민주주의 투표와 선출

기표 후보자중에서 한 명 고르기 각 후보에 좋아하는 순위 매기기 적합한 후보들을 승인하기 후보자 마다 점수 매기기 …

다수결 제도 만장 일치 제도 사다리 타기 추첨식 선착순 폭력이 난무하는 사회

다수결 제도 38 27 21 11 3 1순위 김중자 이인자 정동자 노무자 2순위 3순위 4순위 후보자 네 명 유권자 백 명 Plurality method 네 명의 후보, 100 명이 투표 김중자가 우선 순위 1등이므로 당선 된다. 그러나 나머지 62%가 김중자를 싫어한다. 후보자 네 명 유권자 백 명

다수결 제도 1등: 김중자 38표 2등: 이인자 30표 3등: 정동자 21표 4등: 노무자 11표 38 27 21 11 3 1순위 김중자 이인자 정동자 노무자 2순위 3순위 4순위 1등: 김중자 38표 2등: 이인자 30표 3등: 정동자 21표 4등: 노무자 11표 Plurality method 네 명의 후보, 100 명이 투표 김중자가 우선 순위 1등이므로 당선 된다. 그러나 나머지 62%가 김중자를 싫어한다.

Condorcet (1743-1794) 후보 쌍쌍 비교 이인자 노무자 정동자 김중자

쌍쌍 비교 이인자 49:51 32:68 이인자 3승 노무자 2승 정동자 1승 김중자 무승 38:62 노무자 정동자 24:76 27 21 11 3 1순위 김중자 이인자 정동자 노무자 2순위 3순위 4순위 쌍쌍 비교 이인자 49:51 32:68 이인자 3승 노무자 2승 정동자 1승 김중자 무승 38:62 노무자 정동자 24:76 비기는 경우는 ½ 점 씩 부여 김중자 38:62 38:62

Borda(1733-1799) 셈 김중자 38×4 + 27×1 + 21×1 + 11×1 + 3×1 = 214 노무자 38×3 + 27×3 + 21×2 + 11×4 + 3×2 = 287 이인자 38×2 + 27×4 + 21×3 + 11×2 + 3×4 = 281 정동자 38×1 + 27×2 + 21×4 + 11×3 + 3×3 = 218 Jean-Charles de Borda 대학의 학점 평점 평가 올림픽 메달, 금은동 노무자 당선!

최소 득표자 제거 38 27 21 11 3 1순위 김중자 이인자 정동자 노무자 2순위 3순위 4순위 Plurality-with-elimination method Sequential run-off election?

최소 득표자 제거 노무자 처음 제거 이인자 다음 제거 김중자 그 다음 제거 정동자 당선 정동자 1등 김중자 2등 이인자 3등 38 27 21 11 3 1순위 김중자 이인자 정동자 노무자 2순위 3순위 4순위 노무자 처음 제거 이인자 다음 제거 김중자 그 다음 제거 정동자 당선 38 27 21 11 3 1순위 김중자 이인자 정동자 2순위 3순위 4순위 정동자 1등 김중자 2등 이인자 3등 노무자 4등 38 27 21 11 3 1순위 김중자 정동자 2순위 3순위 4순위 Plurality-with-elimination method Sequential run-off election?

38 27 21 11 3 1순위 김중자 이인자 정동자 2순위 3순위 4순위 38 27+3 21+11 1순위 김중자 이인자 62 1순위 김중자 정동자 2순위 정동자 당선!

공정한 선거제도를 위한 기준 과반수 기준 : 과반수 득표자는 당선된다. Condorcet 기준 : 쌍쌍비교에서 항상 우위에 있는 자는 당선된다. 단조 기준 : 당선자가 정해졌을 때, 그에게 유리하도록 선호도를 바꾸어 재투표하여도 당선자는 바뀌지 않는다. 포기자와 무관한 기준 : 당선자가 정해졌을 때, 다른 후보자를 제거하여도 여전히 당선자는 변화 없다.

K. Arrow (1921 ~ ) 불가능 정리 (1951, 학위논문) 3인 이상의 후보가 있을 때 모든 기준을 만족시키는 선출 방법은 존재하지 않는다. 1972년 노벨 경제학상 K = Kenneth, Harvard 대학 교수

가중 투표제

(w1 + w2 + … + wn)/2 < q  w1 + w2 + … + wn 유권자 할아버지 할머니 아버지 어머니 형 누나 언니 오빠 나 동생 합계 표 수 80 50 25 24 23 21 20 13 386 정원(quota) : 200 [200: 80, 80, 50, 25, 24, 23, 21, 20, 13] [q: w1, w2, … , wn] (w1 + w2 + … + wn)/2 < q  w1 + w2 + … + wn

[7: 5, 4, 4, 2] – 정원 너무 적음 [17: 5, 4, 4, 2] – 정원 너무 많음 [11: 4, 4, 4, 4, 4] ~ [12: 4, 4, 4, 4, 4] ~ [3: 1, 1, 1, 1, 1] [15: 5, 4, 3, 2, 1] ~ [5: 1, 1, 1, 1, 1]

[11: 12, 5, 4] – 독재자 (w  q) [12: 9, 5, 4, 2] – 거부권자 (T – w < q) [101: 99, 98, 3] ~ [2:1,1,1] 동등한 투표, 동등한 권력

동등한 투표 [8:5,3,2] ~ [2:1,1,0] 8 5 3 2 1 승

[7:4,3,2,1] ~ [5:3,2,1,1] 7 4 3 2 1 5 승

J. Banzhaf (1940 - ) 의 “권력 지수” (1965) Winning coalition Critical voter: If one leaves the coalition, then winning -> losing Banzaff power of a voter: Number of winning coalitions Where one is critical Total Banzaff power: Sum of all voter BPs. Banzaff index: BPv/TBP

결정적인 역할 (critical vote) [70: 50, 45, 20, 15] 50 45 95 110 80 결정적인 역할 (critical vote) 20 15

[51: 50, 49, 1] 승리하기(가결되기) 위한 “연합”과 결정적인 역할 {50, 49} {50, 1} {50, 49, 1} 50표를 가진 자의 권력 지수 = 3/5 49표를 가진 자의 권력 지수 = 1/5 1표를 가진 자의 권력 지수 = 1/5

연합표 엄마 아빠 나 동생 가중치 승패 결정적인 자 50 패 45 20 15 95 승 엄마, 아빠 70 엄마, 나 65 60 35 115 110 85 80 아빠,나,동생 130 연합표 결정적인 역할수 힘 엄마 5 5/12 아빠 3 3/12 나 동생 1 1/12 합계 12

토의사항 현재 우리나라의 선거제도, 행정제도등의 권력 분산은 공정하다고 생각되는가? 예를 들면 어떤 부분들이 불공정해 보이는 가?

참고문헌 Hoffman, p.215 Kac, Rota, Schwartz Parks et al. Saari Tannenbaum, Arnold Taylor http://www.ams.org/new-in-math/cover/voting-introduction.html