F r a c t a l 발표자 : 2002003544 방기영
프랙탈이란 무엇인가? 자기닮음과 소수차원을 그 특성으로 갖는 1975년 만델브로트 (Mandelbrot)가 소개한 기하학이다. fractal은 '파편의', '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 유래 한다. 자기유사성을 갖는 복잡한 기하도형의 한 종류 유클리드 기하 구성성분으로 설명할 수 없는 자연의 고르지 않은 현상이나 여러 불규칙 형태의 사물을 묘사할 수 있다.
자연 속의 프랙탈
프랙탈의 이용 카오스 이론과 함께 수학, 물리학 분야에서 연구가 이루어 지고 있다. 지구과학 분야에서 자연을 시물레이션 하는데 프랙탈이 응용 된다. 컴퓨터 공학에서 압축 알고리즘(동영상) 등에 프랙탈이 응용 된다. 의학에서 혈관, 신경세포 분석, 방사선 영상 분석, 정신 치료 등에 응용 된다. 미술, 음악 등 예술 분야에서 프랙탈이 응용 된다.
프랙탈의 구현 프랙탈의 기본 특성인 자기 유사성 (self-similarity)과 순환성 (recursiveness, 재귀)을 이용해서 컴퓨터로 가장 단순화된 대표적인 모델을 구현 한다. 기본적인 구성은 C 언어에 따르지만, 그래픽을 처리 해야 하기 때문에 MS Visual C++ 6.0 MFC에서 그래픽 라이브러리glib.h를 최소화 하여 사용 하였다.
1.1 코흐 곡선 (H. von Koch) 해안선과 국경의 길이는 왜 측정 하는 자의 길이에 따라 다를까? 0차 1차 2차 3차 L L/3 60도
1.2 코흐 곡선 구현
1.3 코흐 섬 구현
2.1 꽃양배추(cauliflower) 0 차 트리 곡선은 길이 L인 직선이다. 0차 1차 2차 L L/2 L/4 0 차 트리 곡선은 길이 L인 직선이다. 1차 트리 곡선은 길이 L/2인 가지를 90도 간격으로 2개 뻗는다. 2차 트리 곡선은 L/4인 가지를 90도 간격으로 각각의 1차 곡선의 새로운 가지에서 2개 씩 뻗는다. 이 과정을 반복한다.
2.2 꽃양배추 구현 10차의 꽃양배추 왼쪽을 더 무성하게한 꽃양배추 왼쪽 Scale을 0.9배씩 감소
3.1 시어핀스키 삼각형 (Sierpinski) 0차 1차 2차 3차 4차 색칠되어져 있는 임의의 정삼각형이 있다. 주어진 삼각형의 변의 중점을 꼭지점으로 하는 삼각형을 그려 합동인 4개의 작은 정삼각형을 만든다. 가운데 있는 작은 정삼각형을 제거하여 3개의 정삼각형만 남긴다. 이 때, 작은 정삼각형의 한 변의 길이는 처음 삼각형의 1/2이고 넓이는 1/4이다. 남아있는 3개의 색칠되어진 정삼각형들에서 위의 과정을 반복하여 시행한다.
3.2 파스칼 삼각형 속의 시어핀스키 삼각형 파스칼 삼각형 + 변형된 파스칼 삼각형 홀수와 짝수를 대비해서 볼 수 있도록 짝수는 0, 홀수는 1로 단순화 한다. 이 변형된 파스칼 삼각형은 다음 규칙을 만족하게 된다. 짝수 + 짝수 = 짝수 : 0 + 0 = 0 (mod 2) 짝수 + 홀수 = 홀수 : 0 + 1 = 1 (mod 2) 홀수 + 짝수 = 홀수 : 1 + 0 = 1 (mod 2) 홀수 + 홀수 = 짝수 : 1 + 1 = 0 (mod 2) 파스칼 삼각형 +
3.3 변형된 파스칼 삼각형 X 15 높이 400, 폰트 크기 1pt