0,0,0,2),    v2=(-2,1,-3,-2,-4) V3=(0,5,-14,9,0), v4=(2,10,-28,-18,4) (b) W⊥ 의 기저를 구하여라.  풀이(a) 주어진 벡터들에 의해 생성된 부분공간은 그 행렬의 행공간

영이 아닌 행을 추출하면 기저 벡터들을 생성 3개의 기저벡터들이 있고, dim(W)=3 (다른 방법) A로부터 기약 행다리꼴 w1=(1,0,0,0,2),    w2=(0,1,-3,-2,0), w3=(0,0,1,1,0)     3개의 기저벡터들이 있고, dim(W)=3 (다른 방법) A로부터 기약 행다리꼴                               (5)    기저 벡터 w1'=(1,0,0,0,2),    w2'=(0,1,0,1,0), w3'=(0,0,1,1,0)    

풀이(b) W⊥은 A의 영 공간이라는 사실 동차계 Ax=0의 해 공간에 대한 기저 식(5)의 R은 A의 기약 행사다리꼴이기 때문                           u1=(-2,0,0,0,1),    u2=(0,-1,-1,1,0)    는 W⊥ 의 기저

주어진 부분공간의 벡터인지 결정하기 문제 1. Rm 의 벡터들의 집합 S ={v1,v2,···vn}이 주어졌다. b =(b1,b2,···bm)  이 span(S) 안에 있기 위한 b1,b2,···bm 의 조건들을 구하라. 문제 2. mxn 행렬 A가 주어졌다. b =(b1,b2,···bm)가 col(A)안에 있기 위한 b1,b2,···bm 의 조건들을 구하라. 문제 3. 선형변환 T : Rn → Rm 이 주어졌다. b =(b1,b2,···bm) 가 ran(T)안에 있기 위한 b1,b2,···bm 의 조건들을 구하라

같은 문제를 달리 표현한 것이다. [예제6] 주어진 부분공간에 있기 위한 벡터의 조건들 예제4에서 벡터 v1,v2,v3 과 v4에 의해 생성된 R5 의 부분공간에 벡터 b =(b1,b2, b3,b4,b5)가 반드시 있을 조건은 무엇인가? (풀이1) x1v1+x2v2+x3v3+x4v4 = b 

해가 존재하는지에 대한 문제(consistency problem)

(풀이2) b가 span{v1,v2,v3,v4} 에 포함되기 위한 필요충분조건은 이 공간이 span{v1,v2, v3,v4,b} 와 같은 차원을 갖는것 식(11)이 계수 3을 가지기 위해 b3-b2-b1=0 와 b5-2b1=0

(풀이3) b =(b1,b2, b3,b4,b5)가 벡터 v1,v2,v3,v4 에 의해 생성된 부분공간 W에 있다는 것은 b가 W⊥ 의 모든 벡터에 수직. u1=(-2,0,0,0,1) 와 u2= (0,1,-1,-1,0)가 W⊥의 기저 b가 u1과 u2에 수직하면 b는 W⊥의 모든 벡터에 수직 수직 조건 u1 ·b = 0  와 u2 ·b = 0      -2b1+b5=0 과 –b2-b3+b4=0     [예제7] 유용한 알고리즘 b1=(7,-2,5,3,14) , b2=(7,-2,5,3,6) , b1=(0,-1,3,-2,0) 3 벡터 중 어떤 벡터가 예제4의 벡터 v1,v2,v3,v4에 의해 생성된 R5 의 부분공간에 있는지를 결정하라.

Cx=b1은 해를 가지지만, Cx=b2 와 Cx=b3 는 그렇지 않으리라는 것

7.4 행렬의 차원정리와 결과 행렬의 차원 정리 정리2.2.2로부터 AX=0가 n개의 미지수를 가진 동차 선형계 붙인 행렬의 기약행사다리꼴이 r개의 영이 아닌 행. 선형계는 n-r개의 자유 변수 동차 선형계에 대한 차원 정리 자유변수의 수= n-rank(A) 자유 변수는 계 AX=0의 일반해 안에 매개변수를 구성 rank(A) + nullity(A) = A의 열의 수 <정리7.4.1> (행렬의 차원 정리) A가 m x n 행렬이라면, rank(A) + nullity(A) = n

[예제1] 행렬의 차원 정리     7.3절의 식(5) 7.3절의 식(7)       rank(A) + nullity(A) = 3 + 2 = 5

기저로 일차 독립인 집합의 확장 정리7.2.2의 (b)에 의해 Rn의 모든 일차 독립 집합 {v1,v2,···vk}은 독립벡터들을 추가함으로써 Rn 의 기저로 확장. 한 가지 방법은 v1,v2,···vk를 행벡터로 가지는  행렬 A를 만드는 것. 벡터들에 의해 생성된 부분공간은 A의 행공간. 동차선형계 AX=0 을 풀면, A의 영 공간에 대한 기저. 이 기저는 차원정리에 의해 n-k 벡터. 가령 wk+1···,wn   이라하면,이들은 모든 v에 직교. null(A)와 row(A)는 직교. 이러한 직교성은 집합 {v1,v2,···vk , wk+1···,wn}이 일차독립이란 것을 의미하고 Rn 의 기저를 이룬다.

[예제2] 기저에 대한 일차독립집합의 확장 벡터 u1=(1,3,-1,1)과 u2=(0,1,1,6)      R5 의 기저로 집합 {v1,v2}을 확장 풀이      선형계 AX=0 을 풀어서 행렬의 영 공간에 대한 기저     v1=(1,3,-1,1), v2=(0,1,1,6),V3=(4,-1,1,0), v4=(17,-6,0,1) 는 R4 의 기저

행렬의 차원 정리에 따른 몇가지 결과 <정리7.4.2> m x n 행렬 A가 계수 k를 가지면, (a) A의  영공간의 차원은 n-k. (b) A의 모든 행사다리꼴은 k개의 영이 아닌 행을 가진다. (c) A의 모든 행사다리꼴은 m-k개의 영 행을 가진다. (d) 동차계 AX=0는 k개의 추축 변수(선행 변수)와 n-k개의 자유 변수를 가진다. [예제3] 행렬의 차원정리의 결과 영공간의 차원3을 가지는 5 x 7 행렬에 관한 몇 가지 사실들을 언급하라. 풀이  ‧ rank(A) = 7 - 3 = 4. ‧ A의 모든 행사다리꼴은 5-4=1개의 영 행을 가진다. ‧ 동차계 AX=0는 4개의 추축 변수와 7 - 4 = 3개의 자유 변수를 가진다.

부분공간에 대한 차원 정리 [예제4] 행렬의 차원 정리에 의해 부가된 제한 사항들 5 x 7 행렬 A는 1차원 영공간을 가질 수 있는가? 풀이  rank(A) = 7 - nullity(A) = 7 - 1 = 6 A의 5개의 행벡터들은 6차원 공간을 생성할 수 없으므로 불가능하다. 부분공간에 대한 차원 정리 <정리 7.4.3> (부분공간에 대한 차원정리) W가 Rn의 부분공간이면 dim(W) + dim(W⊥) =  n

통합정리 <정리7.4.4> A는 n x n 행렬이고 TA가 기본 행렬A를 가지는 Rn의 선형연산자라면. 다음 명제들은 동치이다. (a) A의 기약 행사다리꼴은 In 이다. (b) A는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다. (c) A는 가역이다. (d) AX=0는 자명한 해만 가진다. (e) AX=b는 Rn의 모든 벡터b에 대해 해를 가진다. (f) AX=b 는 Rn의 모든 벡터b에 대해 정확히 한 개의 해를 가진다. (g) det(A)≠0 이다. (h) λ=0 은 A의 고유값이 아니다. (i) TA 는 단사이다. (j) TA 는 전사이다.

(k) A의 열벡터들은 일차독립이다. (l) A의 행벡터들은 일차독립이다. (m) A의 열벡터는 Rn을 생성한다. (n) A의 행벡터는 Rn을 생성한다. (o) A의 열벡터는 Rn의 기저를 이룬다. (p) A의 행벡터는 Rn의 기저를 이룬다. (q) rank(A) = n이다. (r) nullity(A) = 0이다.

초평면 <정리7.4.5> W가 차원n-1을 가지는 Rn의 부분공간이면 W=a⊥인 영이 아닌 벡터 a가 있다. 즉, W는 Rn의 원점을 지나는 초평면이다. <정리7.4.6> Rn의 원점을 지나는 초평면의 직교여공간은 Rn의 원점을 지나는 직선이고, Rn의 원점을 지나는 직선의 직교여공간은 Rn의 원점을 지나는 초평면이다. 특히, a 가 Rn의 영이 아닌 벡터라면, 직선 span{a}와 초평면 a⊥은 서로 직교여공간이다. 계수 1 행렬 m x n 행렬 A에 관한 몇 가지 사실 ‧ rank(A)=1이면, nullity(A)=n-1이고, A의 행 공간은 Rn의 원점을 지나는 직선이고 영공간은 Rn의 원점을 지나는 초평면이다. 반대로, A의 행공간이 Rn의 원점을 지나는 직선이고, A의 영공간이 Rn의 원점을 지나는 초평면이라면, A의 계수는 1이다. ‧ rank(A)=1이면, A의 행공간은 영이 아닌 적당한 벡터 a 에 의해 생성되고, A의 모든 행 벡터들은 a 의 스칼라배수이고 A의 영공간은 a⊥이다. 반대로, A의 행벡터들이 영이 아닌 벡터 a의 스칼라배수라면, A의 계수는 1이고 A의 영공간은 초평면 a⊥이다.

[예제6] 계수가 1인 행렬 다음 행렬들은 계수가 1 계수 1 행렬은 영이 아닌 열벡터들의 외적을 계산할 때 발생      u와 v의 외적(outer product)              행렬의 모든 행벡터들은 영이 아닌 벡터 VT의 스칼라배수

예제7 uvT 곱으로부터 계수 1 행렬 만들기 이 행렬은 계수가 1이다. <정리7.4.7> u가 영이 아닌 uvT행렬이고 v가 영이 아닌 n x 1행렬이면, 외적 uvT 는 계수 1을 가진다. 반대로 A가 계수 1을 가지는 m x n 행렬이면, A는 위의 형태의 곱으로 분해될 수 있다. [예제8] 계수1인 행렬을 uvT의 형태로 분해하기 예제6의 첫 번째 행렬을 분해 첫 번째 행으로 vT 를 취한다.

대칭인 계수 1인 행렬 u가 영이 아닌 열 벡터             계수가 1인 것에 추가로 대칭 <정리7.4.8> u가 영이 아닌 n x 1열벡터이면, 외적 uvT는 계수가 1인 대칭 행렬이다. 역으로 A가 계수가 1인 대칭 n x n행렬이라면, 적당한 영이 아닌 n x 1열벡터 u에 대하여, A= uvT 또는 A = - uvT 로 분해될 수 있다.

[예제9] uvT로부터 발생하는 계수 1인 대칭행렬     대칭이고 계수가 1임

7.5 계수정리와 결과 계수정리 <정리7.5.1> (계수정리) 행렬의 행공간과 열공간은 같은 차원을 가진다. [예제1] 행공간과 열공간은 같은 차원을 가짐                                          A의 열공간에 대한 열벡터의 기저

<정리7.5.2> A가 m x n 행렬이면, rank(A) = rank(AT)    A가 m x n 행렬이면 rank(AT) + nullity(AT) = m rank(A) + nullity(AT) = m A가 계수k를 가지는    행렬        dim(row(A)) = k,  dim(null(A)) = n-k dim(col(A)) = k,  dim(null(AT)) = m-k          [예제2] 계수로부터 기본공간의 차원 구하기     의 계수를 찾고, A의 기본공간의 차원을 계산

(풀이)      A는 계수 2를 가지고 dim(row(A)) = rank = 2 dim(null(A)) = number of columns - rank = 5-2 = 3 dim(col(A)) = rank = 2 dim(null(AT))= number of rows - rank = 3-2 = 1

해를 가짐과 계수 사이의 관계 <정리7.5.3> (해를 가짐 정리) AX=b가 n개의 미지수의 m개의 방정식을 가지는 선형계이면, 다음 명제들은 동치 (a) AX=b는 해를 가진다. (b) b는 A의 열공간 안에 있다. (c) 행렬 A의 계수와 붙인 행렬 [A|b] 은 같은 차원 [예제3] 해를 가짐 정리의 시각화

<정의7.5.4> 행렬의 열벡터들이 일차독립이면, m x n 행렬 A는 전열계수(full column rank)를 가진다고 하고, 행렬의 행벡터들이 일차독립이면, 전행계수(full row rank). <정리7.5.5> A가 m x n 행렬이면, (a) A가 전열계수를 갖기위한 필요충분조건은 A의 열벡터들이 열공간의 기저를 이루는 것이다. 즉 rank(A)=n과 필요충분조건이다. (b) A의 전형계수를 갖기위한 필요충분조건은 A의 행벡터들이 행공간의 기저를 이루는 것이다. 즉 rank(A)=m과 필요충분조건이다. [예제4] 전열계수와 전행계수       열벡터들이 서로의 스칼라배가 아니므로 전열계수 R2의 3 벡터들이 일차 종속이므로 전행계수는 갖지 못함.

<정리7.5.6> A가 m x n행렬이면, 다음 명제는 동치이다. (a) AX=0는 자명한 해만 가진다. (b) AX=b는 Rm의 모든 b에 대해 기껏해야 하나의 해를 가진다. (c) A는 전열계수를 가진다. [예제5] 전열계수로부터 파생되는 결과 는 전열계수를 가지는 것 정리7.5.6은 AX=0가 오직 자명해만 가지고 AX=0는 R3의 모든 b에 대해 기껏해야 하나의 해 좌변이 기약행사다리꼴이 될 때까지 붙인행렬 [A|b] 을 줄이면      두가지가능성 b3-b2+5b1≠0 , b3-b2+5b1=0 . 첫 번째 경우 계는 해를 가지지 않고, 두 번째 경우 계는 유일한 해 x1=b1, x2=b2-2b1 를 가진다. 어떤 경우든 기껏해야 하나의 해를 가진다는 말

과다결정와 과소결정 선형계 ATA 와 AAT 형태의 행렬 <정리7.5.7> A가 m x n 행렬이면, (a) (과대결정의 경우) m>n이면, 계 AX=b는 Rm의 어떤 벡터 b에 대해 해를 갖지 못한다. (b) (과소결정의 경우) m<n이면, 계 AX=b는 Rm의 어떤 벡터 b에 대해 해를 갖지 못하거나 무수히 많은 해를 가진다. ATA 와 AAT 형태의 행렬 ATA 와 AAT의 형태의 행렬은 많은 응용분야에서 중요한 역할 A가 열벡터 a1,a2,···,an 를 가지는 m x n 행렬이면,

r1, r2, ···, rm가 A의 행벡터들이면,     <정리7.5.8> A가 m x n 행렬이면, (a) A 와 ATA 는 같은 영공간을 가진다. (b) A 와 ATA 는 같은 행공간을 가진다. (c) A 와 ATA 는 같은 열공간을 가진다. (d) A 와 ATA 는 같은 계수를 가진다. <정리7.5.9> A가 m x n 행렬이면, (a) AT 와 AAT 는 같은 영공간을 가진다. (b) AT와 AAT 는 같은 행공간을 가진다. (c) A 와 AAT 는 같은 열공간을 가진다. (d) A 와 AAT 는 같은 계수를 가진다.

통합정리 <정리7.5.10> A가 m x n 행열이면, 다음 명제들은 동치이다. (a) AX=0  는 오직 자명한 해만 가진다. (b) AX=b  는 Rm의 모든 b 에 대해 기껐해야 하나의 해를 가진다. (c) A 는 전열계수를 가진다. (d) ATA 는 가역이다. <정리7.5.11> A가 m x n 행렬이면, 다음 명제들은 동치이다. (a) ATX =0는 오직 자명한 해만 가진다. (b) ATX=b 는 Rn 의 모든 벡터 b 에 대해 기껏해야 하나의 해를 가진다. (c) A 는 전행계수를 가진다. (d) AAT 는 가역이다.

[예제7] 전열계수와 전행계수의 행렬식 판별법 예제4에서 행렬      는 전열계수를 가지지만, 전행계수는 가지지 못한다 는것을 적당한 행렬식을 이용하여 이 결과들을 확인 (풀이) 전열계수를 검사하기     전형계수를 검사하기 det(ATA)=27≠0 이므로, 행렬A는 전열계수를 가지고, det(AAT)=0 이므로, 행렬A는 전행계수를 가지지 못한다.

계수의 응용 제한된 대역폭을 가진 통신선로에 많은 양의 디지털 정보를 전송하기 위한 효율적인 방법 계수는 ‘중복성(redundancy)'을 측정하는 중요한 역할 A가 계수 k 인 m x n 행렬, n-k 개의 열벡터와 m-k 개의 행벡터는 k의 일차 독립 열 혹은 일차독립 행으로 표현

7.6 추축정리와 이에 의한 결과 기본문제 확인 벡터집합 S =v1,v2,···vs 에 의해 생성된 부분공간W에 대한 기저를 찾는 문제 두 가지 변형된 형태 1. W의 임의의 기저를 찾아라. 2. S의 벡터들로 구성되는 W의 기저를 찾아라. 기본행연산들은 행렬의 열공간은 바꾼다.     A의 열공간은 벡터 v=(1,1)의 생성이고, B의 열공간은 벡터 w=(1,0)의 생성

c1 과 c2 로 표시되는 A의 열벡터들은     c´1 와 c´2 로 표시되는 B의 열벡터 비록 A로부터 B를 만드는 행연산이 열공간을 유지하지 않지만, 열벡터들 사이의 종속 관계(dependency relation)는 유지 A와 B를 행동치행렬로서       동차선형계 Ax=0 과 Bx=0 은 같은 해집합 다음 두 선형계도 이들 동차선형계의 벡터형식이므로 같은 해집합

[예제1] A의 열벡터를 구성하는 col(A)에 대한 기저     A의 열공간에 대한 기저를 이루는 열벡터들의 부분집합 풀이 A를 기약 행사다리꼴 A가 계수 3을 가진다는 것을 의미 A의 3개의 일차독립 열벡터들을 찾는다면, 이 벡터들은 정리7.2.6에 의해 A의 열공간의 기저

선행 1(열 1,3,5)을 가지는 U의 열벡터들에 초점     행사다리꼴 U에서 선행1을 가지는 열 위치의  A의 열벡터들이 A의 열공간의 기저가 됨 행사다리꼴 U에서 선행1을 가지는 열 위치의  A의 열벡터들이 A의 열공간의 기저가 됨

<정의7.6.2> 행렬A의 행 사다리꼴에서 선행 1을 이끄는 열의 위치에 있는 열벡터들을 A의 추축열(pivot column). (알고리즘1) W가 S =v1,v2,···vs 에 의해 생성된 Rn 의 부분공간이면, 다음 과정은 S로부터 W에 대한 기저를 추출하고 기저에 있지 않는 S의 벡터들을 기저 벡터의 일차결합으로 표현한다. 단계1. 연속적인 열벡터 v1,v2,···vs 들로 행렬 A를 구성하여라. 단계2. A를 행사다리꼴 U로 줄이고, A의 추축열들을 결정하기 위해 선행 1을 가지는 열들을 찾아라. 단계3. W에 대한 기저를 얻기 위해 A의 추축열들을 추출하여라. 적당하다면, 이 기저 벡터들을 괄호표기형식으로 고쳐라.

단계4. 기저벡터들의 일차결합으로 기저에 있지 않은 S의 벡터들을 표현하고자 하면, A의 기약행 사다리꼴 R을 얻기 위해 계속해서 U를 줄여라. 단계5. 검사에 의해, 선행 1을 갖지 않는 R의 열벡터들을 선행 1을 갖는 그 앞의 열벡터들의 일차결합으로 표현하라. 이 일차결합의 열벡터를 A의 대응되는 열벡터로 대치함으로써 기저에 있지 않은 A의 열벡터를 기저벡터들의 일차결합으로 나타내게 된다. [예제2] 생성벡터들의 집합으로부터 기저 추출하기 W는 다음 벡터들에 의해서 생성된 R4 의 부분공간 v1=(1,-2,0,3), v2=(2,-5,-3,6), v3=(0,1,3,0) v4(2,-1,4,-7), v5=(5,-8,1,2) (a) W의 기저를 이루는 이 벡터들의 부분공간을 찾아라. (b) 기저에 있지 않은 S ={v1,v2,v3,v4,v5}의 벡터들을 기저에 있는 벡터들의 일차 결합으로 표현하라.

풀이(a)  선행 1은 열 1,2,4에서 일어나고, 따라서 W의 기저 벡터들은 v1=(1,-2,0,3), v2=(2,-5,-3,6), v4=(2,-1,4,-7)

풀이(b) 기약행사다리꼴 행렬의 기본 공간들에 대한 기저 행렬 A를 행사다리꼴 U 혹은 기약 행사다리꼴 R로 줄임으로써 1. U의 영이 아닌 행들은 row(A)에 대한 기저를 이룬다. 2. 선행1을 가지는 U의 열들은 A의 추축을 알려 주고, 이들은 col(A)의 기저를 이룬다. 3. Ax=0 의 정규해는 null(A)에 대한 기저를 이루고, 이들은 계 Rx=0 으로부터 쉽게 얻어진다.

(알고리즘2) A가 계수 k 인 m x n 행렬이고, k<m 이면, 다음 과정은 A에 대한 기본행연산으로 null(AT )에 대한 기저를 생산한다. 1단계. 분할된 행렬[A|Im]을 만들기 위해 A의 오른쪽에 m x m의 항등행렬을 인접시켜라. 2단계. A가 기약 행사다리꼴 U가 될 때까지 [A|Im]에 기본행연산들을 적용하고, 그 결과 얻어지는 분할된 행렬을 [U|E]라 하자. 3단계. U의 영 행들을 떼어 내기 위해 수평규칙을 추가함으로써 [U|E]를 재분할하여 다음 형태의 행렬을 만든다. 4단계. E2 의 행벡터들은 null(AT )의 기저를 형성한다.

예제3 A의 행축소에 의한 null(AT)의 기저      행축소에 의해 null(AT)의 기저를 찾기 위해 알고리즘2를 적용 (풀이) 

행렬 E2 가 하나의 행벡터 w = [1 0 0 1]는 null(AT)에 대한 기저 null(AT)와 col(A)는 직교여공간 벡터w는 예제1에서 얻은 col(A)에 대한 기저 벡터들에 수직 열-행 인수 분해 <정리7.6.4> (열-행 인수분해) A가 계수k 를 가지는 m x n행렬이면, A는 A = CR 로 분해될 수 있다. 이때 C는 A의 추축열들이 열벡터인 m x k행렬이고 R은 A의 기약 행사다리꼴의 영이 아닌 k x n 인 행렬이다.

[예제4] 열-행 인수분해 행렬

열-행 확장 <정리7.6.5> (열-행 확장) A가 계수k를 가지는 영이 아닌 행렬이면, A는 A=c1r1+c2r2+···+ckrk 로 표현될 수 있다. c1,c2,···,ck는 A의 연속적인 추축열들이고, r1,r2,···,rk는 A의 기약행사다리꼴의 연속적인 영이 아닌 행벡터들이다 [예제5] 열-행 확장 예제4에서 행렬A에 대해 얻어진 열-행 인수분해로부터, A의 대응하는 열-행 확장

7.7 사영정리와 결과 R2 의 직선위로 정사영 6.1절의 식(21)에서 xy-좌표계의 양의x-축과 각 θ 를 이루는 원점을 지나는 직선위로 R2의 정사영에 대한 표준행렬 pθ                             R2 의 영이 아닌 벡터 a가 주어졌다고 가정하고  직선 W=span{a}위로의 벡터x의 정사영 그림 7.7.1

그림7.7.1로 부터 벡터x x=x1+x2                                          (2) x1 은 W위로의 x의 정사영 x2= x-x1는 W에 수직 벡터 x1은 a의 스칼라배수 x1=ka                                   (3) 벡터 x2= x-x1=x-ka 는 a에 직교                                               (4) x의 span{a}로의 정사영을 a와 x에 대해 나타낸 공식 x1 을 projax 로 표시

[예제1]  식(5)를 사용하여 xy-좌표계의 양의 x-축과 각 θ를 이루고 원점을 지나는 직선위로의 R2 의 정사영에 대한 표준행렬 pθ     그림7.7.2 (풀이) 벡터 u=(cosθ,sinθ)는 W위에 있는 단위벡터를 식(5)의 a로사용하고 ,     =1인 사실을 이용하면,

직선 위의 표준단위벡터 e1=(1,0) 과 e2=(0,1) 의 정사영들은     이 벡터들은 열형태로 표현

Rn 의 원점을 지나는 직선들 위로의  정사영 그림 7.7.3

<정리7.7.1> a가 Rn의 영이 아닌 벡터라면, Rn의 모든 벡터x는 정확히 한 가지로 표현될 수 있다. x=x1+x2                                         (6) x1은 a의 스칼라배이고, x2는 a에 수직이다 (따라서 x1에도 수직이다). x1과 x2은 다음과 같다.     <정의7.7.2> a가 Rn의 영이 아닌 벡터라면, x가 Rn의 벡터라면, x의 span{a}위로의 정사영(orthogonal projection)은 projax로 표현되고, 다음과 같이 정의된다.           [예제2] 벡터성분 계산 X=(2,-1,3)과 a=(4,-1,2)일 때, x의 a상의 벡터성분과 x의 a에 수직인 벡터성분을 구하라.

(풀이)  x·a=(2)(4)+(-1)(-1)+(3)(2)=15        (12)   =a·a=42+ (-1)2+ +22=21             (13) 식(7)과 (11)에 의해 a를 따르는 x의 벡터성분은 과 a에 수직한 x의 벡터성분은     projax 의 길이를 찾는데 관심                             (14) (14)

Rn 의 사영 연산들 연산자 T : Rn →Rn 를 정의 span{a}위로의 Rn 의 정사영(orthogonal projection of Rn  onto span{a}) <정리7.7.3> a가 Rn의 영이 아닌 벡터이고, a가 열형태로 표현된다면, 선형연산자 T(x)=projax 에 대한 표준행렬은 이다. 이 행렬은 대칭이고 계수는 1이다.

직선상의 기본벡터 u를 사용할 수 있다.     이고, P에 대한 식은 P=uuT                                              (17) 원점을 지나는 직선위로의 Rn의 정사영에 대한 표준행렬은 직선 상의 단위벡터를 찾고 그것을 가지고 자신과 벡터의 외적을 해 줌으로써 얻을 수 있다. [예제4] 예제1의 다른 관점 식(17)을 이용하여 xy-직교좌표계의 양의 x축과 각θ를 가지는 원점을 지나는 직선W 위로의 R2 의 정사영에 대한 표준행렬 pθ     (풀이) u=(cosθ,sinθ)가 직선을 따르는 단위벡터

[예제5] 정사영에 대한 표준행렬 (a) 벡터 a=(1,-4,2)에 의해 생성되는 직선 위로의 R3 의 정사영에 대한 표준행렬P를 구하여라. (b) a에 의해 생성된 직선 위로의 벡터 a=(2,-1,3)의 정사영을 찾기 위해 행렬을 사용하여라. (c) P가 계수 1을 가지는 것을 보이고, 기하학적 해석. 풀이(a) 

풀이(b) 풀이(c) 식(19)의 행렬P는 두 번째와 세 번째 열들은 첫 번째 의 스칼라배수 이므로 계수 1

일반 부분공간의 정사영 <정리7.7.4> (부분공간에 대한 사영 정리) W가 Rn의 부분공간이면, Rn의 모든 벡터는 정확히 한가지 방법으로 다음과 같이표현될 수 있다. x=x1+x2                         (20)  이때  x1은 W , x2 는 W⊥에 있다. <정리7.7.5> W가 Rn의 영이 아닌 부분공간이고, M이 W에 대한 기저를 이루는 열벡터들을 가지는 행렬이면, Rn의 모든 열벡터 x에 대하여 projwx = M(MTM)-1MTx                           (25) 식(25)를 사용하여 표준행렬이 아래(27)의 P와 같은 Rn의 선형연산자를 정의 T(x) = projw(x) = M(MTM)-1MTx             (26) P = M(MTM)-1MT                                    (27) 이 연산자를 W위로의 Rn의 정사영

[예제6] 원점을 지나는 평면 위로의 R3 의 정사영 (a) 평면 x-4y+2z=0 위로의 R3 의 정사영에 대한 표준행렬 P를 구하라. (b) 평면 위로의 벡터 x=(1,0,4) 의 정사영을 찾기 위해 행렬 P를 사용하라. 풀이(a)      해공간에 대한 기저행렬M을 다음과 같이

풀이(b) 평면 x=4y+2z=0 위로의 x의 정사영은 열형태 x를 가지는 Px

언제 행렬은 정사영을 표현하는가? n x n 행렬 P가 Rn 의 k 차원 부분공간 W위로의 정사영을 표현하기 위해서 어떤 성질 식(27)로부터 행렬M이 W에 대한 기저를 이루는 열벡터들을 가지는 n x n 행렬    이것은 P2 = P  를 의미한다. 행렬이 자신을 제곱한 행렬과 같다는 멱등원(idempotent)

[예제7] 정사영의 성질들 정리7.7.6에 의해, 행렬P는 대칭이고 멱등원이다.

예제8 정사영 찾아내기      가 원점을 지나는 직선위로의 R3 의 정사영에 대한 표준행렬이란 것을 보이고 그 직선을 찾아라. (풀이) A가 대칭이고, 멱등원이고, 계수 1을 가지는 것에 대한 증명은 생략 직선은 벡터 a=(1,2,2)이 생성을 이루고, xyz-좌표계의 매개변수로 다음과 같이 x=t , y=2t , z=2t

Strang 도표 식(24)는 선형방정식의 계를 공부하는 데 유용 그림 7.7.5 직교항의 합으로 x x = xrow(A) + xnull(A)                                         (29) xrow(A) 는 A의 행공간 위로의 x의 정사영 xnull(A) 는 A의 영공간 위로의 x의 정사영 W = col(A)와 W⊥ = null(A⊥)를 가지는 식(24)를 b에 적용

    는 A의 열공간 위로의 b의 정사영      는 AT 의 영공간 위로의 b의 정사영 그림7.7.5에서 보여주는데, 직각인 두 직선으로 A의 기본 공간들을 나타냈다.  Strang 도표(Strang diagram) dim(row(A)) + dim(null(A)) = n            (31) dim(col(A))  + dim(null(AT)) = m        (32) 정리3.5.5로부터 계 Ax=b가 해를 갖기 위한 필요충분조건이 b가 A의 열공간에 포함되는 것     =0인 것과 필요충분조건이 됨

그림7.7.6의 Strang도표에 의해 설명 그림7.7.6

전열계수와 선형계의 해 존재 <정리7.7.7> A가 m x n 행렬이고 b는 A의 열공간에 있다고 하자. (a) A가 전열계수를 가진다면, Ax=b는 유일한 해를 가지고, 그 해는 A의 행공간에 있다.  (b) A가 전열계수를 가지지 않는다면, Ax=b는 무한히 많은 해를 가진다. 그러나 A의 행공간에서는 유일한 해가 존재한다. 더욱이, 그 계의 모든 해들 중에서, A의 행공간에 있는 해는 가장 작은 놈(norm)을 가진다. 이 정리는 그림7.7.7의 Strang 도표에 의해 표현 그림의 (a)는 A가 전열계수를 가지는 m x n행렬이고 Ax=b가 해를 가지는 경우를 표현

그림의 (b)는 계가 해를 가지지만 A는 전열계수를 갖지 않는 경우 그림 7.7.7

이중직교정리 <정리7.7.8> (이중 직교 정리) W가 Rn의 부분공간이면, (W⊥) ⊥= W  이다. W⊥위의 정사영 Rn의 부분공간 W에 대해, 정사영     에 대한 기본행렬은 두 가지 방법 (한가지 방법) W⊥의 기저 벡터들로 이루어진 M의 열벡터들을 가지고 식(26)을 적용하는 것 (다른 방법)   를     를 이용하여 다음과 같이 표현하기 위해 식      를 이용하는 것 이때 M의 열벡터들은 W의 기저

[예제9] 직교여공간 위로의 정사영 예제6에서 평면 x-4y+2z=0 위로의 R3 의 정사영에 대한 표준행렬이 아래와 같다는 것을 보였다.     평면에 수직이고 원점을 지나는, 즉 벡터 a=(1,-4,2) 로 생성된 직선 위로의 R3 의 정사영은 식(36)에 의해 예제5에서 정리7.7.3을 이용하여 얻은 결과와 일치.

7.8 최적근사와 최소제곱 최소거리문제 Rn 에서의 최소거리문제 Rn에 부분공간 W와 벡터 b가 주어졌을 때, W내의 벡터    로 W내의 다른 모든 벡터 w에 대해     를 만족시키는 b에 가장 가까운    를 찾아라. 벡터   가 존재한다면, W로부터 b의 최적근사(best approximation) 그림7.8.1

b가 R3 의 한 점이고 W가 원점을 지나는 평면이면, b에 가장 가까운 W내의 점    은 b에서 W로 수직선     . W⊥ 은 W에 수직한 원점을 지나는 직선 그림7.8.2

[예제1] R3 의 한 점과 평면사이의 거리 정사영을 사용하여 한 점(x0,y0,z0)에서 평면 ax+by+cz=0사이의 거리 d에 대한 식 (풀이) b=(x0,y0,z0)라 하고, W가 주어진 평면, 그리고 l 이 W에 수직한 원점을 지나는 직선 직선 l 은 평면의 법선벡터 n=(a,b,c)에 의해 생성       예로, 한 점(-1,5,4)에서 평면 x-2y+3z=0까지의 거리는

<정리7.8.1> (최적 근사 정리) W가 Rn의 부분공간이고, b가 Rn의 한 점이면, W로부터 b의 유일한 최적근사가 있다. 즉,     이다. [예제2] 한 점에서 초평면까지의 거리 Rn 의 한 점 b = (b1,b2,···bm)에서 초평면 a1x1+a2x2++anxn=0 까지의 거리 d에 대한 식. 풀이 

선형계의 최소제곱해 <정의7.8.2> A는 m x n행렬이고 b는 Rm의 벡터라면, Rn의 모든 x에 대하여                          이면 Rn 의 벡터 는 Ax=b 의 최적근사해(best approximate solution)혹은 최소제곱해(least squares solution). 벡터      는 최소제곱오차벡터(least squares error vector), 스칼라     는 최소제곱오차(least squares error).                     오차의 제곱의 합인     를 최소화. 최소제곱해

선형계의 최소제곱해 찾기 n개의 미지수를 가진 m개의 방정식의 선형계 Ax=b의 최소제곱해를 찾기 위한 방법 그림 7.8.3

일 때      는 최소(그림7.8.3).    는 A의 열공간의 벡터, 계(7)은 해를 가지고 해는 Ax=b의 최소제곱해 식(7)을 다시 쓰면           col(A)의 직교성분은 null(AT)이므로          가 AT 의 영공간이라는 것을 의미 식(9)는  AT(b-Ax)=0   AtAx = ATb                                      (10) Ax=b의 정규방정식(normal equation)/정규계(normal system)

<정리7.8.3> (a) 선형계 Ax=b의 최소제곱해들은 정규방정식의 엄밀한(exact) 해. ATAx = ATb                                     (11) (b) A가 전열계수를 가지면, 정규방정식은 유일한 해.                             (c) A가 전열계수를 가지지 않는다면, 정규방정식은 무한히 많은 해를 가지지만, A의 행공간에는 유일한 해가 있다. 더욱이 정규방정식의 모든 해 중에서 A의 행공간의 해는 가장 작은 놈(norm)을 갖는다. [예제3] 최소제곱해 다음 선형계의 최소제곱해 x1-x2=4 3x1+2x2=1 -2x1+4x2=3

풀이

최소제곱오차벡터들의 직교특성 7.7절의 식(30)으로부터 b     식(7)로부터  x가 Ax=b의 최소제곱해가 되기 위한 필요충분조건이 이것과 식(13)에 의해서    는 Ax=b의 최소제곱해가 될 필요충분조건은                                Ax=b의 모든 최소제곱해    는 같은 오차 벡터를 가짐 최소제곱오차벡터=      최소제곱오차 =            최소제곱오차 벡터는 null(AT)에 있고

[예제4] 최소제곱해와 최소제곱오차벡터 다음 선형계에 대한 최소제곱해와 최소제곱오차를 구하라. 3x1+2x2-x3=2     X1-4x2+3x3=-2     X1+10x2-7x3=1     풀이

b-Ax가 t에 의존하지 않으므로, 모든 최소제곱해는 같은 오차벡터를 생성한다.  최초제곱오차는

그림7.8.4의 Strang 도표는 선형계 Ax=b의 최소제곱해에 관해 그림 7.8.4                                                                                                그림7.8.4의 Strang 도표는 선형계 Ax=b의 최소제곱해에 관해 그림7.8.4a의 Strang 도표는 A가 전열계수를 가지지 않는 경우 그림7.8.4b의 Strang 도표는 A가 전열계수를 가지는 경우

실험 데이터에 곡선 맞추기 실험에서 구한 x와 y의 값에 대응되는 평면 상의 점 (x1, y2), (x2, y2), ···, (xn, yn)     곡선 y=f(x)를 ‘맞추어서’ 두 변수 x와 y사이의 수학적 관계를 찾아내는 것 그림 7.8.5

다음과 같은 선형방정식

데이터 점들의 x좌표가 모두 같지 않다면, M은 계수 2(전열계수)를 가질 것 정규계는 유일한 최소제곱해                                 직선 y=a+bx는 데이터에 가장 잘 맞는 최소제곱직선(least squares line of best fit)/회귀직선(regression line) 이 직선은 다음 값을 최소화하는 것     식(24)에서 대괄호 안에 있는 두 값의 차이를 잔차(residual)

[예제5] 네 점 (0,1), (1,3), (2,4)와 (3,4)에 가장 잘 맞는 최소제곱직선 풀이

데이터에 가장 잘 맞는 최소제곱직선은 y=1.5+x 그림 7.8.7

[예제6]  Hooke 법칙의 최소제곱 응용 그림 7.8.8               스프링은 x에 대하여 선형방정식 y=a+bx로 주어지는 길이 y만큼 늘어날 것 상수 k=1/b는 스프링의  강성(stiffness)

풀이 식(25)의 합들을 대입하면 정규계     스프링의 원래 길이가 a=6.2cm, 강성의 최소제곱 근사값이 k=1/b=1.5N/cm

고차 다항식에 의한 최소제곱해 데이터 점들의 집합에 지정된 차수의 다항식을 맞추는 것

m=n-1이고 x좌표가 모두 다른 경우, 정리2.3.1은 정확히 점들을 지나는 유일한 m차 다항식의 그래프가 존재 최소제곱해  정규계를 풀어서 최소제곱해

예제7 뉴턴 제2법칙에 대한 최소제곱 응용 뉴턴 제2법칙에 의해 그림 7.8.9

여기에서,  y= 아래 방향을 가리키는 수직인 y-축의 원점에 대한 물체의 좌표(그림7.8.9) y0= 초기 시점 t=0에서의 물체의 좌표 v0= 초기 시점 t=0에서의 물체의 속도 g= 중력가속도(acceleration due to gravity)로서 상수 다음 표의 데이터로부터 y0, v0, g 의 최소제곱추정

풀이

이 계를 풀어서  y0, v0, g 의 최소제곱근사 y0=-0.40, v0=0.35, g=32.14 그림 7.8.10

7.9 정규직교기저와 Gram-Schmidt 과정 직교기저와 정규직교기저 [예제1] 직교기저에서 정규직교기저로 바꾸기 벡터  v1=(0,2,0), v2=(3,0,3), v3=(-4,0,4) 는 R3 의 직교기저 이 직교기저를 각각의 벡터를 정규화하여 정규직교기저로 변환 (풀이) 7.1절의 예제3에서 이 벡터들은 일차독립 다음을 보임으로써 이것이 직교기저임을 보여라. v1·v2=0, v1·v3=0, v2·v3=0      직교기저{v1,v2,v3}를 정규직교기저{q1,q2,q3}로 바꾸기 위해

[예제2] Rn 에 대한 표준기저는 정규직교기저이다 7.1절의 예제2를 상기하면 벡터들 e1=(1,0,···,0), e2=(0,1,···,0),  en=(0,0,···,1) 은 Rn 에 대한 표준기저 정규직교기저이다.  <정리7.9.1> R3 의 영이 아닌 벡터들의 직교 집합은 일차독립이다.

[예제3] Rn의 정규직교기저 다음 벡터         가 R3의 정규직교기저를 이루는 것 풀이        정리7.9.1에 의해 이 벡터들은 일차 독립

정규직교기저를 이용한 정사영 x가 열 형태로 표현되는 Rn 의 벡터이면, W에 대한 기저를 이루는 행렬 M의 열벡터들에 대하여             M의 열벡터들이 정규직교라면,                                             정사영의 표준행렬에 대한 7.7절의 식 (27)은 다음과 같이 간단히                                 예제4 정규직교기저를 이용한 사영에 대한 표준행렬 정규직교벡터 v1=(0,1,0) 과     에 의해 생성된 원점을 지나는 평면 위로의 정사영에 대한 표준행렬 P

풀이           <정리7.9.2>   (a) {v1,v2,···vk}가 Rn의 부분공간 W에 대한 정규직교기저이면, W 위로의 Rn 의 벡터 x의 정사영.     (b) {v1,v2,···vk}가 Rn의 부분공간 W에 대한 직교기저이면, W 위로 Rn의 벡터 x의 정사영.

[예제5} 정규직교기저를 이용한 정사영 정규직교벡터 v1=(0,1,0)와     에 의해 생성된 R3 의 평면 W 위로의 x=(1,1,1)의 정사영을 찾아라. (풀이)  (한 가지 방법) 예제4에서 계산된 사영에 대한 행렬P를 이용

[예제6] 직교기저를 이용한 정사영    직교벡터 v1=(0,1,1) 과 v2=(1,2,2) 에 의해 생성된 R3 의 평면 W 위로 x=(-5,3,1)의 정사영을 찾아라. 풀이

대각합과 정사영 <정리7.9.3> P가 Rn의 부분공간 위로 R3 의 정사영에 대한 표준행렬이라면, tr(P) = rank(P). [예제7] 정사영의 계수를 찾기 위해 대각합 이용 예제4에서 벡터 v1=(0,1,0)과      에 의해 생성된 평면위로의 정사영에 대한 표준행렬P가 다음과

정규직교기저 벡터들의 일차결합 <정리7.9.4> 정규직교기저 벡터들의 일차결합          <정리7.9.4>   (a) {v1,v2,···,vk}가 Rn의 부분공간 W에 대한 정규직교기저이고, w가 W의 벡터라면       (b) {v1,v2,···,vk}가 Rn의 부분공간 W에 대한 직교기저이고, w가 W의 벡터라면

[예제8] 정규직교기저벡터들의 일차결합 벡터 w=(1,1,1)를 정규직교벡터        의 일차결합 풀이

<정리7.9.5> Rn의 모든 영이 아닌 부분공간은 정규직교 기저를 가진다. 직교기저와 정규직교기저 찾기 <정리7.9.5> Rn의 모든 영이 아닌 부분공간은 정규직교 기저를 가진다. W가 Rn의 영이 아닌 부분공간이고 {w1,w2,···,wk}가 W에 대한 기저 W에 대한 직교기저 {v1,v2,···,vk}를 만든다. 단계1. v1=w1 이라 하자. 단계2. v1에 의해 생성된 부분공간 W1에 수직인 w2의 성분을 계산함으로써 v1에 수직인 벡터  v2   그림 7.9.2

단계3. v1와 v2에 수직인 벡터 v3 을 얻기 위해, v1 과 v2 에 의해 생성된 부분공간 W2 에 수직인 w3 의 성분을 계산 그림 7.9.3

단계4.       5~k단계. 이 과정을 계속하면 k단계 후에 직교집합{v1,v2,···,vk}을 생성 Gram-Schmidt 직교화과정(Gram-Schmidt orthogonalization) Gram-Schmidt 과정(Gram-Schmidt process)

[예제9] 벡터 w1=(1,1,1), w2=(0,1,1), w3=(0,0,1) 은 R3에 대한 기저를 형성 Gram-Schmidt 직교과정을 이용하여 이 기저를 직교기저로 변환 (풀이) {v1,v2,v3}는 Gram-schmidt 직교과정에 의해 생성된 직교 기저 {q1,q2,q3}은 v1,v2,v3 을 정규화하여 얻은 정규직교기저 1단계. v1=w1= (1,1,1) 이라 하자.

R3 에 대한 정규직교기저 [예제10] Gram-Schmidt 과정을 사용하여 R3 의 평면 x+y+z=0에 대한 정규직교기저를 찾으라. (풀이) 평면에 대한 기저를 찾을 것     매개변수 값 t1=1, t2=0 와 t1=0 , t2=1 는 주어진 평면에 다음 벡터들은 생성

Gram-Schmidt과정     정규직교기저 벡터들을 얻기 위해 이 벡터들을 정규화

Gram-Schmidt 과정의 특성 <정리7.9.6> S={w1,w2,···,wk}가 R3의 영이 아닌 부분공간에 대한 기저이고 S'={v1,v2,···,vk}가 Gram-Schmidt 과정을 적용하여 만들어진 직교기저라 하자. (a) j단계의{v1,v2,···,vj}는 span{w1,w2,···,wj}에 대한 직교기저이다.  (b) j단계(j ≥ 2)의 vj 는 span{w1,w2,···,wj}에 직교한다. 정규직교집합을 정규직교기저로 확장 <정리7.9.7> W가 Rn의 영이 아닌 부분공간이면, (a) 모든 W의 영이 아닌 벡터들의 직교 집합은 W의 직교기저로 확대될 수 있다. (b) W의 모든 정규직교집합은 W의 정규직교기저로 확대될 수 있다.

7.10절 QR-분해; Householder 변환 A가 w1,w2,···,wk 를 차례대로 열벡터로 갖고 전열계수를 갖는 m x k 행렬이라하자. 만약 Gram-Schmidt과정이 A를 이들 벡터에 적용하여 열공간의 정규직교기저 {q1,q2,···,qk}를 생성하였다고 하고, q1,q2,···,qk를 차례대로 열벡터로 가지는 행렬 Q를 만들었다면, 행렬 A와 Q 사이에 무슨 관계가 존재하는가?          정리7.9.4에 의해 A의 열벡터들은 Q의 열벡터들의 형태로 표현

정리7.9.6의 (b)로부터 qj는 i가 j 보다 작으면 언제나 wi 에 직교

<정리7.10.1> (QR-분해) A가 전열계수를 가지는 m x k행렬이면, A는 다음과 같이 인수분해 된다. A=QR                                              (4) 여기서, Q는 A의 열공간에 대한 정규직교기저를 이루는 열벡터들의 m x k 행렬. R은 가역인 k x k 상부삼각행렬. Q의 열벡터들이 정규직교이고 R이 가역인 상부삼각일때 A=QR형태로 행렬A를 인수분해하는 것을 A의 QR-분해(QR-decomposition) 또는 QR-인수분해(QR-factorization) (4)에서 양변의 좌측에 QT에 곱하면 R=QTA                                           (5) 전열계수를 가진 행렬A의 QR-분해를 찾는 방법은 A의 열벡터들에 Gram-Schmidt과정을 적용, 결과 정규직교기저 벡터들로부터 행렬Q를 형성, (5)로부터 R.

[예제1] QR-분해 찾기 다음 행렬의 QR-분해 찾기     풀이 Gram-Schmidt과정을 벡터들           정규직교기저 벡터들을 열벡터로 하는 행렬Q를 형성

QR-분해를 구하면

최소제곱문제에서의 QR-분해의 역할 선형계 Ax=b가 정규방정식 ATAx=ATb 의 엄밀한 해들 유일한 최소제곱해는                           최소제곱해를 계산하는 두 가지 방법 1. 정규계 ATAx=ATb 를 직접풀라. 즉, ATA 의 LU-분해를 하라. 2. ATA 의 역행렬을 구하고 식(6)을 적용하라. 정규계 ATAx=ATb    를 다시 쓰면,                 

<정리7.10.2> A가 전열계수를 가지는 m x k 행렬이고, A=QR이 A의 QR-분해이면, Ax=b에 대한 정규계는 다음과 같이 표현될 수 있다. Rx=QTb                                          (9) 그리고 최소제곱해는 다음과 같이 표현할 수 있다. [예제2] QR-분해를 이용한 최소제곱해 주어진 방정식들에 의한 선형계 Ax=b의 최소제곱해를 찾기 위해 QR-분해를 이용하여라.

(풀이) 계수행렬이 전열계수를 가지는 것을 확인

정규계 Rx=QTb 는

다른 수치적 문제들 Householder 반사 QR-분해가 최소제곱문제에서 골치 아픈 ATA 계산을 피하지만, QR-분해를 구성하기 위해 Gram-Schmidt과정을 사용할 때 또한 수치적 어려운 문제. 반올림 오차의 영향을 줄이는 방법은 Gram-Schmidt과정에서 계산들의 순서를 재정리(수정된 Gram-Schmidt과정). 더 일반적인 접근은 Gram-Schmidt과정을 전혀 사용하지 않고 QR-분해 두 가지 기본적인 방법 - 하나는 반사에 기초, 다른 하나는 회전에 기초 Householder 반사 a가 R2 혹은 R3의 영이 아닌 벡터라면, 직선 span{a}위로의 정사영과 R3의 그림7.10.1에 나타낸 초평면 에 대한 반사 사이 혹은,

정의7.10.3 a가 Rn의 영이 아닌 벡터, x가 Rn의 어떤 벡터라면, 초평면 에 대한 x의 반사는 로 표시                                              (11) 로 표시되는 연산자 T:RnRn은 초평면 에 대한 Rn의 반사

표6.2.5로부터 xyz-좌표계의 yz-평면에 대한 R3의 반사에 대한 표준행렬 7.7절의 식(11)로부터 (12) 정리7.7.3로부터      에 대한 표준행렬     는 (13) 초평면은 단위벡터 u로 표시된 특별한 경우,         를 갖는다. (14) (15) 예제3. R3의 좌표평면에 대한 반사 표6.2.5로부터 xyz-좌표계의 yz-평면에 대한 R3의 반사에 대한 표준행렬

예제4. R3의 원점을 지나는 평면에 대한 반사 (a) 평면x-4y+2z=0에 대한 R3의 반사에 대하여 표준행렬H를 구하여라. (b) 평면에 대한 벡터 b=(1,0,4)의 반사를 찾기 위해 행렬H를 사용하여라. 풀이(a) 벡터 a=(1,-4,2)가 평면에 수직 a를 정규화                    

풀이(b) 평면x-4y+2z=0에 대한 b의 반사는 열형태로 표현된 b를 가진 Hb곱

정의7.10.4 nⅹn행렬                                                        (16) 에서 a가 Rn의 영이 아닌 벡터이면 위의 행렬을 Householder 행렬. 기하학적으로, H는 초평면 에 관한 Householder반사에 대한 표준행렬.  다음 정리는 Rn에서 Householder반사들이 R2와 R3에서의 반사들과 비슷한 특성을 가지는 것. 정리7.10.5 Householder 행렬들은 대칭이고 직교이다.  정리7.10.6 v와 w가 같은 길이를 가지는 Rn의 다른 벡터라면, 초평면에 대한 Householder반사는 v를 w로 사상(map)한다. 역도 성립한다. 정리7.10.6은 주어진 벡터를 지정된 성분들이 영인 벡터로 변환하기 위해 Householder반사를 이용하는 방법을 제공하기 때문에 중요하다. 예를 들면,다음 벡터들은 , 같은 길이. 그래서 정리7.10.6은 v를 w로 사상시키는 Householder반사가 존재한다는 것을 보장.

예제5. Householder반사를 이용하여 영성분 만들기 벡터v=(1,2,2)를 2, 3번째 성분이 영인 벡터w로 사상시키는 Householder반사를 구하여라. 풀이   임으로, 벡터w=(3,0,0)는 v와 같은 길이. 정리7.10.6으로부터 초평면      에 대한 Householder반사는 v를 w로 사상시킨다. 이 반사에 대한 Householder 행렬H는 열형태로 표시된 벡터a=v-w=(-2,2,2)인 (16)으로부터         임으로,

예제6. Householder반사 v=(v1,v2,…,vn)라면, v를 w=(v1,v2,…,vk-1,s,0,….0) 형태의 벡터로 사상시키는 Householder 반사가 존재한다. 반사는 v의 처음 k-1성분은 유지한다. 나머지 성분들은 영으로 바꾼다. 풀이        에 대해 s의 값을 찾을 수 있다면, 정리7.10.6은 v를 w로 사상시키는 Householder반사가 존재하는 것을 보장한다. s의 값이 다음과 같은 지 확인하여라.                                           (17)

Householder반사를 이용한 QR-분해                                               (18) 직교행렬 Q1,Q2와 Q3 Q3Q2Q1A=R                                                                                       (19) 를 가지는 A의 QR-분해 첫 번째 단계 – Q1이 A의 첫 번째 열의 2, 3과 4번째 성분을 0으로하는 Householder반사에 대한 Householder행렬 Q1A곱                                             (20) x로 표현되는 성분들은 (18)의 성분들과 같을 필요는 없다.

                 Q2는 직교일 것이다(확인하여라). Q2Q1A는 다음과 같을 것이다.                                   (21) Q3은 직교일 것이다(확인하여라). Q3Q2Q1A는 다음과 같을 것이다.

예제7. Householder반사를 이용한 QR 다음 행렬의 QR-분해를 구성하기 위해 Householder 반사를 이용하여라. 풀이 예제5에서 A의 첫 번째 열의 2, 3번째 성분들은 Householder행렬에 의해 0이 될 수 있다.                  Q1A을 계산하면,                                (22) (22)의 우측 아래의 2ⅹ2 부분행렬B를 고려 B의 첫 번째 열의 두 번째 성분이 Householder행렬에 의해 0이 되는 것은 연습문제.

행렬을 구성                  (22)의 좌측에 Q2을 곱하면   A의 QR-분해  

응용에서의 Householder 반사 초평면에 대한 벡터의 Householder반사를 계산할 필요가 있는 응용에서 Householder반사의 표준행렬이면, (16)을 사용하여 Hx를 계산하는 것이 일반적                            (23) a가 단위벡터인 특별한 경우, 식(23)은 간단히 표현                            (24)

7.11 기저에 대응하는 좌표 R2와 R3에서의 직교좌표계가 아닌 좌표계 그림 7.11.1

B={v1,v2}가 R2의 순서기저라면, 평면의 각 점P에 대하여 벡터     을 일차결합으로 표현하는 정확히 한가지 방법 Rn 의 순서기저B={v1,v2,···,vn} Rn 의 각 점들은 ‘좌표들’의 순서 n-짝(a1,a2,···,an)

<정의7.11.1> B={v1,v2,···,vk}가 Rn의 부분공간 W의 순서기저이고 W=a1v1+a2v2+···+akvk가 W의 벡터w를 B의 벡터들의 일차결합으로 표현된다면 a1,a2,···,an    를 B에 대응하는 w의 좌표(coordinate of w with respect to B). aj를 w의 vj좌표. 좌표들의 순서 k-짝을 다음과 같이 나타낸다. (w)B= (a1,a2,···,ak)   이를 B에 대응하는 w에 대한 좌표벡터(coordinate vector). 열벡터의 좌표계는     이를 B에 대응하는 w의 좌표행렬(coordinate vector).

[예제1] 좌표 찾기 7.2절의 예제2(a)에서 벡터들이 v1=(1,2,1), v2=(1,-1,3), v3=(1,1,4) R3 의 기저 (a) 순서기저 B={v1, v2 ,v3}에 대응하는 벡터w=(4,9,8)의 좌표벡터와 좌표행렬을 구하라. (b) B에 대응하는 좌표벡터가 (w)B= (1,2,-3) 인 R3 의 벡터 w를 찾아라.

예제2 표준기저에 대응하는 좌표들 S={e1,e2,···,en}이 Rn의 표준기저 w=(w1,w2,···,wn)이면, w는 다음과 같이 표준기저벡터들의 일차결합                           w의 성분들은 표준기저에 대응하는 그것들의 좌표 w가 열형태로 쓰인다면                                         표준 좌표들(standard coordinate)

정규직교기저에 대응하는 좌표들 B={v1,v2,···,vk}는 Rn의 부분공간 W에 대한 정규직교기저이고 w가 W의 벡터라면              [예제3] 정규직교기저에 대응하는 좌표구하기 7.9절의 예제3에서 벡터들이

R3 의 정규직교기저 기저B={v1, v2 ,v3}에 대응하는 w=(1,-1,1)에 대한 좌표 벡터 풀이

정규직교기저에 대응하는 좌표계들의 계산 <정리7.11.2> B가 Rn의 k차원 부분공간 W에 대한 정규직교기저이고, u, v, w는 다음과 같은 좌표벡터들을 가지는 W의 벡터들이라 하자.

[예제4] 좌표를 사용한 계산 B={v1, v2 ,v3}를 R3 의 정규직교기저 w=(1,-1,1)

Rn의 기저 변화 (기저변화문제) w가 Rn 의 벡터이고, Rn에 대한 기저를 기저B에서 기저B'로 바꾼다면,  좌표행렬 [w]B와 [w]B´  는 어떤 관계를 가지는가? B를 ‘이전 기저’로 B'를 ‘새 기저’

(8)을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

<정리7.11.3> (기저변화 문제의 답) w가 Rn의 벡터이고, B={v1,v2,···,vn}과 B'={v1´,v2´,···,vn´}이   Rn 의 기저들이면, 두 기저들에 대응하는 w의 좌표행렬은 다음 식을 만족시킨다.                                     이때                      이 행렬은 B에서 B'로의 추이행렬(transition matrix) 또는 좌표변환행렬(change of coordinate matrix)이라 부른다.

[예제5] 추이행렬 R2에 대한 기저 B1={e1´,e2}와 B2={v1´,v2} e1=(1,0), e2=(0,1), v1=(1,1), v2=(2,1)     B1에서 B2로 추이행렬을 구하라. (b)     이 주어졌을 때, B1 에서 B2 로의 추이행렬을 이용하여     을 찾으라. (c) B2 에서 B1로 추이행렬을 구하라. (d) B2에서 B1 로 추이행렬을 이용하여 벡터     로부터 벡터    을 회복하라.

풀이(c) B1좌표를 변환하기 때문에, 요구되는 추이행렬의 형태는                 풀이(d) (15)와 (16)을 이용하여

천이행렬의 가역성 B1, B2, B3가 Rn 의 기저들 를 곱합으로써 B1좌표들을 B2좌표들로 보내고 을                                     를 곱합으로써 B1좌표들을 B2좌표들로 보내고     을 곱합으로써 B2좌표들을 B3좌표들로 보내기 B와 B'가 W에 대한 두 기저                                               (18)은         는 가역이고 서로 역이라는 것

<정리7.11.4> B와 B'이 Rn의 기저들이라면 추이행렬       는 가역이고 서로 역이다. 즉, [예제6] 추이행렬의 역 예제5에서 다음을 보았다.

추이행렬을 찾는 멋진 방법 추이행렬을 찾는 효과적인 방법 B={v1,v2,···,vn}와 B'={v1´,v2´,···,vn´}가 Rn 의 기저            의 성분들은 v1´,v2´,···,vn´ 의 일차결합으로표현할 때의 계수                                                                                                                               B={v1,v2,···,vn}을 이전 기저라 하고 B'={v1´,v2´,···,vn´}를 새 기저라 하면

    를 계산하기 위한 과정 1단계. 행렬[B'|B]를 구성하라. 2단계. 1단계의 행렬을 기약 행사다리꼴로 줄이기 위해 기본행연산들을 사용하라. 3단계. 결과 행렬은 [I |     ]가 될 것이다. 4단계. 3단계의 행렬의 우변에서 행렬    을 추출하라. [예제7] 행소거에 의한 추이행렬 예제5에서 R2의 기저 B1={e1´,e2}와 B2={v1´,v2} 사이의 추이행렬 e1=(1,0), e2=(0,1), v1=(1,1), v2=(2,1)        (24)를 사용하여 추이행렬

풀이 추이행렬    을 찾기 위해 추이행렬    을 찾기 위해

좌표사상 B가 Rn의 기저 변환 , 또는 열 표현 는 B에 대한 좌표사상(coordinate map) (27)                      (27) B에 대한 좌표사상은  Rn  의 선형연산자 <정리7.11.5> B가 Rn의 기저이면, 좌표사상     (혹은    )은 Rn 의 일대일(단사) 선형연산자이다. 더욱이, B가 Rn의 직교기저이면, 직교연산자이다. <정리7.11.6> A와 C가 m x n 행렬이고, B가 Rn 의 기저일 때,  Rn의 x에 대하여     이면, A=C이다.

정규직교기저들 사이의 변화 <정리7.11.7> B와 B'가 Rn의 정규직교기저라면, 추이행렬 는 직교행렬이다. 그림 7.11.3                                        [예제8] R2의 표준기저의 회전 S={e1´,e2}가 R2의 표준 기저. B={v1´,v2}가 S의 벡터들이 원점에 대해 θ만큼 회전한 결과 기저. 식(25)와 그림7.11.3으로부터 B에서 S로의 추이행렬은    

좌표축의 회전에 대한 응용 [예제9] R2의 좌표축 회전 직교 xy-좌표계가 주어졌고 x'y'좌표계는 xy좌표계를 원점에 대해 θ 만큼 회전 두 좌표쌍 사이의 관계를 찾기 위해서, 표준기저S={e1´,e2}에서 기저B={v1´,v2}로의 기저변환으로 축회전 고려 e1와 e2는 양의 x축과 y축을 v1 과 v2 는 양의 x'축과 y'축을 지나는 단위벡터

두 좌표쌍 사이의 관계 회전방정식(rotation equation). 그림 7.11.4

행렬을 고려하기 위한 다른 방법들 좌표들은 행렬에 대한 새로운 사고를 제공 벡터x를 좌표벡터로 고려                  B={v1 ,v2}는 R2의 기저                                       (35) 선형계에 대하여 계수 행렬로 보일지라도 기저B에서 표준기저 S={e1,e2}로의 추이행렬로 볼 수도 있다. 정리7.11.8 P가 열벡터들 p1,p2,…,pn을 가지는 가역 nⅹn행렬이면, P는 Rn의 기저B={p1,p2,…,pn}에서 Rn의 표준기저 S={e1,e2,…,en}로의 추이행렬이다.

P가 2ⅹ2또는 3ⅹ3직교 행렬이고 det(P)=1인 경우, 행렬P는 회전을 나타낸다 P가 2ⅹ2또는 3ⅹ3직교 행렬이고 det(P)=1인 경우, 행렬P는 회전을 나타낸다. 이것을 벡터들의 회전으로 혹은 좌표축의 회전으로 인해 좌표의 변화로 볼 수 있다. P=[p1,p2]가 2ⅹ2이고 P를 일차연산자에 대한 표준행렬로 보면, P에 의한 곱은 e1와 e2를 p1와 p2로 회전한 R2의 회전을 나타낸다. 같은 행렬P를 추이행렬로 본다면 정리7.11.3에 의해 P에 의한 곱은 양의 방향 축이 p1과 p2인 직각좌표계에 대응하는 좌표들이 양의 축의 방향이 e1과 e2인 회전된 좌표계에 대응하는 좌표들로 바꾼다. P-1=PT의 곱은 e1과 e2의 방향을 양의 축으로 하는 계에 대응하는 좌표들을 p1과 p2의 방향을 양의 축으로 하는 좌표계에 대응하는 좌표들로 바꾼다. ,