유럽 수학 (6C~16C)

암흑시대(5세기 중엽에서 11세기) 로마제국이 몰락하는 5세기 중엽에서 11세기에 이르는 전 기간. 사회는 봉건적이고 교회 중심적으로 변함. 학교교육이 없어지고 그리스 학문은 거의 사라짐 - 수학에 있어서는 기독교 역벅을 제외하면 500년 내내 거의 아무것도 이루지 못함. ✰ 순교한 로마학자 보에티우스 : 기하학과 산술에 관한 그의 저작이 수세기 동안 수도원 학교의 표준 교과서로 사용됨. ✰ 영국의 교회학자 베다: 역법과 손가락 셈에 관한 논문 ✰ 영국의 교회학자 알쿠인: 수학적 주제에 관한 많은 저술을 했으며, 수수께끼 문제집을 쓴 것으로 추측됨 ✰ 유명한 프랑스 학자이며 성직자였고 나중에 실베스테르 2세 교황이 된 제르베르   ▹ 0이 없는 인도-아라비아 숫자를 기독교 유럽에 전파했다는 증거가 있음.   ▹ 수판, 지구의, 천구의, 시계, 오르간까지도 만들었음.   ▹ 심오한 경지의 학자로서도 인정을 받았으며 점성술, 산술, 기하학에 관한 많은 저술을 함.

전파의 시대(12세기, 번역의 세기) - 제르베르의 시대에 이르러 회교문명 속에 보존된 과학과 수학의 그리스 고전이 서유럽으로 스며들기 시작함. 12세기는 번역가의 세기가 됨. 스페인이 이슬람과 기독교 세계를 연결하는 중요한 나라였음 ✰ 아델라드 : 영국의 수도사. 유클리드의 <원론>과 알-화리즈미의 천문학 표를 라틴어로 번역함. 지식을 얻기 위해 스스로 이슬람교이 학생으로 변장하기도 함. ✰ 크레모나의 제라르 : 가장 부지런했던 번역가. 90가지 이상의 아라비아 저작을 라틴어로 번역함. 그 중에는 프톨레마이오스의 <알마게스트>, 유클리드의 <원론>, 알-화리즈미의 대수도 있음

피보나치와 13세기 레오나르도 피보나치 (1179?-1250?) 보나치오(상인)의 아들, 상업이 번창하던 피사에서 태어남   ▹ 무역상이었던 그의 아버지는 그에게 상업을 이어받도록 계산법을 가르쳐 줌.   ▹ 이집트, 시리아 등 그리스의 각 도시를 여행하며, 문화를 접함.   ▹ 그는 인도숫자의 자리잡기 기수법이 가장 편리함을 알게 됨.   ▹ 1202년에 고향에서 <산반서> 출간

피보나치와 13세기 <산반서> ▹ 1228년에 나온 제2판으로 우리에게 알려짐. 15장으로 구성됨. ▹ 산술과 초등대수에 관하여 쓴 것 ▹ 알-화리즈미와 아부-카밀의 대수로부터 많은 영향을 받았음. ▹ 인도-아라비아 숫자를 유럽으로 소개하는데 큰 역할을 함. ▹ 새로운 숫자를 읽고 쓰는 방법, 정수와 분수를 계산하는 방법, 제곱근과 세제곱근을 구하는 방법, 임시위치법과 대수적 과정에 의한 1차 및 2차 방정식의 해법 등을 설명 ▹ 방정식의 음근과 허근이 인정되지 않았고, 그의 대수는 수사적. ▹ 피보나치 수열(1, 1, 2, 3, 5, …, x, y, x+y, ….)에 관한 문제가 실림.

실용기하학 : 유클리드적 엄밀함과 약간의 독창성을 가지고 능숙하게 기하학과 삼각법을 다룬 방대한 자료집. 제곱근서 : 부정해석학에 관한 뛰어난 독창적 작품. 피보나치를 이 분야에서 디오판투스와 페르마 사이의 가장 뛰어난 수학자로 일컬어지게 만든 작품. 프리드리히 2세 황제 때 궁중에서 열리는 수학경기에 참가 첫 번째 문제 : x²+5, x²-5가 모두 유리수의 제곱이 되는 유리수 x를 구하기, 피보나치의 답 = 41/12로 해결 두 번째 문제 : 3차 방정식 x³+2x²+10x=20의 해 구하기, 피보나치의 답 = 이 방정식의 해가 형태의 무리수에 의하여 표현될 수 없음을 증명. 그것의 어떤 해도 자와 컴퍼스를 가지고 작도될 수 없음을 보이고자 한 것. 근사적으로 1.3688081075를 구했는데 소수 아홉 자리까지 정확한 값이다.

✰ 요르다누스 네모라리우스 : 일반적인 수를 표현하는 데 문자를 폭넓게 이용한 최초의 인물 ✰ 그 외 수학자 ▹ 사크로보스코 : 프톨레마이오스의 <알마게스트>와 아라비아의 천문학자의 작품으로부터 그 내용을 추출하여 편집한 대중적 저서를 씀. ▹ 캄파누스 : 유클리드의 <원론>의 라틴어 번역본을 씀. ▹ 로저 베이컨 : 수학에는 별 능력을 지니지 못했으나 그리스의 기하학과 삼각법에 관한 많은 저작을 통달하였다. - 13세기 초엽에 대학이 설립됨. 나중에 수학의 발전에 중요한 잠재적 요소가 되었다.

14세기(수학에 있어서 비교적 황폐한 시기) 유럽 인구의 1/3을 휩쓴 흑사병, 백년전쟁 ✰ 니콜 오렘 ▹ 분수 지수를 처음 사용(물론 현대적 표기는 아님) ▹ 점을 좌표로 표현하는데 이것이 곧 현대 좌표기하학의 전조가 됨. → 나중에 르네상스 시대의 수학자들과 데카르트에게까지도 영향을 줌. ✰ 스콜라 철학자들의 명상 : 운동, 무한, 연속체 등(현대수학의 기본개념)에 관한 미묘한 이론화를 이끌어냄 → 수학적 사고를 고대에서 현대로 옮겨 놓는 주목할 만한 변혁의 과정으로 설명될 수 있고, ‘부분해석학’을 이룬다고 할 수 있다. ✰ 토마스 브래드와딘 : 연속성과 이산성, 무한대와 무한소 등의 기본 개념에 대한 고찰 이외에도 산술과 기하학에 관한 네 편의 수학 논문을 썼다.

15세기(유럽의 르네상스가 막을 올리는 시기) 그리스 원전에 대한 직접적인 연구 수학적 활동의 중심지 : 이탈리아의 도시와 유럽의 중심도시들인 뉴렘베르크, 빈, 프라하 등지. → 산술, 대수, 삼각법 등에 관심이 집중 ✰ 니콜라스 쿠사 : 달력개조, 원적과 일반각의 삼등분에 관한 시도 ✰ 포이에르바하 ▹ 니콜라스 쿠사의 제자 ▹ 이탈리아에서 수학을 가르쳤으며 후일에 빈에 정착, 그 곳에 있던 대학을 수학적 중심지로 만듦. ▹ 산술과 천문학에 관한 몇 권의 저작을 썼고 사인표를 만들었으나 이들의 대부분의 작품은 생전에는 출간되지 못했다. ▹ 프톨레마이오스의 <알마게스트>를 처음으로 그리스 원본으로부터 직접 라틴어 번역본을 만드는 일에 착수

✰ 요한 뮐러(1436-1476, 이 세기에 가장 유능하고 가장 영향력 있었던 수학자) ▹ 포이에르바하 밑에서 공부했고 나중에는 <알마게스트>의 나머지 번역을 완성함. ▹ 아폴로니우스, 헤론, 아르키메데스 등의 그리스 원전을 번역하기도 함. ▹ 논문 <삼각법의 모든 것>은 천문학과 무관하게 수학적으로 전개된 평면 및 구면 삼각법에 관한 유럽 최초의 체계적인 해설서 ▹ 탄젠트표를 계산했고, 네 변이 주어진 순회사변형을 작도하는 문제에 대수와 삼각법을 응용하였다. ✰ 슈케(15세기에 가장 뛰어난 프랑스 수학자) : ▹ <수의 과학에 있어서 세 부분>을 씀 - 제1부는 유리수의 계산, 제2부는 무리수의 계산, 제3부는 방정식론으로 구성되어 있음. ▹ 양과 음의 정수지수를 모두 인정하였고, 부분적으로 약어대수를 이용하였다

<산술․ 기하․ 비 및 비례 요약집>의 제1판이 출간. <요약집>이라고도 부름. ✰파치올리 <산술․ 기하․ 비 및 비례 요약집>의 제1판이 출간. <요약집>이라고도 부름.  ▹ 산술부분 : 기본연산에 대한 계산법과 제곱근을 구하는 방법으로부터 시작. 당시의 가장 권위 있는 실용적 표준서가 됨.   ▹ 대수부분 : 2차방정식과 그 방정식을 초래하는 많은 문제를 싣고 있다.   ▹ 기하부분 : 흥미로운 것이 거의 없으며, 대수가 단지 기하문제의 해를 구하는 데 이용되고 있다. - <요약집>의 대수부분에 나타난 표기 : 사용된 대수는 약어대수   ▹ 더하기 p : '더 많은‘이란 뜻의 ’piu'의 첫 글자   ▹ 빼기 m : ' 더 적은‘이란 뜻의 ’meno'의 첫 글자   ▹ 미지수 x에 대해서는 co : '것‘이라는 뜻의 ’cosa'의 처음 두 글자   ▹ x²에 대해서는 ce : '제곱‘이르는 뜻의 ’censo'의 처음 두 글자   ▹ x³에 대해서는 cu : '세제곱‘이라는 뜻의 ’cuba'의 처음 두 글자   ▹ x⁴에 대하서는 cece : '네제곱‘이라는 뜻의 ’censocenso'로부터 중략   ▹ 등식을 ac : ‘같다’는 뜻의 ‘acqualis'의 처음 두 글자

+.- 기호의 등장 ▹ 요한 비트만 : 1489년에 라이크치히에서 출간한 산술책 : 연산의 기호로서 사용된 것이 아니라 단순히 과부족을 나타내는 데 사용됨. ▹ 독일 수학자 반데르 호이케 : +, -기호가 연산기호로서 사용된 최초의 기록을 담은 책이 있음. 그러나 그 이전에 이미 그 기호들이 사용되었을지도 모른다.

초기의 산술 ▶ 르네상스와 더불어 교육에 대한 관심이 높아지고 상업 활동이 엄청나게 증가하면서 산술에 관한 많은 대중교과서가 등장하기 시작. ― 70세기 이전까지 유럽에서 거의 300여 종의 교과서 발행. ① 교회학교에 소속된 고전학자들이 라틴어로 쓴 교과서 ② 소년들에게 상업교육을 시키기 위해 실제 선생님들이 자기 나라 말로 쓴 교과서

① 〈트레비소 산술서, Treviso Arithmetic〉, 익명, 1478. ▶ 여러 가지 산술책  ① 〈트레비소 산술서, Treviso Arithmetic〉, 익명, 1478.    ― 최초로 인쇄된 산술책, 오늘날에는 구하기 매우 어려운 희귀한 책    ― 수를 쓰는 방법, 수를 계산하는 방법, 조합이나 교역에의 응용 등을 다루고 있다.    ― 14세기의 〈계산법〉처럼 이 책도 몇 가지 유희문제를 싣고 있다.  ② 『상업산술서』, 보르기(Piero Borghi), 1484.    ― 이탈리아에서 〈트레비소 산술서〉보다 더 영향력이 있었던 책    ― 1484년 베니스에서 초판 인쇄 후 1557년의 마지막 판까지 적어도 17판이 거듭 인쇄되었다.  ③ 칼란드리(Filippo Calandri)가 쓴 산술책, 1491.    ― 오늘날 우리가 행하는 긴 나눗셈 과정을 처음으로 소개하고 있다.    ― 삽화가 든 책으로서는 이탈리아에서 처음으로 발행된 책  ④ 〈요약집〉, 파치올리, 1494.    ― 이탈리아의 상업관례에 관한 많은 정보가 있음

⑥ 야곱 쾨벨(Jacob Kobel, 1470-1533)이 쓴 산술책  ⑤ 라이프치히에서 출간된 비드만의 산술책, 1498    ― 독일에서 매우 영향력이 있었던 책  ⑥ 야곱 쾨벨(Jacob Kobel, 1470-1533)이 쓴 산술책  ⑦ 아담 리제(Acam Riese, dir 1489-1559)가 쓴 책, 1522    ― 독일의 상업산술에 가장 큰 영향을 끼쳤던 책    ― 오늘날 독일에서는 정확한 계산을 나타내는데 “아담 리제를 따라서”라는 문구를 사용한다.  ⑧ 톤스톨(Cuthbert Tonstall, 1474-1559)이 쓴 산술책, 1552. 라틴어    ― 오로지 수학의 내용만을 담은 영국 최초의 인쇄된 책    ― 그리스에서 1533년에 인쇄된 유클리드의 〈원론〉의 초판이 그에게 봉헌되었다.   ⑨ 로버트 레코드(Robert Recorde, 약 1510-1558)    ― 16세기에 영국에서 가장 영향력 있었던 교과서 저자.    ― 영어로 책을 씀. 그의 저작은 교사와 학생 사이의 대화형식으로 되어 있다.    ― 적어도 5권의 책을 씀. 첫 번째 책은 1542년에 출간된 〈기술의 기본, The Ground of Artes〉임.

기호대수의 서막 ▶ 로버트 레코드(Robert Recorde, 약 1510-1558)  산술책 이외에도 천문학, 기하학, 대수, 의학 등에 관한 많은 저술을 함.  <지식의 성(城), Castle of Knowledge>: 영국의 독자들에게 코페르니쿠스 체계를 처음으로 소개한 책 <지식의 오솔길, Pathewaie to Knowledge〉: 유클리드의 〈원론〉초록집  <지혜의 숯돌, whestone of Wittle>: 대수책. 이 책에서 처음으로 오늘날의 등식기호가 사용됨

▶ 〈미지수, Die Coss〉, 크리스토프 루돌프(Christoff Rudolff), 1525. ― 근호기호가 소개됨 ▶ 〈미지수, Die Coss〉, 크리스토프 루돌프(Christoff Rudolff), 1525. ― 근호기호가 소개됨. ‘근(根)’이라는 뜻의 ‘radix'의 소문자 r와 닮은 것처럼 보인다. ▶ 슈티펠(Michasel Stifel, 1486-1567) ― 16세기의 독일의 가장 위대한 대수학자 ―〈산술총서, Arithmetica integra> : 3부로 나누어져 각각 유리수, 무리수, 대수(代數)에 관한 내용을 담고 있다. 1부 : 등차수열과 등비수열을 연관시키는 이점을 지적하면서 거의 한 세기 뒤의 로그(logarithm) 발명의 전조를 보여줌 2부 : 본질적으로 유클리드의 〈원론〉 제 Ⅹ권의 해설서 3부 : 방정식을 다루고 있다. 방정식의 음근은 무시되었지만 기호 들이 이용되고 있고 종종 미지수가 문자로써 표현되고 있다.

※ 슈티펠과 수신비주의 슈티펠은 수학사에서 가장 미묘한 인물 중의 한 사람이었다. 그는 본래 수도사였지만 마틴 루터(Vartin Luther)를 따라 신교로 개종한 후 광신적인 개신교도가 되었으며 유별난 생각이 그를 ‘수 신비주의’에 빠져들게 되었다. 성경에 관한 저작을 분석한 후 1553년 10월 3일이 되면 세상이 종말이 올 것이라 예언함. 이 일로 감옥 신세

666 이야기 ▶ 슈티펠은 산술기법으로 교화 레오Ⅹ(Leo Ⅹ)가 ‘요한계시록’에 나오는 “짐승” (그리스도의 적이라는 뜻) 임을 증명했다고 함 pf) LEO DECIMVS에서 L, D, C, I, M, V 만을 남김. L, D, C, I, M, V +X(레오 Ⅹ에서 따옴) - M(신비를 뜻하므로) = L, D, C, I, V, X 이 문자를 재배열하면 DCLXVI가 된다. 이것은 ‘요한계시록’에서 얘기한 “짐승의 수 666 ▶ 로그의 발명자인 네이피어(Napier)가 666이 로마 교황을 뜻한다는 것을 증명. ▶ 네이피어의 예수회 동기생인 본구스(Father Bongus)는 반대로 666이 마틴 루터를 뜻한다고 선언함. pf) A부터 I까지는 1부터 9 이다. K부터 S까지는 10부터 90까지 10단위 수이다. T부터 Z까지는 100부터 500까지의 100단위 수이다. M A R T I N L V T E R A 30 1 80 100 9 40 20 200 100 5 80 1 마틴 루터의 이름에서 나온 문자의 합이 666이다. ▶ 1차 세계대전 동안에는 산술기법으로 666이 빌헬름(Wilhelm) 황제를 뜻함을 보이기도 함. 나중에는 히틀러를 뜻함을 보이기도 하였다. ▶‘요한계시록’이 쓰여진 본래의 아랍어의 문자 기호로 666을 표현하면 네로(Nero).

3차 및 4차 방정식의 대수적 해법 발견 ―16세기의 가장 극적인 수학적 성취 ※밴베누토 첼리니(Benvenuto Cellini)가 쓴 3,4차 방정식 해법에 관한 이야기 ▶ 페로(Scipione del Ferro, 1465-1526). 볼로냐(Bologna) 대학의 수학교수 ― 1515년경에 x3+mx=n꼴의 3차 방정식을 대수적으로 풀었다. ― 자신의 결과를 발표하지 않은 채 제자인 피어(Antonio Fior)에게 그 비밀을 전수. ▶ 폰타나(Nicolo Fontana). 그를 타르탈리아(Tartagli)라고 부른다. ― 1535년경에 x3+px2=n꼴의 3차 방정식의 대수적 해법을 발견했다고 주장. ― 피어는 폰타나의 주장이 괜한 허풍이라고 생각하면서 타르탈리아에게 3차 방정식을 푸는 공개시합을 하자고 제안함. ― 타르탈리아는 시합이 열리기 며칠 전에 2차 항이 없는 3차방정식의 대수적 해법도 발견함. ― 시합에서는 두 종류의 3차방정식 문제가 출제됨. 피어는 그 중 한 종류만 풀었으나 타르탈리아는 문제를 모두 풀어 완전히 승리함. ▶ 지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano) ― 타르탈리아에게 간언하여 비밀을 꼭 지키겠다는 엄숙한 맹세 아래 3차방정식을 푸는 중요한 방법을 얻어내었다. ― 1545년에 카르다노는 대수에 관한 탁월한 라틴어판 논문 〈위대한 술법(術法), Arsmagna〉을 뉴렘베르그에서 출간하면서 약속을 저버리고 3차방정식의 해법을 실었다.

▶페라리(Ludovico Ferari) ― 3차 방정식이 풀려진 후 오래지 않아 4차방정식의 대수적 해법을 발견함 ▶ 일반 3차 및 4차방정식의 또 다른 대수적 해법 ― 16세기 수학자 비에트(Viete)의 방법 ― 1467년 데카르트가 만든 4차방정식 해법 ― 1750년 경 오일러(Euler)는 일반 4차방정식의 해가 결국 3차방정식의 해법으로 구해진다는 것에 착안하여 그와 유사하게 일반 5차방정식의 해를 4차방정식의 해법으로 구해보려고 시도했으나, 실패로 끝남. ― 30년 뒤에 라그랑주(Laglange)도 역시 이 문제를 푸는데 실패 ― 1803, 1805, 1813년에 계속해서 루피니(P.Ruffini, 1765-1822)가 일반 5차 혹은 그 이상의 차수의 방정식들이 그 방정식의 계수에 관한 근기(根基)에 의해 표현될 수 없다는 사실을 증명함 ― 1824년에 유명한 노르웨이 수학자 아벨(Neils Henrik Abel, 1802-1829)이 5차 이상의 다항식의 일반해를 구할 수 없음을 밝힘. ― 이와 관련된 학자로 브링(Bring), 제라드(Jerrard), 취른하우센(Tschirmgausen), 갈루아(Galois), 조르당(Jordan) 등을 꼽을 수 있다.

카르다노 타르탈리아 1501년에 파비아(Pavia)에서 변호사의 사생아로 태어남 열정적인 이중성격의 소유자로 성장 의사로서 파란만장한 직업활동을 시작하여 개업을 하고 있는 동안에도 수학을 공부하고 가르치고 저술 파비아와 볼로냐에 있는 대학에서 중요한 직책 예수의 생애에 대한 별점을 발표하여 이교도로 몰리는 바람에 감옥살이 볼로냐 대학에서 물러난 후 로마로 옮겨와서 뛰어난 점성가 1576년에 로마에서 자살하였는데, 자신이 별점으로 예언한 자신의 죽음의 날을 맞이하여 그렇게 했다고 한다. 일시적으로 흥분하여 자기의 어린 아들의 두 귀를 잘라버렸다 타르탈리아 1499년에 브레시아에서 가난한 부모의 아들로 태어남 1512년에 브레시아가 프랑스의 침략을 받아 아버지는 죽었고 그는 머리가 개지고 턱이 갈라짐 어머니가 “상처난 개가 항상 상처난 곳을 혀로 핥는다”는 것을 생각해내고는 아들에게 그렇게 해줌 턱의 상처 때문에 일생동안 말을 완전하게 할 수 없어 “말더듬이”라는 별명 간신히 보름 동안 학교에 다님 습자본 하나를 훔쳐 읽고 쓰는 법을 독학 종이를 살 돈이 없어서 공동묘지의 묘비를 이용하여 공부 수학과 과학을 가르치며 생계를 유지했으며 1557년에 베니스에서 죽음

프랑수아 비에트(Francois Viète) 비에트는 삼각법, 대수, 기하학 등에 관하여 많은 저술을 함. 〈수학 요람, Canon mathematicus seu ad triangula〉(1579) 〈해석학 서설, In artem analyticam isagoge〉(1591) 〈보(補) 기하학, Supplementum geometriae〉(1593) 〈방정식의 수학적 해법, De numerosa potestaum resolutione〉(1600) 〈방정식의 재검토와 수정, De aeguartionum recognitione et emendatione〉(1615)

▶〈수학 요람〉 ― 삼각법에 관한 내용을 싣고 있다 ▶〈수학 요람〉 ― 삼각법에 관한 내용을 싣고 있다. ― 서유럽에서 처음으로 여섯 개의 삼각함수 모두를 이용하여 체계적으로 평면삼각형과 구면삼각형을 푸는 방법을 개발한 책. ― cosnθ를 n=1, 2, 3,…에 대하여 cosθ에 관한 함수로 표현했으며 3차방정식의 기약의 경우에 대한 삼각해도 제시

〈해석학 사설〉 : 기호대수의 발전에 커다란 기여    ― 이 책에서 비에트는 미지량을 나타낼 때는 모음을, 기지량을 나타낼 때는 자음을 이용하는 예를 소개    ― 비에트가 두 양 사이에 기호 ‘=’을 사용하긴 했으나, 그 기호는 두 양이 같다는 것을 표현하는 것이 아니라 두 양의 차를 표현하는 것이었다.

16세기의 그 밖의 수학자들 ▶ 클라비우스(Christopher Clavius) ― 재능있는 교사로, 상당한 수준의 산술(1583)과 대수(1608)에 관한 교과서를 씀. ― 1574년에는 유클리드의 〈원론〉을 번역 출간 ― 삼각법과 천문학에 대해서도 저술함 ― 그레고리력을 만드는 데 중요한 역할을 하였다. ▶ 피에트로 안토니오 카탈디(Pietro Antomio Cataldi) ― 수학에 관한 많은 저작을 남김 ― 산술에 관한 책, 완전수에 관한 논문, 〈원론〉의 처음 여섯 권에 대한 판(版), 대수에 관한 간단한 논문 ― 연분수(連分數) 이론 연구에 첫발을 내딛은 사람으로 믿어진다. ▶ 시몬 스테빈(Simon Stevin) ― 16세기에 베네룩스 제국에서 가장 영향력 있었던 수학자 ― 소수(小數)이론을 발견한 초기인물 ― 물리학에서는 정역학과 유역학의 발전에 기여한 것으로 알려져 있다. ― 당시의 학자들에게는 축성술(築城術)과 군대공사에 관한 저작으로 더 잘 알려졌었다. ― 당시의 일반 대중에게는 그가 돛으로 추진되는 마차를 만든 것으로 잘 알려졌었다.

▶ 수학에 공헌한 천문학자들 ― 니콜라스 코페르니쿠스(Nicolas Copernicus, 1473~1543) : 우주에 관해서 연구했는데 그 연구 결과는 삼각법의 개선을 필요로 하는 것이었고, 코페르니쿠스 그 자신도 삼각법에 관한 논문을 썼다. ― 레티쿠스(Gorg Joachim Rhaeticus, 1514 - 1576) : 지금까지도 유용한 두 개의 놀랄 만한 삼각표를 만들었으며 처음으로 삼각함수를 직각삼각형의 변의 비로 정의하였다. : 레티쿠스의 사인(Sine)표는 1593년 독일인 목사인 피티스쿠스에 의해서 편집 완성

16세기의 수학적 성취 ① 기호대수가 훌륭하게 시작되었다. ② 인도 - 아라비아 숫자 계산이 표준화되었다. ③ 소수(小數)가 개발되었다. ④ 3차 및 4차방정식이 풀렸고 방정식론이 일반적으로 진보되었으며 음수가 받아들여졌다. ⑤ 삼각법이 완성되고 체계화되어 몇 가지 훌륭한 표가 만들어졌다.