Ch. 4. 전위와 에너지(Potential and Energy) Ch. 2: 전계강도  Coulomb’s law Ch. 3: 전계강도  Gauss’s law Ch. 4: 전계강도  Potential 전하분포가 불규칙하여 가우스 법칙을 사용할 수 없는 경우에, 전위의 개념을 도입하여 전계강도를 구할 수 있음.

4-1. 점전하의 이동에 필요한 일(에너지) 전기장에서 전하를 이동시키기 위해서는 전기력과 반대의 힘을 가해야 함. 전기장에서 전하를 이동시키는데 소요되는 에너지

선소벡터: 이동향에 관계 없이 좌표값이 증가하는 방향으로 설정 경로방향: 적분 상한, 하한으로 결정 선적분(Line Integral) 선형경로를 따라 행하는 적분 Ex) 각 좌표계의 미소경로벡터 선소벡터: 이동향에 관계 없이 좌표값이 증가하는 방향으로 설정 경로방향: 적분 상한, 하한으로 결정

예제 4-1

예제 4-2

4-2. 전위와 전위차 (Potential Difference) 전하의 이동경로에 따라 일의 차이가 있는가? 전하의 이동경로에 따른 일의 차이는 없음! 즉, 다른 경로를 이용하더라도 시작점과 끝점이 같으면 소요에너지는 동일!

전위차(Potential Difference) 전위차: 점 1(V1)에서 점 2(V2)로 단위전하를 이동시키는데 소요되는 에너지 → 에너지(일) = 전하량 x 전위차

예제 4-3

예제 4-4

(보존장) 키르히호프의 전압법칙(KVL) 키르히호프의 전압법칙(KVL) 폐경로를 따라서 전하를 이동시켜 다시 시작점으로 돌아온다면 소요되는 에너지는 항상 0이다. 키르히호프의 전압법칙(KVL) (보존장)

예제 4-5

예제 4-6

두 점 사이의 전위차 전위차는 시작점과 끝점의 위치에만 의존하고 중간경로와 관계없음

전위의 정의(Definition of Potential) 무한히 먼 곳에서 전하를 끌어 왔다면, 점 P2의 전위 전위: 무한히 먼 거리에 있던 단위전하를 그 위치로 이동시키는데 사용된 에너지

4-3. 다양한 전하분포에 의한 전위 다수의 점전하에 의한 전위 점전하 Q1에 의한 전위 다수의 점전하에 의한 전위

선, 면, 체적전하에 의한 전위 선전하에 의한 전위 면전하에 의한 전위 체적전하에 의한 전위

예제 4-7 2장에서 나온 공식

예제 4-8 E = 0 from Gauss’s law → 구 내부의 모든 점에서 전위 일정

전위와 전계강도의 유사성 두 식이 유사하므로 전위의 식으로부터 전계강도를 구할 수 있음

4-4. 전위를 이용한 전계강도의 계산 결론을 먼저 얘기하면, 전계강도는 전위를 편미분하여 얻어진다.

4-4-1. 구배연산자(Gradient Operator) 두 점 사이의 온도차이를 편미분으로 표시 구배 연산자(Del operator): 3차원 벡터 변화율 연산자

구배연산자의 의미 이 와 동일한 방향일 때( ) 온도가 가장 많이 변화

: 3차원 변화량 (x, y, z 각 방향의 변화량; 벡터) 아래 그림을 보고 gradient 연산자의 의미를 이해하라.

예제 4-9

전기장의 방향은 전위가 가장 빠르게 감소하는 방향 4-4-2. 전위를 이용한 전계강도의 계산 전위분포에 구배연산을 적용하여 전계강도를 얻는다. 전기장의 방향은 전위가 가장 빠르게 감소하는 방향

Gradient using elementary calculus

Gradient theorem: fundamental theorem of calculus for line integrals

예제 4-10

→ E의 방향은 전위(전압) 가장 빠르게 감소하는 방향 등전위체 사이에 형성되는 전기장의 방향 전위의 변화율이 가장 큰 방향(최단거리)에 정반대 방향으로 전기장이 형성 → E의 방향은 전위(전압) 가장 빠르게 감소하는 방향

전기장은 등전위체 표면에 수직 dl : 접선방향 벡터 → (전기장의 방향)는 등전위체의 표면과 항상 수직

전기장은 등전위체 표면에 수직 → 응용

예제 4-11

전위를 이용한 전계강도 계산의 장점 전위는 스칼라 계산이므로 벡터계산을 하는 쿨롱의 법칙, 가우스 법칙에 비하여 계산이 단순하다.

원통, 구좌표계에서 전위의 구배연산 (직각 좌표계) → 암기 (원통 좌표계) → 암기 (구좌표계) → 암기

예제 4-12

4-5. 포싼 방정식과 라플라스 방정식 포싼 방정식, 러플라스 방정식(Poisson’s and Laplace’s Equations) 경계면에서 전위(전압) + 전위함수 미분방정식 = 러플러스 방정식 전하분포 + 경계조건 + 전위함수 미분방정식 = 포싼 방정식 전위함수를 구하는 방법(정전기장 문제를 푸는 방법) 전하분포를 알 경우: 적분, 포싼 방정식 전하분포를 모를 경우: 러플러스 방정식, Conformal mapping 연산(풀이) 방법: 이론적 방법, 수치해석적 방법

퐈쓴(Poisson) 방정식의 유도 : 맥스웰 1번 방정식 : 퐈쓴 방정식

러플러스(Laplace) 방정식 전하가 없는 영역에서 전위함수는 다음의 러플러스 방정식 만족 경계면(영역 체적을 둘러싸는 폐곡면)에서 전위함수 또는 이의 미분값이 주어지면 러플러스 방정식의 해는 유일

러플라스(Laplace) 연산자

일반적인 좌표계에서의 Laplacian

Del 연산자:

전위함수에 관한 미분방정식 전위함수: potential function, potential field 전위함수 미분 방정식 포싼 방정식: 전하가 있는(분포되어) 영역에서의 미분방정식 inhomogeneous differential equation (우변이 0이 아님) 러플러스 방정식: : 전하가 없는 영역에서의 미분방정식 homogeneous differential equation (우변이 0) 경계조건(boundary condition): 영역의 경계면에서 전위함수가 만족해야 할 조건 → 해를 유일하게 결정

포싼/러플러스 방정식의 경계조건(boundary condition, BC) Dirichlet(디뤼클’레이) 경계조건: type I, fixed 경계조건 V = V0 on S (closed) Newmann (노이먼) 경계조건: type II, natural, flux 경계조건 Robin 경계조건: mixed 경계조건 폐곡면 일부에서는 type I, 나머지에서는 type II 경계조건 Dirichlet = 디뤼클’레이, 디뤼’클리이, 디뤼쉴레이

전하밀도, 전위, 전계강도의 관계 전하밀도 전계강도 전위

4-6. 라플라스/포싼 방정식의 풀이 삼차원 미분방정식 해법 - 이론적 방법 - 적분법 - 변수분리법 + 직교함수전개법 - 수치해석적 방법 - MoM - BEM, BIM - FD - FEM

4-6. 라플라스/포싼 방정식의 풀이 4-6-1. 단일 독립변수 라플라스 방정식 독립변수가 1개인 경우 비교적 쉽게 해를 얻을 수 있다. 만일 전위가 z 방향으로만 변화한다면  : 단일 독립변수 라플라스 방정식

예제 4-13 : 단일 독립변수 라플라스 방정식 경계조건:

전압과 전하밀도 – 평행 평판 도체

예제 4-14 : 단일 독립변수 라플라스 방정식 경계조건:

전압과 전하밀도 – 동축선

예제 4-15 : 단일 독립변수 라플라스 방정식 경계조건:

전압과 전하밀도 – 동심구

동심구 – 외부영역에서의 해

Poissson Equation: 예제, pn 다이오드 접합

Plotting

경계조건: V (0)= 0

검산:

Hyperbolic Trigonometric Function

Hyperbolic Trigonometric Function

Hyperbolic Trigonometric Function

원통, 구좌표계 라플라스 방정식의 해법

구좌표계 포싼/러플라스 방정식의 해법 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/laplace.html#c2 구 외부에서의 전위:

구 내부에서의 전위:

- 경계면에서 한 변수의 좌표값이 일정한 경우 적용가능 - 변수분리의 형태 4-6-2. 다중 독립변수 라플라스 방정식의 해법 - 경계면에서 한 변수의 좌표값이 일정한 경우 적용가능 - 변수분리의 형태 독립변수 종속변수 2계 동차편미분방정식 각 항이 하나의 독립변수로 구성 변수분리의 형태 형태의 해를 가짐

편미분 방정식을 상미분 방정식으로 변환

이렇게 주어진 2차 상미분방정식을 풀어서 을 구하고 이렇게 2차 편미분방정식을 푸는 방법을 변수분리법이라 한다.

상미분방정식의 해 사용함수 선택: 영역 무한/유한 여부, 경계조건 종류에 따라 적절히

d = width, b = height

원통 좌표계 라플라스 방정식의 해법

전기 다이폴(Electric Dipole)

임의 방향 전기 다이폴

4-7. 정전기장에 의한 전기에너지

전하를 이동시키는데 소요된 에너지 전하를 이동시키는데 소요된 에너지

정전기장의 에너지 + 두 식을 합한다. 여기서 V1 = V1,2 + V1,3 + ··· + V1,N : 체적전하분포의 경우

정전기장의 에너지

전계강도를 이용한 정전기장 에너지 계산

예제 4-17

예제:

대전된 단일 도체: 도체면은 등전위면

예제: 다음 구조에서 다음의 두 공식에 의한 전기장 에너지가 일치하는지 확인하라. 평행평판 동축선 동심구 구