“Biomechanics is mechanics applied to biology” Y.C. Fung

Mechanics 4 Mechanics 고체역학 : Solid Mechanics 동역학 : Dynamics Solid Mechanics : deformation and fracture Statics : ∑F=0 and ∑M=0 동역학 : Dynamics Kinematics (기구학) : 운동의 형태 Kinetics (운동역학) : ‘힘’과 ‘에너지’ 유체역학 : Fluidics (Fluid Mechanics) 유체정역학 : 비점성, 비압축성 유체동역학 : 점성, 압축성(기체)

열역학 : Thermodynamics 열역학 제0법칙 : 열적 평형 상태 열역학 제1법칙 : 열 시스템의 내부 에너지는 시스템에 가해진 열에너지와 시스템이 외부에 한 -(일)의 합이다. 열역학 제2법칙 : 시스템의 총 엔트로피는 시간을 따라 증가하려는 경향이 있다. 열역학 제3법칙 : 절대영도에 다가갈수록 엔트로피는 최소값상수로 수렴 엔트로피(일로 변환할 수 없는 에너지, 무질서도) 열전달(전도,대류,복사) 열기관 (냉동기)

Vector Mechanics Vector Math. 2D Norm Angle

3D

Vector 연산 Summation Product Dot Product (내적) : 힘,변위,일… Cross Product (외적) : 토크, 모멘트, 비틀림…

Dot Product (내적) : 스칼라값  힘,변위,일 힘을 F, 변위를 s, 힘과 변위 사이의 각을 θ라고 할 때, 일 W는                 

Cross Product (외적) : 토크, 모멘트, 비틀림…

>> %(a) First write the direction vector d that points along F >> % as a 1D array: >> d = [12 -15 9] d = 12 -15 9 >> % Now write the unit vector of F, giving its direction: >> unit_vector = d/norm (d) unit_vector = 0.5657 -0.7071 0.4243 >> % F consists of the magnitude 10 kN times this unit vector >> F = 10*unit_vector F = 5.6569 -7.0711 4.2426 >> % Or, more directly >> F = 10*(d/norm(d) ) >> % (b) First write the vector r_xz that points in the xz plane: >> r_xz = [12 0 9] r_xz = 12 0 9 >> % The dot product is given by the sum of all the term by term >> % multiplications of elements of vectors F and r_xz >> F_dot_r_xz = sum(F.*r_xz) >> % or simply, dot(F,r_xz) F_dot_r_xz = 106.0660 >> % (c) Cross F with a vector that points from the origin to F. >> % The cross product is given by the cross function >> r_xz_cross_F = cross(r_xz,F) r_xz_cross_F = 63.6396 0 -84.8528 >> % Note that the cross product is not commutative >> cross(F,r_xz) ans = -63.6396 0 84.8528 >> % Vectors are added and subtracted in MATLAB using the + and - >> %operations, respectively.

Coordinate Transformation

Euler Angle

% eulerangles.m % % Euler angles for y-x-z rotation sequence % using MATLAB symbolic math toolbox % x, y and z are thetax, thetay and thetaz, respectively % First define them as symbolic variables syms x y z % Writing equations 4.21–23 as a matrix A A = [ cos(y), 0, -sin(y); 0, 1, 0; sin(y), 0, cos(y)] % equations 4.24–26 as matrix B B = [ 1, 0, 0; 0, cos(x), sin(x); 0, -sin(x), cos(x)] % and equations 4.27–29 as matrix C C = [ cos(z), sin(z), 0; -sin(z), cos(z), 0; 0, 0, 1] % The matrix equation 4.30 is created by multiplying matrices C, B % and A D = C*B*A >> eulerangles D = [cos(z)*cos(y)+sin(z)*sin(x)*sin(y), sin(z)*cos(x), -cos(z)*sin(y)+sin(z)*sin(x)*cos(y)] [-sin(z)*cos(y)+cos(z)*sin(x)*sin(y), cos(z)*cos(x), sin(z)*sin(y)+cos(z)*sin(x)*cos(y)] [cos(x)*sin(y), -sin(x), cos(x)*cos(y)]

>> eulangle(30,20,10) ans =0.9254 0.3188 -0.2049 function y = cosd(x) %COSD(X) cosines of the elements of X measured in degrees. y = cos(pi*x/180); function y = sind(x) %SIND(X) sines of the elements of X measured in degrees. y = sin(pi*x/180); function D = eulangle (thetax, thetay, thetaz) %EULANGLE matrix of rotations by Euler’s angles. % EULANGLE(thetax, thetay, thetaz) yields the matrix of % rotation of a system of coordinates by Euler’s % angles thetax, thetay and thetaz, measured in degrees. % Now the first rotation is about the x axis, so we use eqs. 4.24–26 A = [ 1 0 0 0 cosd(thetax) sind(thetax) 0 -sind(thetax) cosd(thetax) ]; % Next is the y axis rotation (Eqs. 4.21–23) B = [ cosd(thetay) 0 -sind(thetay) 0 1 0 sind(thetay) 0 cosd(thetay) ]; % Finally, the z axis rotation (Eqs. 4.27–29) C = [ cosd(thetaz) sind(thetaz) 0 -sind(thetaz) cosd(thetaz) 0 0 0 1 ]; % Multiplying rotation matrices C, B and A as in Eq. 4.30 gives the solution: D=C*B*A; >> eulangle(30,20,10) ans =0.9254 0.3188 -0.2049 -0.1632 0.8232 0.5438 0.3420 -0.4698 0.8138

Static Equilibrium ‘정지’된 물체에 작용하는 힘과 모멘트 고려 힘의 합=0 모멘트의 합=0

가정 풀리의 직경은 무시 줄에 걸리는 장력은 줄 전체로 동일(T=F1=F2=F3) i, j 성분끼리

x components y components Sol.

z R y y F2, F3

Moment of Inertia 물체의 회전력을 지속하게끔 하는 질량분포에너지 (물체 각 부분의 질량)X(회전축까지의 거리)^2 의 합

Mechanics of Materials Stress(응력) Strain(변형율) Elastic Modulus

Poisson’s Ratio : 축방향 strain에 대한 횡방향 strain의 비

Stress-strain curve

Brittle vs. Ductile

Spring-back hysteresis

Viscoelastic Model K B 스프링 상수 : K  F=Kx 댐핑 상수 : B  F=B*dx/dt=Bv

맥스웰 모델 dx/dt=1/K*dF/dt+1/B*F F(t)=K*x1(t) F(t)=B*dx2(t)/dt x(t)=x1(t)+x2(t) dx1(t)/dt=1/K* dF(t)/dt dx2(t)/dt=1/B* F(t) dx(t)/dt=dx1(t)/dt+dx2(t)/dt  dx(t)/dt = 1/K*dF(t)/dt + 1/B*F(t) K x1(t) x(t) B x2(t) F(t) dx/dt=1/K*dF/dt+1/B*F

보이트 모델 F=Kx+B*dx/dt F1(t)=K*x(t) F2(t)=B*dx(t)/dt F(t)=F1(t)+F2(t) F(t)=K*x(t) + B*dx(t)/dt B K x F1 F2 F=Kx+B*dx/dt F

켈빈 모델 ? K x K B F1 F2 F+B/K*dF/dt=Kx+2B*dx/dt F

Sol) F+B/K*dF/dt=Kx+2B*dx/dt 맥스웰 모델이므로… dx/dt=1/K*dF2/dt + 1/B*F2 F1=K*x F=F1+F2 F2=F-F1  dF2/dt=dF/dt-dF1/dt …… (1) 또한 F2=F-F1=F-K*x …… (2) 식 (1),(2)를 가정 1)에 넣으면, dx/dt = 1/K*(dF/dt-dF1/dt) + 1/B*(F-K*x) F1=K*x  dF1/dt=K*dx/dt 이므로 dx/dt = 1/K*dF/dt – dx/dt + F/B – K/B*x 양변에 B를 곱해주고 정리하면… K x x K B F1 F2 F F+B/K*dF/dt=Kx+2B*dx/dt

Simple Spring Model : F=Kx

Maxwell Model : dx/dt=1/K*df/dt+1/B*F

Voight Model : F=Kx+B*dx/dt

Kelvin Model : F+B/K*dF/dt=Kx+2B*dx/dt

Motion Capture

Gait Analysis

Kinematic data analysis Kinetic data analysis

9세, 뇌성마비 환자의 Gait Analysis

생체유체역학 유체역학 연속체(continuum) 유체의 밀도 유체 : 기체와 액체 유체의 운동을 기술 유체: 분자들의 집합체 분자간의 거리는 분자의 직경에 비해 매우 크다 분자는 고정되어 있지 않고 자유롭게 움직임 유체의 밀도 밀도는 실질적으로 점함수 유체성질은 공간에서 연속적으로 변화

점성과 전단응력 압력, 온도, 밀도 : 시스템의 특성을 나타내는 열역학적 변수 점도 : 움직이는 유체에서의 국소응력과 유체요소의 변형률(strain)과의 관계

뉴턴유체 전단응력과 전단변형율이 선형적인 관계를 가지는 유체

레이놀즈수 (Reynolds number) 비압축성, 압축성 유동 연속식을 간단하게 하기 위해 밀도변화를 무시 : 비압축성 대부분의 공학적 유동을 비압축성 유동으로 해석 예외) 고속기체유동 : 비행기 엔진 내의 유동 등… 레이놀즈수 (Reynolds number) 무차원변수 : 층류유동과 난류유동을 구분하는 기준 점성력에 대한 관성력의 비 Re가 매우 작은 경우 : 점성력이 지배, 관성을 무시 Re가 매우 큰 경우: 관성력이 지배, 점성의 효과를 무시 유체밀도 ρ, 점성계수 μ, 특성길이 l, 속도 V

층류유동 (Laminar flow) 유체의 입자가 서로 층을 이루어, 뒤섞임 없이 질서있게 흐르는 상태 원형관 내에서의 층류유동 벽부근 속도는 0, 관의 중앙에서 최대 관내에서 속도분포는 포물선 평균속도는 중심속도의 약 0.5배 Re < 2000

난류유동 (Turbulent flow) 유선이 발견되지 않음 유체는 질량의 소용돌이 속도분포 : 중앙에서 최대, 벽부근에서 중앙의 절반 정도 원형관에서 Re > 2000 일 때 발생

표면장력(Surface Tension) 표면장력 : 액체와 기체 사이, 또는 섞이지 않는 두 액체 사이의 경계면을 따라 힘이 발생 실제 막이 존재하는 것은 아님 액체 방울이 여러 표면에서 일어나는 다른 현상 : 액체 표면의 분자들에 작용하는 응집력의 불균형에서 기인 응집력의 불균형 : 액체 덩어리 내부의 분자는 주변 분자들에 의해 같은 크기로 끌어당겨짐 – 액체 표면에 있는 분자가 다른 분자들에 의해 받는 힘들의 합은 그 방향이 액체 내부를 향하게 됨 표면장력 : 액체 표면 위에 있는 가상의 단위 길이의 선을 따라 작용하는 분자 간의 인력의 강도 (N/m) 액체의 온도가 높아질수록 작아짐

접촉각(Contact Angle) 모세관에서의 상승 접촉각 : 액체와 튜브벽에 의해 결정 튜브벽-액체 사이의 부착력이 액체분자들 사이의 응집력을 극복할 수 있을 정도로 강해서, 액체가 튜브벽을 따라 상승: 이경우, 액체는 고체표면(튜브벽)을 적신다(wet)고 함 액체기둥의 높이: 표면장력, 튜브의 반경, 액체의 비중량 그리고 액체와 튜브 사이의 접촉각이 결정 접촉각 : 액체와 튜브벽에 의해 결정 물이 깨끗한 유리와 접촉하고 있는 경우 높이는 튜브의 반경에 반비례, 모세관 현상은 튜브의 반경이 작아질수록 더 뚜렷해짐

접촉각 작은 튜브에서의 모세관현상 튜브를 적시는 액체기둥의 오름 높이 계산을 위한 자유물체도 튜브를 적시지 않는 액체기둥의 내려감

접촉각 측정 생체재료의 혈액적합성/생체적합성을 판단하는 중요한 기준 중 하나

베르누이 방정식 마찰이 없는 정상유동에서의 압력,속도 및 높이 사이의 관계 제약이 있음: 유체의 점성에 의한 마찰

정압(static pressure), 정체압(stagnation pressure), 동압(dynamic pressure) P 정압(static pressure) : 유체가 유동할 때 실제적인 열역학적인 압력- 유체를 따라가면 측정 γz 정수압(hydrostatic pressure) : 높이 변화에 따른 유체의 위치에너지 변화에 따른 압력변화 V2/2g 동압(dynamic pressure) 정체유선(stagnation streamline) 유동하는 유체 속에 놓인 물체 위 유속이 0 이 되는 지점 물체 위를 돌아가는 유동과 아래로 돌아가는 유동을 나누는 경계선 정체압(stagnation pressure) : 주어진 유선 위에서 가질수 있는 가장 높은 압력- 모든 운동에너지가 압력의 상승으로 변환 전압(total pressure) : 정압 + 정수압 + 동압 베르누이 방정식 : 유선을 따라 전압이 항상 일정하다

정압(static pressure), 정체압(stagnation pressure), 동압(dynamic pressure)

오리피스, 노즐, 벤츄리 베르누이 방정식의 원리를 이용하여 유체의 속도와 유량을 측정할 수 있는 장치 점성이나 압축성의 영향이 없는 이상적인 유량계 파이프 속에 방해물을 설치 저속-고압인 상류의 단면과 고속-저압인 하류의 단면 사이의 압력차를 측정

Poiseuille flow 일정한 단면을 가진 원형튜브내를 흐르는 정상, 층류유동 튜브의 반지름이 2배 늘어나면 유량은 16배로 증가 (관저항이 1/16로 감소) 튜브의 반지름이 ½로 줄어들면 유량은 1/16으로 감소 (관저항이 16배로 증가)

유체역학에서 중요한 무차원 변수들

다음 그림과 같은 도관을 따라 유체가 흐르고 있다 다음 그림과 같은 도관을 따라 유체가 흐르고 있다. 이 유체의 특성은 비점성이며 비압축성인 뉴톤유체이며(invicid and incompressible Newtonian fluid)하며, 관내에서의 유동은 층류(laminar flow)이다. 그림 (a)와 (b)의 단면적의 합이 같다고 할 경우, 그림 (a)를 통해서 흐르는 유체의 량이 Q라 할 때, 그림 (b)의 도관을 통해서 흐르는 유체의 량은 얼마인가 ? (단, 두 그림의 도관의 길이는 같고, 압력경사도 동일함) ※ 필요한 변수들을 도입하여 구하라.