벡터의 공간 201829140 이문현
목차 벡터공간의 배경과 역사 벡터공간의 정의 벡터공간의 예
벡터공간의 배경과 역사 17세기의 해석 기하학, 행렬, 선형 방정식의 체계, 유클리드 벡터로부터 기원하여 선, 평면과 같은 고전적인 기하학적 인 생각들의 확장으로 나타낼 수 있습니다. 수학자 해밀턴이 위치벡터의 개념을 창안하여 벡터를 좌 표와 대응시켜 벡터공간의 기초를 다졌습니다. 1920년 경에 바나크와 힐베르트에 의해 공식화되었습니다. 무한 치수를 포함한 벡터 공간은 확고하게 확립된 개념이 되었고, 많은 수학자들이 이 개념을 사용하기 시작했습니 다. 벡터 공간이 핵심적으로 발전하게 된것은 Lebesgue에 의한 함수공간의 구조 이해를 계기로 시작했습니다.
벡터공간의 정의 체(field)K 에 대한 벡터 공간 ( V , + , ⋅ ) 은 K 에 대한 가군 (module)이다. 즉, 다음과 같다. V 라는 집합을 정의하고 이 집합의 원소를 벡터라고 한다. + : V × V → V 는 함수이다. 이 연산을 벡터 덧셈이라고 한다. ⋅ : K × V → V 는 함수이다. 이 연산을 스칼라 곱셈이라고 한 다.
벡터공간의 공리 ∀u,v,w∈V,a,b∈F ∀u,v,w∈V,a,b∈F 에 대하여 u+v∈V,av∈V u+v∈V,av∈V 이고 1) u+(v+w)=(u+v)+w u+(v+w)=(u+v)+w 2) u+v=v+u u+v=v+u 3) ∀v∈V ∀v∈V 에 대하여 v+0=v v+0=v 인 ∃0∈V ∃0∈V 0 0 :영벡터(zero vector) 4) ∀v∈V ∀v∈V 에 대하여 v+(−v)=0 v+(−v)=0 인 ∃−v∈V ∃−v∈V 덧셈에 대한 역벡 터
벡터공간의 공리 5) (ab)v=a(bv) (ab)v=a(bv) 6) ∀v∈V ∀v∈V 에 대하여 1v=v 1v=v 인 ∃1∈F ∃1∈F 7) a(u+v)=au+av a(u+v)=au+av 8) (a+b)v=av+bv (a+b)v=av+bv
벡터공간의 예1 평면위의 점 V:= {(a, b)| a, b는 실수} +:= (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d)로 정의해보겠습니다. *:= 스칼라곱 실수곱을 k(a,b) = (ka, kb)로 정의하겠습니 다.
벡터공간의 예2 2)행렬
출처 https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A1%ED%84%B0_% EA%B3%B5%EA%B0%84# : http://suhak.tistory.com/225 [수학 이야기 https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space http://www.mathphysics.com/pde/vechist.html