-8장- 상태공간 해석 및 설계

Contents 8.1 서론 8.2 Laplace 변환을 이용한 상태공간 모델의 해 8.3 계산 8.1 서론 8.2 Laplace 변환을 이용한 상태공간 모델의 해 8.3 계산 8.4 모드 해석에 의한 상태공간 모델의 해 8.5 가제어성 8.6 가관측성 8.7 안정도 8.8 상태 피드백과 출력 피드백 8.9 극점배치 기법을 이용한 제어시스템 설계 8.10 상태 피드백과 서보 설계 8.11 관측기 설계 8.12 MATLAB을 이용한 상태공간 해석 및 설계

8.1 서론 주파수역 접근법 시간역 접근법 시간 및 주파수역 접근법(강인 제어기법) 적용 시스템 : 단일입출력 선형 시불변 시스템 시스템 모델식 : 전달함수 특징 : 적용할 수 있는 제어대상 시스템이 제한되어 있음 시간역 접근법 - 적용 시스템 : 일반 시스템(다변수 비선형 시변 시스템 등) - 시스템 모델식 : 상태공간 모델식(상태방정식 및 출력방정식) - 특징 : 최적제어, 적응제어 등 고급 제어기법에 적용할 수 있음 모델의 불확실성에 의해 실제 시스템에 적용할 때 만족스럽지 못한 경우 발생할 수 있음 시간 및 주파수역 접근법(강인 제어기법) - 적용 시스템 : 일반 시스템(다변수 비선형 시변 시스템 등) 시스템 모델식 : 상태공간 모델식 및 전달함수행렬 특징 : 상태공간 및 주파수역 기법의 장점들을 결합시켜 모델 불확실성 문제를 제어시스템 설계 시에 고려할 수 있음

- 상태방정식 (8.1)에 Laplace 변환 수행 1차 스칼라 시스템의 상태공간 모델식 (8.1) (8.2) - 상태방정식 (8.1)에 Laplace 변환 수행 초기조건에 의한 상태변화 입력에 의한 상태변화 (8.3) - 상태변수 및 출력 의 해 (8.6) (8.7)

- 다변수 상태공간 모델에 대한 상태벡터 x(t) 및 출력벡터 y(t) (8.10) (8.11)   (8.15) 여기서 [ : Paynter 행렬] (8.16)  (8.17) 정상상태응답( ) : (8.18)

8.3 계산 를 유한급수의 합으로 표현할 수 있는 계산 방법 Cayley-Hamilton 이론 적용 8.3 계산 를 유한급수의 합으로 표현할 수 있는 계산 방법 Cayley-Hamilton 이론 Sylvester 전개이론 고윳값/고유벡터 적용 Cayley-Hamilton 이론 적용 (8.25) (8.28)

개별적인 고윳값을 갖는 경우 (8.29) 복소 공액 고윳값을 갖는 경우 (8.30) 중복된 고윳값을 갖는 경우 (8.31)

Sylvester 전개이론 적용(모든 고윳값이 개별적인 고윳값을 갖는 경우) (8.32) 여기서 고윳값/고유벡터 적용 (8.34) (8.35) 여기서 는 우측고유벡터, 는 좌측고유벡터 (8.36) (8.37) (8.38)

8.4 모드 해석에 의한 상태공간 모델의 해 비입력 선형 시불변 시스템 - 상태방정식 (8.39) - 시간해 8.4 모드 해석에 의한 상태공간 모델의 해 비입력 선형 시불변 시스템 - 상태방정식 (8.39) - 시간해 고윳값/고유벡터 적용 (8.38) (8.41) 또는 (8.42)

일반적인 선형 시불변 시스템(입력 포함) - 상태방정식과 시간해 (8.43) (8.44) - 출력방정식과 시간해 (8.48) (8.49)

- 복소수역에서의 상태벡터 및 출력벡터의 해 (8.50) (8.51) 모드 해석에 의한 상태공간 모델의 해는 시스템의 고윳값, 좌측 및 우측 고유벡터로 표현된다. 모드 개념은 시스템의 가제어성 및 가관측성을 판단하는데 매우 유용하다.

제어불가능(uncontrollable) 8.5 가제어성 제어시스템을 설계하기 전 우선 제어기 설계가 가능한 지를 판정하는데 사용되는 기본적인 개념 어떠한 초기상태 과 어떠한 최종상태 에 대하여 유한시간 T 사이에서 부분연속(piecewise-continuous)함수 알 수 있다 알 수 없다 제어가능(controllable) 제어불가능(uncontrollable) - 가제어성 개념의 적용 고유구조할당을 이용한 제어시스템 설계 최적제어기법을 이용한 제어시스템 설계 - 선형 시스템에 대한 시험방법 모드 접근법 : 시스템의 모드를 이용하여 해석 고전적 접근법 : 가제어성행렬을 이용하여 해석

모드 접근법을 이용한 가제어성 시험 - 선형 시불변 시스템에 대한 상태방정식 (8.52) - 선형 시불변 시스템에 대한 모드 해석에 의한 시간해 (8.53) 어떤 에 대하여  제어불가능 시스템 : 제어불가능 시스템 : 제어가능

가안정성(stabilizability) - 복소 모드를 갖는 시스템의 가제어성 공액복소 고윳값 이 존재하면 우측 및 좌측 고유벡터도 공액복소 고유벡터를 가짐 (8.54)  복소 모드 : 제어불가능  복소 모드 : 제어가능 또는 가안정성(stabilizability) - 실제 제어시스템 설계 시 가제어성 보다 더 유용한 개념 - 모드 가 제어불가능한 경우 제어불가능한 모드 : 안정  모드 i 안정가능(stabilizable) 시스템 [A, B] 안정가능 제어불가능한 모드 : 불안정  모드 i 안정불가능(unstabilizable) 시스템 [A, B] 안정불가능

고전적 가제어성 시험방법 - 가제어성행렬 MC (8.55) 여기서 A : 시스템행렬, B : 제어입력행렬 rank(Mc) = n  시스템 [A, B] 제어가능 rank(Mc) < n  시스템 [A, B] 제어불가능 제어가능 여부만 조사  시스템의 가안정성 조사 불가능

예제 8.4 시스템의 가제어성/가안정성 조사 여기서 - 가제어성행렬 - 시스템 : 제어가능, 안정가능

예제 8.5 시스템의 가제어성/가안정성 조사 여기서 - 가제어성행렬 : -  시스템 : 제어불가능 시스템의 안정가능 여부를 알 수 없음 - 모드 접근법에 의한 가안정성 조사 - 두 번째 행벡터 0  모드 는 모든 입력에 대하여 제어불가능 - 제어불가능한 모드 : 안정( )  시스템 : 안정가능

8.6 가관측성 입출력 기록을 기반으로 시스템의 상태를 재구성 할 수 있는 지를 판정 하는데 사용되는 기본적인 개념 - 가관측성 개념의 적용 최종시간까지의 입력 및 출력의 측정값으로부터 임의적이기는 하나 고정된 초기상태 관측기(observer) 설계 Kalman 필터 설계 시스템 식별(system identification) 동적 제어기 설계 계산할 수 있다 계산할 수 없다 관측가능 (observable) 관측불가능 (unobservable) - 선형 시불변 시스템(비입력 시스템)의 상태공간 모델식 (8.62) (8.63) - 상태벡터 및 출력벡터의 시간해 (8.64) (8.65)

모드 접근법을 이용한 시험방법 가검출성(detectability) - 출력방정식 (8.67) - 각 모드의 합으로 표현된 출력 (8.69) 번째 모드가 번째 출력에 기여하는 정도  번째 모드는 번째 출력에서 관측불가능  번째 모드는 모든 출력으로부터 관측불가능  시스템 [A, C] 관측불가능 가검출성(detectability) - 실제 제어시스템 설계 시 가관측성 보다 더 유용한 개념 - 모드 가 관측불가능한 경우 관측불가능한 모드 : 안정  모드 검출가능  시스템 [A, C] 검출가능 관측불가능한 모드 : 불안정  모드 검출불가능  시스템 [A, C] 검출불가능

고전적 가관측성 시험방법 - 가관측성행렬 Mo (8.70) 여기서 A : 시스템행렬, C : 출력행렬 rank(Mo) = n  시스템 [A, C] 관측가능 rank(Mo) < n  시스템 [A, C] 관측불가능 관측 가능 여부만 조사  시스템의 가검출성 조사 불가능

- 모드 접근법에 의한 가관측성/가검출성 조사 예제 8.7 시스템의 가관측성/가검출성 조사 여기서 - 가관측성행렬 Mo -  시스템 : 관측가능, 검출가능 - 모드 접근법에 의한 가관측성/가검출성 조사 , 모드 : 관측불가능 모드 , : 관측가능, 관측불가능 0인 열벡터 없음  시스템 : 관측가능, 검출가능

시스템의 전달특성 제어가능하고 관측가능한 부시스템 제어가능하고 관측불가능한 부시스템 제어불가능하고 관측가능한 부시스템 제어불가능하고 관측불가능한 부시스템 전달함수행렬 G(s) y(s) = G(s)u(s) 여기서 제어가능하고 관측가능한 부시스템 만 관련 있음 그림 8.2 가제어성/가관측성에 따른 시스템 분할

가제어성/가관측성에 따른 시스템 분할 및 시스템의 전달함수 구하기 예제 8.8 가제어성/가관측성에 따른 시스템 분할 및 시스템의 전달함수 구하기 분할된 부시스템으로부터 제어가능하고 관측가능한 부시스템 의 입출력 관계를 나타내는 전달함수 - 실제 시스템은 3차 시스템(고윳값 3개) - 전달함수 에는 의 모드만 나타남(극점 1개) 그림 8.3 3차 시스템에 대한 시스템 분할

8.7 안정도 점근적 안정도 BIBO 안정도 (8.71) (8.72) - 식 (8.71)을 대각선형 상태공간 모델식으로 변환 여기서 (8.75) (8.76)  이면, 로부터 - 시스템행렬 A의 고윳값의 실수부 시스템 : 점근적으로 안정 BIBO 안정도 - 시스템 출력이 모든 한정된 입력에 대하여 한정 일 때 (8.77) - 시스템 전달함수의 모든 극점의 실수부 BIBO 안정도 보장 ※ 극점-영점 상쇄가 없다면 전달함수의 극점과 시스템의 고윳값 동일

8.8 상태 피드백과 출력 피드백 개루프 시스템 - 상태공간 모델식 여기서 (가정) [A, B]는 제어가능, [A, C]는 관측가능 그림 8.4 개루프 시스템

전 상태 피드백 제어시스템 - 제어법칙 (가정) 모든 상태변수 측정가능 - 폐루프 시스템의 상태공간 모델식 그림 8.5 상태 피드백 제어시스템 - 시스템이 적어도 안정가능(stabilizable)하고 모든 상태변수를 측정할 수 있는 경우에만 사용가능 ※ rank[B] = m, [A, B]가 제어가능하면 n개의 폐루프 고윳값 를 지정가능 n개의 폐루프 고유벡터에서 각 고유벡터의 요소 중 min(m, n)개 임의로 지정가능

출력 피드백 제어시스템 - 제어법칙 - 폐루프 시스템의 상태공간 모델식 (가정) 그림 8.6 출력 피드백 제어시스템 - 제어법칙 - 폐루프 시스템의 상태공간 모델식 (가정) [A, B]는 제어가능, [A, C]는 관측가능 ※ rank[B] = m, rank[C] = p, [A, B] 제어가능, [A, C] 관측가능하면 max(m, p)개의 폐루프 고윳값을 지정가능 max(m, p)개의 폐루프 고유벡터에서 각 고유벡터 요소 중 min(m, p)개를 임의로 지정가능

8.9 극점배치 기법을 이용한 제어시스템 설계 - 개루프 시스템의 상태공간 모델식 (8.87) - 제어법칙 (8.88) - 폐루프 시스템의 상태방정식 (8.89) - 폐루프 시스템 [A-bg]의 극값, 고윳값 계산 또는 (8.91)

바람직한 폐루프 극점 배치 - 바람직한 폐루프 극점 배치 방법 요구되는 성능(정착시간, 최대오버슈트 등)을 만족 시킬 수 있도록 대표극점 배치 나머지 극점들은 대표극점으로부터 충분히 떨어진 위치에 배치 (대표극점의 고유주파수의 3배~5배) 그림 8.7 바람직한 극점 배치

제어게인 선정 방법(바람직한 위치에 극점 배치) (1) 특성방정식의 계수 비교 - 요구되는 극점 위치로부터 구한 바람직한 특성방정식 또는 (8.93) - 제어게인을 포함한 실제 특성방정식 (8.94) - 식 (8.93)과 식 (8.94)의 계수를 비교  n개의 제어게인 선정

(2) 폐루프 시스템행렬 와 비교 - 폐루프 시스템행렬 (8.96) - 바람직한 특성방정식 (8.93)으로부터 유도된 (2) 폐루프 시스템행렬 와 비교 - 폐루프 시스템행렬 (8.96) - 바람직한 특성방정식 (8.93)으로부터 유도된 (8.97) - 행렬 와 의 마지막 행의 각 요소 일치시킴  제어게인 선정 (8.98)

우선 일정한 입력에 대하여 0-정상상태오차를 얻기 위하여 오차신호 e를 새로운 상태변수로 첨가한 상태 피드백 제어시스템 구성 예제 8.10 2차 시스템에 대한 상태 피드백 제어시스템 설계 (설계사양) 일정한 입력에 대한 0-정상상태오차 감쇠비 ζ ≥ 0.707 고유주파수 ωn ≥ 1rad/sec 그림 8.8 불안정한 2차 시스템 우선 일정한 입력에 대하여 0-정상상태오차를 얻기 위하여 오차신호 e를 새로운 상태변수로 첨가한 상태 피드백 제어시스템 구성 그림 8.9 적분기를 포함한 상태 피드백 제어시스템

- 개루프 시스템의 상태방정식 - 상태 피드백 제어법칙 - 폐루프 시스템의 상태방정식

- 폐루프 특성방정식 또는 - 설계사양(ζ ≥ 0.707, ωn ≥ 1rad/sec)을 만족시킬 수 있는 폐루프 극점배치를 위해 바람직한 폐루프 특성방정식 선정 - 특성방정식 와 의 계수들을 비교  제어게인 선정

8.10 상태 피드백과 서보 설계 - 상태 피드백의 적용 극점 배치 고유구조 지정(eigenstructure assignment) LQ 최적제어(linear quadratic optimal control) 기법 - 개루프 시스템의 상태공간 모델식 및 제어법칙 (가정) 모든 상태변수 측정가능 - 폐루프 시스템의 상태공간 모델식 그림 8.10 상태 피드백 제어시스템 - 그림 8.10에서 레귤레이터

- e(s)의 개수 p와 v(s)의 개수 m이 일반적으로 일치하지 않음 서보 기능 수행 못함 서보 시스템의 명령추종 성능 평가 그림 8.11 상태 피드백을 이용한 서보 시스템 - 오차신호 e(s)가 피드백 안 됨 - e(s)의 개수 p와 v(s)의 개수 m이 일반적으로 일치하지 않음 서보 기능 수행 못함 (제안) 상태 피드백과 포워드 제어를 포함하는 제어방법 그림 8.12 포워드 제어를 포함한 상태 피드백 제어시스템

설계 파라미터 G와 F 선정 방법 설계 파라미터 F 선정 - 상태 피드백 제어로부터 피드백 제어게인행렬 G 선정 (가정) 제어입력 u(s)의 개수와 출력 y(s)의 개수 같음 (8.104) 여기서 (8.105) - s = 0에서 식 (8.104)가 만족되도록 설계 파라미터 F 선정 (8.106) 되도록 F 선정 또는 (8.108)

피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보시스템 그림 8.13 피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보 시스템 - 오차신호 (8.109) - 상태벡터 재정리 출력벡터 상태변수 중에서 출력 y(t)를 제외한 상태변수로 이루어진 상태벡터

- 상태공간 모델식 (8.110) 여기서 - 제어법칙 (8.111) 여기서

※ 전달함수 G(s) = 1/s2인 플랜트에 대한 제어시스템 설계 ① 상태 피드백 제어만을 이용한 서보 시스템 ② 피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보 시스템 (설계사양) 바람직한 폐루프 극점 : - 상태공간 모델식 (8.112) - 극점배치 기법을 이용한 바람직한 폐루프 시스템의 극점 지정 - 제어법칙 (8.113)

정상상태에서 출력이 0.2 = 단위스텝기준입력의 1/5배 그림 8.14 상태 피드백 제어를 이용한 서보 시스템 그림 8.15 그림 8.14에 표시된 서보 시스템의 단위스텝응답 (분석) 과도응답 성능 만족 정상상태응답 성능 불만족 정상상태에서 출력이 0.2 = 단위스텝기준입력의 1/5배

정상상태응답 성능 개선 방법 - 피드백 및 피드포워드 제어 적용 (그림 8.13)  과도응답 및 정상상태응답 성능 모두 만족 - 피드백 및 피드포워드 제어 적용 (그림 8.13)  과도응답 및 정상상태응답 성능 모두 만족 - 제어법칙 : (8.116) 그림 8.16 피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보 시스템 그림 8.17 그림 8.16에 표시된 서보 시스템의 단위스텝응답 (결론) - 저주파에서 에너지를 갖는 기준입력에 대한 정상상태응답 성능 향상 - 극점배치 기법에 의한 공칭안정도 및 과도응답 성능 충족

8.11 관측기 설계 - 관측기 상태방정식 (8.118) 여기서 H : 관측기게인행렬 - 관측기 목적 상태 x를 추정 그림 8.18 관측기의 구조 - 관측기 상태방정식 (8.118) 여기서 H : 관측기게인행렬 - 관측기 목적 상태 x를 추정 상태추정오차 빠르게 0으로 수렴 - 상태 추정오차에 대한 동특성 (8.119) ※ 상태추정오차의 동특성 (A-HC)가 상태 피드백 제어의 동특성 (A-BG)보다 3~5배 더 빠르게 되도록 관측기게인행렬 H 선정

예제 8.11 레귤레이터에 대한 상태 피드백 제어기 및 관측기 설계 여기서 (설계사양) 폐루프 극점이 -2에 놓이도록 함 시스템의 고유주파수 ωn : 2배, 감쇠비 ζ: 0 1로 증가시키는 효과 - 설계사양을 만족하는 폐루프 특성방정식 : (8.120) - 제어게인을 포함한 폐루프 특성방정식 또는 (8.121) - 식 (8.120)과 식 (8.121)을 이용하여 상태 피드백 제어게인 G 선정  G = [3 4]

관측기게인 선정 상태추정오차의 동특성 (A-HC)가 상태 피드백 제어의 동특성 (A-BG)보다 5배 빠르게 관측기의 두 극점 모두 -10에 배치 관측기의 바람직한 특성방정식 (8.122) - 관측기게인을 포함한 특성방정식 또는 (8.123) - 식 (8.122)와 식 (8.123)을 이용하여 관측기게인 H 선정  H = [20 99]T

관측기를 이용한 상태 피드백 제어시스템의 상태공간 모델식 그림 8.19 관측기를 이용한 상태 피드백 제어시스템의 구조

- 초기조건 일 때 출력 와 추정된 출력 에 대한 응답 - 초기조건 일 때 출력 와 추정된 출력 에 대한 응답 관측기의 초기조건 : 그림 8.20 레귤레이터의 초기조건에 대한 출력 와 추정된 출력 의 응답 (분석) 관측기에서 상태추정은 초기 과도상태를 지난 후 실제 상태를 잘 추적함 - 출력 와 추정된 출력 사이의 오차 동특성은 제어시스템의 동특성 보다 5배 빠름

8.12 MATLAB을 이용한 상태공간 해석 및 설계 예제 8.12 시스템의 가제어성 및 가관측성 조사 가제어성 조사 프로그램 가관측성 조사 프로그램 MATLAB 프로그램 8.1 MATLAB 프로그램 8.2

예제 8.14 시스템에 대한 관측기 설계 여기서 (설계사양) 관측기의 바람직한 극점 : - ‘place’ 명령을 사용하여 관측기게인행렬 H 선정 관측기 설계 가능여부 조사하기 위하여 가관측성행렬 Mo 구함 가관측성행렬 Mo의 랭크 조사  시스템의 가관측성 판정 관측가능하면 ‘place’ 명령을 사용하여 관측기게인행렬 H 선정

바람직한 관측기의 극점 op=[p1, p2, p3] - 관측기 구조 : 그림 8.18 - 관측기의 상태방정식 : MATLAB 프로그램 8.4 바람직한 관측기의 극점 op=[p1, p2, p3] - 관측기 구조 : 그림 8.18 - 관측기의 상태방정식 : - 바람직한 관측기게인행렬