6장 Functions of r.v.

6장 Functions of r.v.

6.1 Introduction

6.1 Introduction 지금까지 다룬 내용 1-2장 통계 및 확률 3장 이산확률변수/분포 4장 연속확률변수/분포 5장 Multivariate 확률분포 6장에서는 확률변수의 함수들을 다룬다.

6.1 Introduction 통계학의 목적 (1장) 표본에 포함된 정보를 근거로 모집단에 대하여 추론하는 것. (그 추론에 대한 goodness 척도하에) 무엇으로 추론을 하는가? 표본으로 부터 얻은 n개 관측값들의 함수, 즉 확률변수 들의 함수로 추론을 한다. ⇒ 함수의 분포를 알아야 추론이 가능

6.1 Introduction 예) 표본자료 표본자료의 함수 추정오차 표본추출 전 (확률변수) 표본추출 후 (수치) 표본자료 표본자료의 함수 추정오차 … 표본추출 전 (확률변수) 표본추출 후 (수치) 표본을 얻을 때마다 수치들은 변한다. … … …

6.1 Introduction … … … 확률변수들의 함수의 분포를 구하는 방법을 6장에서 다룬다.

6.1 Introduction random sample (확률표본) 이란? r.v. Y1, Y2, ..., Yn have a joint pdf f(y1, y2, ..., yn) as follows f(y1, y2, ..., yn) = f(y1)f(y2)...f(yn)                  observations of Y1, Y2, ..., Yn ⇒ Y1, Y2, ..., Yn : random sample of size n                   from a population with density f(y) sample Y1, Y2, ..., Yn 모 집 단

6.2 r.v. 함수에 대한 분포함수를 구하는 방법

6.2 r.v. 함수에 대한 분포함수를 구하는 방법 Y1, Y2, ..., Y n : n개의 r.v. f(y1, y2, ..., y n) : joint pdf of Y1, Y2, ..., Y n U=U(Y1, Y2, ..., Y n)의 pdf를 알아내는 방법 1) distribution function technique 2) change of variable (c.o.v) technique (method of transformation) 3) m.g.f. technique

6.3 Method of distribution function

6.3 Method of distribution fn FU(u) = P(U ≤ u)   ⇒  fU(u) Ex 1) f(y) = 2y   0<y<1                  0    o/w        U=3Y-1일 때 U의 pdf를 구하라. Sol) FU(u) = P(U≤ u) = P(3Y-1≤ u) = P(Y ≤ (u+1)/3)                  = 0                     u<-1 -1≤u≤2                         1              2<u 따라서 fU(u) = -1≤u≤2                    0                o/w

6.3 Method of distribution fn Ex 2) (bivariate case) f(y1, y2) = 3y1        0<y2<y1<1           0           o/w                                 U = Y1-Y2의 pdf는?    y2=y1 y1-y2=u Sol) FU(u) = P(U≤ u) = P(Y1-Y2 ≤ u) = P(Y2≥ Y1-u)     =          따라서

6.3 Method of distribution fn Ex 3) Y1, Y2 : random sample of size n=2 from U(0,1) f(y1, y2) = f(y1)f(y2) = 1         0<y1<1   0<y2<1                            0         o/w U = Y1+Y2의 pdf는? sol) FU(u) = P(U≤ u) = P(Y1+Y2≤ u) = P(Y2 ≤ u-Y1) 1) u<0         FU(u) = 0 2) 0<u<1     y1+y2=u

6.3 Method of distribution fn         y1+y2=u 4) 2<u                                                                  F U(u) = 1 따라서 fU(u) = u 0≤u<1                   -u+2     1<u<2                  0        o/w

6.3 Method of distribution fn Ex 4) f(y) = (y+1)/2    -1<y<1              0          o/w U = Y2의 pdf는? Sol) FU(u) = P(U ≤ u) = P(Y2 ≤ u) = 1) u<0 FU(u) = 0  2) 0<u<1         FU(u) = 3) u>1              FU(u) = 1 따라서 fU(u) = 0< u ≤ 1             0      o/w

6.4 Methods of transformations

6.4 Methods of transformations 1) Discrete r.v. Ex) P(Y=y) =     y=0,1,2,...  U=4Y의 pmf는? sol) P(U=u) = pU(u) = P(4Y=u) = P(Y=u/4) =    u=0,4,8,... 

6.4 Methods of transformations Ex)      U=Y2의 pmf는? sol) P(U=u) = pU(u) = P(Y2=u) = P(Y= )              =       NOTE. Y : discrete r.v. with pmf pY(y) = P(Y=y)         만약 h(y)가 y에 대한 증가 또는 감소함수이면,              U=h(Y)의 pmf는 pU(u) = PY[h-1(u)]

6.4 Methods of transformations 2) Continuous r.v. Y : continuous r.v. with pdf fY(y)         만약 h(y)가 y에 대한 증가 또는 감소함수이면,         U=h(Y)의 pdf는 Jacobian=J

6.4 Methods of transformations Ex 7) f(y) = 2y        0<y<1            0          o/w                                          U = -4Y+3의 pdf는? sol) U = -4Y+3 ⇒ 

6.4 Methods of transformations Ex 8) (bivariate case) f(y1, y2) = e -(y1+y2)       0<y1, 0<y2 0             o/w                                  U = Y1+Y2의 pdf는? sol) y2 = u-y1 = h-1(u, y1)       ∴ joint density of Y1 and U g(u, y1) = e -u       0<y1<u                  0          o/w                        ∴ marginal density of U

6.4 Methods of transformations Ex 9) (곱 형태) f(y1, y2) = 2(1-y1)       0<y1<1  0<y2<1       0             o/w                                  U = Y1Y2의 pdf는? sol) y2 = h-1(u, y1) = u/y1       ∴ g(u, y1) = 2(1-y1)/y1      0 <u<y1<1         0               o/w                       

6.4 Methods of transformations NOTE. Y : continuous r.v. with pdf fY(y)         만약 h(y)가 y에 대한 증가 또는 감소함수이면,         U=h(Y)의 pdf는 Jacobian=J

6.5 Method of m.g.f

6.5 Method of m.g.f 각 확률분포별로 m.g.f 는 unique 예) B(n, p) ⇔ m.g.f =[pet+(1-p)]n Ex 10) Y~N(μ,σ2). Show that Z=(Y-μ)/σ~N(0, 1). sol) Y~N(μ,σ2)일 경우     

6.5 Method of m.g.f Ex 11) Y1, Y2, ... Yn : random sample of size n from E(θ)        Z = Y1+Y2+...+Yn ? sol) E(θ)일 경우 mYi(t)= (1 - θt)-1    ⇒ mZ(t) = E(etZ) = E[exp(t(Y1+Y2+...+Y n))]             = E[exp(tY1)]E[exp(tY2)]...E[exp(tYn)]             = mY1(t)mY2(t)...mYn(t)             = (1- θt) -n      ∴ Z ~ Gamma(n, θ)

6.5 Method of m.g.f Thm 3) Yi~N(μi,σi2) i=1, 2, ..., n          Yi i=1, 2, ..., n are independent pf) m.g.f. 방법을 이용 (refer to text)         

6.6 Order Statistics

6.6 Order Statistics Y1, Y2, ...Yn : indep. r.v. with distribution fn F(y) and pdf f(y) Let   Y(1) : smallest = min[Y1, Y2, ... Yn]      Y(2) : 2nd smallest            ...         Y(n) : largest= max[Y1, Y2, ... Yn] ⇒ (Y(1) , Y(2) , ... Y(n)) : order stat. of random sample (Y1,Y2, ... Yn)    Y(i) : ith order stat.

6.6 Order Statistics NOTE 1. P[Y(n)<y]    =P[Y1<y, Y2<y, ... Yn<y]                =P[Y1<y]P[Y2<y]...P[Yn<y]    =F[y] n g(n)(y) =nF[y]n-1f(y) NOTE 2. P[Y(1) <y]    =1-P[Y(1) >y]       =1-P[Y1>y, Y2>y, ... Yn>y]                 =1-P[Y1>y]P[Y2>y]...P[Yn>y] =1-[1-F(y)]n g(1)(y) = n[1-F(y)]n-1f(y)

6.6 Order Statistics The joint pdf of Y(1) and Y(2) :  g(1)(2)(y1, y2)  = 2f(y1)f(y2)    y1<y2         0             o/w The joint pdf of Y(1) , Y(2) , ... Y(n)   : g(1)(2) ….(n)(y1,y2, ...yn)  = n!f(y1)f(y2)...f(yn)    y1<y2<...<yn                              0                  o/w

6.6 Order Statistics Ex 13) Life time of electronic components                Life time of series structure with two components ? Life time X = min[Y1, Y2]

6.6 Order Statistics Ex 14) (Parallel structure) Life time X = max[Y1, Y2] Homework) 6-2, 19, 40, 52

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