5장. 이산푸리에변환 5.1 연속신호의 푸리에변환 5.2 이산신호의 푸리에변환 5.3 이산푸리에변환 5장. 이산푸리에변환 5.1 연속신호의 푸리에변환 5.2 이산신호의 푸리에변환 5.3 이산푸리에변환 Circuits & Systems Lab.

5.1 연속신호의 푸리에변환 • 푸리에변환(Fourier transform)  주기, 비주기함수의 주파수 영역에서 신호 해석시 이용. f(t) : 임의의 연속신호 F(Ω) : 푸리에변환  f(t)의 푸리에변환 F(Ω)가 주어졌을 경우 Circuits & Systems Lab.

5.1 연속신호의 푸리에변환 • 역푸리에변환(inverse Fourier transform) 즉, 함수 f(t) 는 절대적분가능이어야 함. • 함수 F(Ω)는 일반적으로 복소수임. 여기서, | F(Ω) | : f(t) 의 진폭스펙트럼 (magnitude spectrum)  (Ω) : f(t) 의 위상스펙트럼 (phase spectrum) Circuits & Systems Lab.

5.1 연속신호의 푸리에변환 예제 5.1 그림 5.1(a)에서 보이는 구형펄스의 푸리에변환을 구하라. (b) 그림 5.2 복잡한 시간신호의 푸리에변환 풀이) 푸리에 변환의 정의에 의해 Circuits & Systems Lab.

5.2 이산신호의 푸리에변환 1. 이산신호의 푸리에 변환 정의 1. 이산신호의 푸리에 변환 정의  연속신호 x(t)를 표본화 하여 이산신호 x(nT) 로 바꾸어 주파수 스펙트럼을 구함. (그림 5.2) 그림 5.2 복잡한 시간신호의 푸리에 변환  선형불변시스템의 주파수 특성을 구하는 식과 비교해보면, 임펄스응답 h(nT)를 일반 이산신호 x(nT)로 바꾸어 놓은 형태. ∴ 주파수 특성이 시스템의 주파수영역의 정보를 나타내는 것처럼, 이산신호의 x(nT) 푸리에변환도 그 주파수영역의 정보를 제공. Circuits & Systems Lab.

5.2 이산신호의 푸리에변환 이산신호의 역푸리에변환 정의  주파수 스펙트럼X(j)로 부터이산신호 x(nT) 로 구하기 위한 역푸리에변환 식 ( 5.9 ) (5.9) 단, s= 2/T, T:sampling 주기  이산신호의 유용성은 연속시간 푸리에변환과 유사.  이산신호의 푸리에변환은 이산신호 x(n)의 주파수분포(specturm).  변조, 필터링 등과 같은 처리에 자주 사용.  이산신호의 푸리에변환 특성은 연속신호의 푸리에변환 특성과 동일함. Circuits & Systems Lab.

5.2 이산신호의 푸리에변환 예제 5.2 다음 이산신호에 대한 푸리에변환을 구하라. (a) x(nT) = (nT) 예제 5.2 다음 이산신호에 대한 푸리에변환을 구하라. (a) x(nT) = (nT) 풀이 (a) 이산신호의 푸리에변환 정의식에 의해,  임펄스신호의 주파수 스펙트럼은 모든 주파수대역에서 진폭값 1을 갖지만, 위상값을 가지지 않는다. Circuits & Systems Lab.

5.2 이산신호의 푸리에변환 (b) 정의에 의해, ∴ T = 1 [sec] , N = 10 으로 했을 때의 각각의 특성을 그림 5.3(b) Circuits & Systems Lab.

5.2 이산신호의 푸리에변환 2. 연속신호와 이산신호의 푸리에 변환 관계  연속신호와 연속신호를 표본화하여 만든 이산신호와의 관계를 주파수개념에서 보자. (그림 5.4)  연속신호 x(t)를 표본화주파수 fs =1/T[Hz]로, 즉 시간간격 T[sec]로 표본화한 이산신호를 x(nT)라 하자. 그리고 x(t) 및 x(nT)의 푸리에 변환은 각각 다음과 같이 표현한다. 그림 5.4 연속신호와 이산신호 Circuits & Systems Lab.

5.2 이산신호의 푸리에변환  x(nT)는 시각 t = nT에서 x(t)의 값이므로 연속신호의 역푸리에변환의  식(5.10) 적분을 2 / T[rad] 간격으로 적분의 총합을 구하면, 다음과 같다. ⇒ 단, m은 정수이며    +(2 m / T)로 변수치환하면, Circuits & Systems Lab.

5.2 이산신호의 푸리에변환  위식을 식 (5.11)의 식과 비교하면, 다음 식이 성립함.  위식을 식 (5.11)의 식과 비교하면, 다음 식이 성립함.  식 (5.11)은 연속신호와 연속신호를 표본화한 이산신호와의 관계를 주파수영역에서 표현하고 있다.  이산신호의 주파수 스펙트럼 X(j )는, 연속신호의 주파수 스펙트럼 Xa (j  )가 진폭이 1/T배로 되어 표본화주파수 fs = 1/T[Hz]마다 반복 됨을 알 수 있다. (그림 5.5) 그림 5.5 연속신호와 이산신호의 주파수 표현 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 연속적인 방법  주파수 분석 이산적인 방법  연속적인 방법 - 대역필터 뱅크(band filter bank)를 이용한 주파수 분석 처리장치. - 음성 분석에 널리 이용. - 복잡한 신호의 주파수 분석은 곤란.  연속푸리에변환에 대응하는 것으로 서로 유사한 관계를 가짐.  컴퓨터를 사용하여 주파수 분석을 하고자 할때 중요한 도구가 됨.  디지털필터 설계 또는 디지털 신호처리 알고리즘에서 중요한 역할을 함. - 고속푸리에변환(fast Fourier transform) 알고리즘이 존재하기 때문.  스펙트럼 분석기법으로도 유용.  음성, 영상처리 분야에 널리 이용. Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 1. 이산 푸리에변환의 정의  N개의 이산신호 x(n)(n = 0, 1,···,N-1)이 주어질 때 x(n)의 이산푸리에변환 정의  이산 역푸리에변환(inverse discrete Fourier transform)은  회전인자(twiddle factor) WN → WNkn은 복소 평면상 단위 원의 원주상을 1/N 원주만큼 움직이는 점. Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환  회전인자를 이용한 이산푸리에변환 (그림 5.6)  이산 역푸리에변환  회전인자를 이용한 이산푸리에변환 (그림 5.6) 그림 5.6 N = 8인 경우의 회전인자 값. W8kn  이산 역푸리에변환 → 회전인자를 사용하면 고속 푸리에변환을 취급할 때 편리함. Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 예제 5.3 다음 그림과 같은 x(n)의 이산푸리에변환을 구하라. 그림 5.7 x(n)과 X(k) 풀이) 이산푸리에변환의 정의식으로부터 여기서, W4nk = e-j2 kn/4 = (– j)kn이므로 k = 0, 1, 2, 3에서 X(0) = 1+ 2(1) + 2(1)2 + 2(1)3 = 7 X(1) = 1+ 2(-j) + 2(-j)2 + 2(-j)3 = –1 X(2) = 1+2(-1) + 2(1) + 2(-1) = – 1 X(3) = 1 +2(j) + 2(-1) + 2(-j) = – 1 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 예제 5.4 다음과 같은 x(n)의 이산푸리에변환을 구하라. 풀이) 이산푸리에변환의 정의식으로부터 풀이) 이산푸리에변환의 정의식으로부터 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환  z변환과 이산푸리에변환의 관계 이산신호 x(n)(n = 0, 1, …,N-1)의 z변환 Where z = e j로 두고, 라고 하면 X(k)는 Where z = e j 는 z평면상의 단위원을 나타냄.  식 (5.19)로부터 이산푸리에변환은 z변환의 특수한 경우에 해당 하는 것을 알 수 있다.  x(n)을 z변환한 X(z)을 0을 중심으로 하여 반경이 1인 단위원상을 2  / N 분할한 곳을 샘플점으로 하고, z = 1로부터 시작하여 샘플화한 값은 X(k)와 같다는 것을 의미한다. Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 예제 5.5 다음과 같은 x(n)의 이산푸리에변환을 구하라. 단, N = 8이다. 그리고 z변환을 이용하여 구한 값과 비교하라. 풀이) 이산푸리에변환의 정의식에 의해서 → x(n)을 z변환하면 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 식 (5.13)에 의하여 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 로 두면 Where Where, k를 0, 1, …, 7로 하면 X(0), X(1), … , X(7)을 구할 수 있다. ∴ 실제로 구해 보면 위의 값과 동일하다는 것을 확인할 수 있다. Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 이산푸리에급수(discrete Fourier series)  이산신호 이산푸리에변환  이산신호가 주기함수이면 이산푸리에급수도 이산주기함수로 되므로 → x(n)을 주기함수 x(n+N)의 한 주기 즉, (5,20)이라면 이산푸리에 급수의 한주기⇒ 이산푸리에변환 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 2. 이산푸리에변환의 성질 1) 선형성(linearity) 2) 주기성(periodicity) 3) 추이정리(shift theorem) 4) 순환 컨볼루션 5) 주파수영역 컨볼루션 6) 대칭성(symmetry) Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 1) 선형성(linearity) 2) 주기성(periodicity)  x(n)은 주기 N의 주기함수. 즉, x(n) = x(n+N)  임의의 상수 a, b 신호의 이산 푸리에변환 ↓ 2) 주기성(periodicity) → r = 임의의 정수 → Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 3) 추이정리(shift theorem) 증명) 여기서, n – m = n´ 우변의 괄호 제2항에 대입 l = n ´+ N Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 따라서, → (5.23)과 (5.24)로부터 여기서,  = 임의의 정수 여기서,  = 임의의 정수 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 4) 순환 컨볼루션  주기적인 두 수열의 순환(circular) 컨볼루션 증명) → m = n - l Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환  순환 컨볼루션을 구하는 방법 5) 주파수영역 컨볼루션 → y(m)과 WNkm의 주기성을 고려하면 → 두 수열 x(n)과 y(n)의 N점 DFT 구함. → 0 ≤ k ≤ N – 1에서 X(k) Y(k)의 역 DFT를 구함. 5) 주파수영역 컨볼루션 증명) Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 6) 대칭성(symmetry)  이산 푸리에 변환 → X(N-k) = X(-k)=X* (k) → 여기서, WNn = 1 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환  음성과 같은 실수 데이터에서 파워스펙트럼과 같은 스펙트럼의 크기가 문제가 되는 경우 → 대칭 관계가 있기 때문에 k = 0,1, ㆍ ㆍ ㆍ,N/2까지만 X(k)를 구함.  x(n) = x( N – n )과 대칭일 경우 → x(n) = x(N-n)일 때는 X(k) = X* (k)이므로, Im[X(k)] = 0 → x(n) = -x(N-n)일 때는 X(k) = -X* (k)이므로, Re [X(k)] = 0 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 3. 이산 푸리에 변환의 직접계산  N점 이산 푸리에 변환(DFT) 3. 이산 푸리에 변환의 직접계산  N점 이산 푸리에 변환(DFT) - N점 수열(N-Point sequence) { x(0), x(1), …, x(N-1)} 의 이산 푸리에 변환이 {X(0), X(1), … , X(N-1)}일 때를 말함. 예) 8점(8-point DFT) → 식 (5.31)을 이용 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 - 회전인자 W - 직접계산(direct computation)하는 경우흐름도(flow graph) (그림 5.8) 그림 5.8 8점 DFT 직접계산법  N점 DFT인 경우 N×N=N2회 연산 Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 4. 이산푸리에변환과 스펙트럼  이산푸리에변환 X(k)에 대하여  k값과 주파수의 관계 4. 이산푸리에변환과 스펙트럼  이산푸리에변환 X(k)에 대하여 k=0일 때 X(k)는 직류성분 k=1일 때 X(k)는 기본파 성분(혹은 제1고조파 성분) k=2일 때 X(k)는 제2고조파 성분 k=3일 때 X(k)는 제3고조파 성분  k값과 주파수의 관계 - T : 표본화 간격 - N : 디지털 신호 x(n)의 샘플수 - T0 : 해석시간(record lenth) Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환  이산푸리에변환에서 진폭, 파워,위상 스펙트럼을 구할 수 있다. ⊙ X(k)에서 k 간격에 따른 주파수 간격 : f k=0일 때 주파수는 0[Hz] k=1일 때 주파수는 0.5[Hz] k=2일 때 주파수는 1[Hz]  이산푸리에변환에서 진폭, 파워,위상 스펙트럼을 구할 수 있다.  이산푸리에변환에서 추출한 신호를 주기신호라 가정하고 그에 따라 스펙트럼에 미치는 영향 ( 그림 5.9 ) Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환  불연속점의 영향으로 생긴 오차를 줄이기위해 잘라낸 신호의 그림 5.9 10[Hz] 정현파의 스펙트럼  불연속점의 영향으로 생긴 오차를 줄이기위해 잘라낸 신호의 처음값과 마지막값을 같게 해줌.  창함수 (window function) Circuits & Systems Lab.

5.3 이산 푸리에 변환 예제 5.6 어떤 아날로그 신호를 다음과 같이 표본화한다고 하자. 해석시간:200[ms] 예제 5.6 어떤 아날로그 신호를 다음과 같이 표본화한다고 하자. 해석시간:200[ms] 표본화 주파수:2.5[KHz] (a) 신호를 표본화했을 때 에일리어싱이 없다면 이 신호의 상한주파수는 얼마인가? (b) 이러한 신호를 이용하여 DFT를 실행할 때 주파수간격 및 위상간격을 구하라. (c) DFT를 실행할 때 아날로그 주파수는 어떻게 표현되나? 풀이) (a) 나이키스트(상한) 주파수 fmax = fs /2=1250[Hz] (b) 주파수간격과 해석시간은 역의 관계가 있으므로 다음과 같이 된다. f = 1/T0 = 5[Hz] 위상간격  = 2f T =(4)10-3[rad] (c) 샘플수 N은 N = T0 / T = 500 [samples]이므로 주파수는 다음과 같이 표현된다. f`= 0, 5, 10,… , 1250, -1245, -1240, … ,-5 [Hz] Circuits & Systems Lab.