이번 학기 공부할 내용 확률 확률변수 결합확률분포 이산확률분포 연속확률분포 기술통계학 표본분포 추정 가설검정 이재원 금오공과대학교 확률 확률변수 결합확률분포 이산확률분포 연속확률분포 기술통계학 표본분포 추정 가설검정 제1장 확률

확 률 1 1 사건 2 확률 3 조건부 확률

1 사건 표본공간, 사건, 사건의 연산 등에 관한 개념을 알아본다.

▶ ▶ ▶ ▶ 통계적 실험(statistical experiment) : 어떤 통계적 목적 아래서 관찰이나 측정을 얻어내는 일련의 과정 ▶ 관찰값(observation) : 통계실험으로부터 측정 또는 관찰된 값 표본공간(sample space) : 측정 가능한 모든 결과들의 집합 ▶ ▶ 원소(element) 또는 표본점(sample point) : 표본공간을 이루는 개개의 실험 결과

동전을 반복해서 두 번 던지는 실험을 할 때, 표본공간 S = {(그림, 그림), (그림, 숫자), (숫자, 그림), (숫자, 숫자)} 주사위를 반복해서 두 번 던지는 게임에서 나온 눈의 수에 대한 표본공간 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) S =

카드 한 장을 뽑는 게임을 할 때, 표본공간 ♦A ♦2 ♦3 ♦4 ♦5 ♦6 ♦7 ♦8 ♦9 ♦10 ♦J ♦Q ♦K ♥A ♥2 ♥3 ♥4 ♥5 ♥6 ♥7 ♥8 ♥9 ♥10 ♥J ♥Q ♥K ♣A ♣2 ♣3 ♣4 ♣5 ♣6 ♣7 ♣8 ♣9 ♣10 ♣J ♣Q ♣K ♠A ♠2 ♠3 ♠4 ♠5 ♠6 ♠7 ♠8 ♠9 ♠10 ♠J ♠Q ♠K S =

1에서 6까지의 숫자가 적힌 공이 들어 있는 주머니에서 반복하여 공 두 개를 꺼낸다고 할 때, 처음에 꺼낸 공을 주머니에 다시 넣지 않고 두 번째 공을 꺼내는 실험을 할 때, 표본공간 (2) 처음에 꺼낸 공을 주머니에 다시 넣고 두 번째 공을 실험을 할 때, 표본공간 (1) 비복원추출 (2) 복원추출

공은 1번을 제외한 다른 숫자의 공이 나올 수밖에 없음. (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) S = 처음에 숫자 1인 공이 나왔다면 두 번째 공은 1번을 제외한 다른 숫자의 공이 나올 수밖에 없음. 같은 방법으로 처음에 나온 공의 번호가 2, 3, 4, 5, 6인 경우에도 두 번째 공은 동일한 숫자가 나올 수 없음. (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) S = (2) 처음에 숫자 1인 공이 나왔다면 두 번째 공은 1번이 다시 나올 수 있음. 같은 방법으로 처음에 나온 공의 번호가 2, 3, 4, 5, 6인 경우에도 두 번째 공은 동일한 숫자가 나올 수 있음.

▶ ▶ ▶ ▶ 사건(event) : 표본공간의 부분집합으로 어떤 조건을 만족하는 특정한 표본점들의 집합 ▶ 단순사건(simple event), 근원사건(elementary event) : 단 하나의 표본점으로 구성된 사건 ▶ 복합사건(compound event) : 두 개 이상의 표본점으로 구성된 사건 ▶ 공사건(empty event, Φ) : 표본점이 하나도 들어있지 않은 사건

▶ ▶ ▶ ▶ 사건의 연산 합사건(union of events) : 사건 A 또는 사건 B의 표본점으로 구성된 사건. A ∪ B = {w|w ∈A or w ∈B } ▶ 곱사건(intersection of events) : 사건 A와 B가 공통으로 갖는 표본점으로 구성된 사건. A ∩ B = {w|w ∈A and w ∈B} 차사건(difference of events) : 사건 A에는 포함되어 있으나 사건 B에는 포함되지 않는 표본점으로 구성된 사건. A - B = {w|w ∈A and w B } ▶ ▶ 여사건(complementary event) : 사건 A에 포함되지 않는 모든 표본점들로 구성된 사건. Ac = {w|w ∈S and w A }

사건 A 사건 B Ac A-B A∪B A∩B

▶ ▶ ▶ 배반 사건(mutually exclusive events) : A∩B = Φ인 두 사건 쌍마다 배반 사건(pairwisely mutually exclusive events): Ai∩ Aj = Φ, i≠j, i, j=1,2,…,n 인 사건들 {Ai : i=1,2,…,n} ▶ 분할(partition) : (1) Ai ∩ Aj = Φ, i≠j, i, j=1,2,…,n (2) S = ∪Ai인 사건들 {Ai : i=1,2,…,n} i=1 n 사건 A 사건 B 사건 A 사건 B 사건 C 사건 D

주사위를 두 번 반복하여 던지는 게임에서 A : 두 눈이 동일한 사건 B : 적어도 한 번 “4”의 눈이 나오는 사건 A∪B, A∩B B = A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4) (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6) A∪B = (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4) (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6), (1,1) (2,2), (3,3), (5,5), (6,6) A∩B = {(4,4)}

주사위를 두 번 반복하여 던지는 게임에서 Ai : 첫 번째 눈이 “i”인 사건 {Ai : i=1,2,…,6} : 표본공간 S의 분할 A1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} A2 = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} A3 = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)} A4 = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)} A5 = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} A6 = {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Ai∩Aj = Φ, i≠j, i, j = 1,2,3,4,5,6 S = ∪Ai i=1 6 {Ai : i=1, 2,3,4,5,6} : 표본공간 S의 분할

2 확률 확률에 관한 개념, 확률의 성질, 확률의 계산 방법 등에 대하여 알아본다.

동일한 조건 아래서 동전 던지기를 무수히 많이 반복할 경우 앞면과 뒷면이 나올 가능성이 동등하게 1/2

동전을 한 번 던지는 경우 앞면 : H 표본공간 : S={H, T} 뒷면 : T 관심 사건 : A={H} 사건 A안의 표본점의 개수 표본공간 S안의 표본점의 개수 1 2 = 앞면이 나올 가능성 : 주사위를 한 번 던지는 경우 나온 눈의 수 : 표본공간 : S={1,2,3,4,5,6} 1,2,3,4,5,6 관심 사건 : B={1} 사건 A안의 표본점의 개수 표본공간 S안의 표본점의 개수 1 6 = “1”의 눈이 나올 가능성 :

▶ 확률(probability) : 동일한 조건 아래서 동일한 실험을 무수히 많이 반복하여 실시할 때, 어떤 특정한 사건이 발생하는 비율 N : S 안의 표본점의 개수 n : A 안의 표본점의 개수 사건 A의 확률 : 사건 A안의 표본점의 개수 표본공간 S안의 표본점의 개수 n N = P(A) =

동전을 두 번 반복하여 던질 때 (1) 두 번 모두 앞면이 나올 확률 (2) 꼭 한 번 앞면이 나올 확률 (3) 두 번 모두 뒷면이 나올 확률 S = {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} n(A) n(S) n(B) n(C) P(A) = P(B) = P(C) = 1 4 = 2 A = {(H,H)} B = {(H,T), (T,H)} C = {(T,T)}

주사위를 두 번 반복하여 던질 때 나중에 나온 눈의 수가 처음 나온 눈의 수보다 크거나 같을 확률 표본공간 S안의 원소의 수 : 36 나중에 나온 눈의 수가 처음 나온 눈의 수보다 크거나 같은 사건 : A (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3) (3,4), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6) (5,5), (5,6), (6,6) A = n(A) n(S) P(A) = 21 36 = 7 12

카드 한 장을 뽑는 게임 (1) 숫자 “5”인 카드가 나올 사건 A의 확률 (2) 다이아몬드 카드가 나올 사건 B의 확률 (3) 그림카드가 나올 사건 C의 확률 표본공간 S안의 원소의 수 : 52 숫자 “5”인 카드는 4장, 다이아몬드 카드가 13장 그리고 그림카드가 12장 n(A) n(S) P(A) = 4 52 = 1 13 n(B) n(S) P(B) = 13 52 = 1 4 n(C) n(S) P(C) = 12 52 = 3 13

정리 1 B-A B A 임의의 사건 A와 B에 대하여 (1) P(Φ)=0 (2) A, B : 서로 배반 ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) (3) P( Ac ) = 1- P(A) (4) A ⊂ B ⇒ P(B-A) = P(B) - P(A), P(A) ≤ P(B) (5) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) (6) P(A∪B) ≤ P(A) + P(B) 증명 A⊂B 이므로 B=A∪(B-A), A∩(B-A) = Φ n(B) = n(A) + n(B-A) B B-A A P(B - A) = = n(B - A) n(S) n(B) – n(A) n(B) n(A) = P(B) - P(A)

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(B∩C) - P(A∩C) + P(A∩B∩C) n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) P(A∪B) = P(A∪B) n(S) n(A) + n(B) - n(A∩B) = n(A) n(B) n(A∩B) + - = P(A) + P(B) - P(A∩B) 증명 끝 A B A∩B Note P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(B∩C) - P(A∩C) + P(A∩B∩C)

주사위를 두 번 반복하여 던질 때 두 눈의 합이 7인 사건 : A 적어도 한 번 6의 눈이 나오는 사건 : B P(A∪B) 표본공간 S안의 원소의 수 : 36 A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} A∩B = {(1,6), (6,1)} (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) B = P(A) = 6 36 P(B) = 11 P(A∩B) = 2 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 6 36 11 2 5 12 = + -

▶ Note 임의의 사건 A에 대하여 (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 (2) P(S) = 1 (3) 쌍마다 배반인 사건들 A1, A2, A3, …에 대하여 P(A1∪A2∪ …) = S P(An) 을 만족할 때, P(A)를 사건 A의 확률이라 한다. n=1 ∞ 유한개의 쌍마다 배반인 사건들 A1, A2, A3, …, An 에 대하여 다음이 성립한다. P(A1∪A2∪ … ∪An) = S P(Ak) Note k=1 n

P(A)=0.65, P(B)=0.45, P(C)=0.5, P(A∩B)=0.35, P(B∩C)=0.25, P(C∩A)=0.3, P(A∩B∩C)=0.15 (1) P(A∪B) (2) P(A∪B∪C) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.65 + 0.45 – 0.35 = 0.75 P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(B∩C) - P(A∩C) + P(A∩B∩C) = 0.65 + 0.45 + 0.5 – 0.35 - 0.25 – 0.3 + 0.15 = 0.85

수학에서 A학점을 받을 가능성: 40% 전자공학개론에서 A학점을 받을 가능성 : 75% 수학이나 전자공학개론에서 A를 받을 가능성 : 82% (1) 두 과목에서 모두 A를 받을 확률 (2) 수학에서는 A를 받지 못하지만 전자공학개론에서 A를 받을 확률 M 0.4 E 0.75 M∩E 0.33 Mc∩E 수학에서 A학점을 받는 사건 : M 전자공학개론에서 A학점을 받는 사건 : E P(M) = 0.4, P(E) = 0.75, P(M∪E) = 0.82 (1) P(M∩E)= P(M)+P(E)- P(M∪E) = 0.4 + 0.75 - 0.82 = 0.33 (2) 전자공학개론에서만 A학점을 받는 사건 : Mc∩E Mc∩E = E – (M∩E) P( Mc∩E) = P(E) – P(M∩E) = 0.75 - 0.33 = 0.42

3 조건부 확률 조건부 확률에 관한 개념과 성질, 곱의 법칙, 사건의 독립과 종속성 그리고 Bayes 정리 등에 대하여 알아본다.

▶ 조건부 확률(conditional probability) : P(A) > 0인 사건 A가 졌을 때, 사건 B의 조건부 확률이라 하며, P(B|A)로 나타낸다. 예 공정한 주사위를 반복하여 두 번 던질 때, 처음 나온 눈이 “5”인 조건 아래서, 두 번째 나온 주사위의 눈이 짝수일 확률 주어진 조건 : A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} 이 주어진 조건 아래서 두 번째 눈이 짝수인 사건 B의 확률 B = {(5,2), (5,4), (5,6)} n(A) = 6, n(B) = 3 P(B|A) = = 3 6 1 2 구하고자 하는 확률 :

A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} (1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6) (3,2), (3,4), (3,6), (4,2), (4,4), (4,6) (5,2), (5,4), (5,6), (6,2), (6,4), (6,6) B = P(A) = 6 36 P(A∩B) = 3 3/36 6/36 P(A∩B) P(A) 1 2 P(B|A) = = =

☞ A B A∩B 조건부 확률의 의미 : 표본공간을 사건 B로 제한할 때, 사건 B에 대한 사건 A의 상대비율 P(A∩B) P(B) A B A∩B

정리 2 임의의 사건 A와 B와 P(C) > 0인 사건 C에 대하여 (1) P(Φ|C)=0 (2) A, B : 서로 배반 ⇒ P(A∪B|C)= P(A|C) + P(B|C) (3) P( Ac|C) = 1 - P(A|C) (4) A⊂B ⇒ P(B - A|C) = P(B|C) - P(A|C), P(A|C) ≤ P(B|C) (5) P(A∪B|C) = P(A|C) + P(B|C) - P(A ∩ B|C) (6) P(A∪B|C) ≤ P(A|C) + P(B|C) A∩ B = Φ A∩B, A∩B : 서로 배반 증명 (2) A, B : 서로 배반 P(A∪B|C) = P[(A∪B)∩C] P(C) P[(A∩C)∪(B∩C)] P(A∩C) P(B∩C) = + = P(A|C) + P(B|C)

(4) A ⊂ B 이므로 B = A∪(B - A), A ∩(B - A) = Φ P(B ∩C) = P(A∩C) + P[(B – A)∩C] P(B∩C) P(C) P(C) = P(A∩C) + P[(B – A)∩C] C P(B|C) = P(A∩C) P(C) P(C) P[(B – A)∩C] = + = P(A|C) + P(B - A|C) P(A∪B|C) = P[(A∪B)∩C] P(C) P[(A∩C)∪(B∩C)] P(A∩C) P(B∩C) = + = P(A|C) + P(B|C) – P(A∩B|C) P[(A∩B)∩C] - (6)

주사위 두 번 던지는 통계실험 첫 번째 나온 눈이 홀수인 조건 아래서 두 번째 나온 눈이 “5”일 확률 첫 번째 나온 눈이 홀수인 사건 : A 두 번째 나온 눈이 “5” 인 사건 : B (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) A = B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} A∩B = {(1,5), (3,5), (5,5)} P(B|A) = P(A∩B) P(A) 3/36 18/36 = 1 6

어느 대학의 신입생들 중에서 임의로 한 명을 선출 (1) 선출된 학생이 여자일 때, 이 학생이 농어촌 출신일 확률 (2) 선출된 학생이 남자일 때, 이 학생이 대도시 출신일 확률 (3) 선출된 학생이 중소도시 출신일 때, 이 학생이 여학생일 확률 출신지 성별 대도시 중소도시 농어촌 기타 계 남학생 1,145 662 313 12 2,132 여학생 442 276 146 4 868 1,587 938 459 16 3,000 P(A) = 868 3000 (1) 선출된 학생이 여학생일 사건 : A 농어촌 출신일 사건 : B 146 3000 P(A∩B) = P(B|A) = P(A∩B) P(A) 146/3000 = = 0.168 868/3000

P(A) = 2132 3000 (2) 선출된 학생이 남학생일 사건 : A 대도시 출신일 사건 : B 1145 3000 P(A∩B) = P(B|A) = P(A∩B) P(A) 1145/3000 = = 0.537 2132/3000 P(A) = 938 3000 (3) 선출된 학생이 중소도시 출신일 사건 : A 여학생일 사건 : B 276 3000 P(A∩B) = P(B|A) = P(A∩B) P(A) 276/3000 = = 0.294 938/3000

수형도 조건부 확률 P(B|A)의 정의 P(A∩B) P(B|A) = P(A∩B)=P(A)P(B|A) P(A) P(A∩B∩C) P(C|A∩B) = P(A∩B∩C) P(A∩B) P(A∩B∩C)=P(A)P(B|A)P(C|A∩B) 수형도

▶ 곱의 법칙(multiplication law) : ∩ P(Ai) > 0에 대하여 P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2 ) … P(An|A1∩A2∩…∩An-1) i=1 n-1

비복원 추출에 의하여 카드 두 장을 차례로 뽑는 게임 두 장의 카드가 모두 다이아몬드일 확률 13 처음에 꺼낸 카드가 다이아몬드일 사건 : A 두 번째에 꺼낸 카드가 다이아몬드일 사건 : B P(A) = 52 처음 뽑은 카드가 다이아몬드라는 조건 아래서, 처음 뽑은 카드를 섞지 않으므로 남아 있는 카드 중에는 다이아몬드가 12장 12 P(B|A) = 51 두 장의 카드가 모두 다이아몬드일 확률 : 13 52 12 51 • 1 17 = P(A∩B) = P(A)P(B|A) =

빨간 공 3개와 흰 공 5개 그리고 검은 공 2개가 들어있는 주머니에서 비복원 추출에 의하여 무작위로 공 3개를 차례로 꺼낼 때, 흰 공과 검은 공 그리고 빨간 공의 순서로 나올 확률 주머니에서 임의로 처음 꺼낸 공이 흰색일 사건 : A 두 번째 꺼낸 공이 검은색일 사건 : B 세 번째 꺼낸 공이 빨간색일 사건 : C ▶ 구하고자 하는 확률 : P(A∩B∩C) 처음에 흰 공이 나올 확률 : P(A) = 5/10 처음에 흰 공이 나왔다는 조건 아래서, 두 번째 검은 공이 나올 확률 : P(B|A) = 2/9 처음 두 번의 결과 아래서, 세 번째 빨간 공이 나올 확률 : P(C|A∩B) = 3/8 P(A∩B∩C) = P(A) P(B|A) P(C|A∩B ) 5 10 2 9 3 8 1 24 = •

Note P(A)=P(A|C), P(B)≠P(B|A) 공정한 주사위를 두 번 던지는 게임에서 A∩B = {(3,5)} A∩C = {(3,4)} P(B|A) = P(A∩B) P(A) 1/36 6/36 1 6 = (1) P(B) = 5/36, P(A∩B) = 1/36 (2) P(A) = 6/36, P(A∩C) = 1/36 P(A|C) = P(A∩C) P(C) 1/36 6/36 1 6 = P(A)=P(A|C), P(B)≠P(B|A) Note

▶ ▶ 독립(independent) : 다음 조건을 만족하는 두 사건 A와 B를 독립이라 한다. P(A) = P(A|B) ▶ 종속(dependent) : 다음 조건을 만족하는 두 사건 A와 B를 종속이라 한다. P(A) ≠ P(A|B) 앞의 에서 처음에 “3”의 눈이 나오는 사건과 두 눈의 합이 “7”인 사건은 독립이지만, 처음에 “3”의 눈이 나오는 사건과 두 눈의 합이 “8”인 사건은 종속이다.

▶ ▶ Note 독립 : 다음 조건을 만족하는 세 사건 A, B와 C를 독립이라 한다. A, B : 독립 P(A∩B) = P(A) P(B) Note ▶ 독립 : 다음 조건을 만족하는 세 사건 A, B와 C를 독립이라 한다. P(A∩B∩C) = P(A) P(B) P(C) ▶ 쌍마다 독립(pairwisely independent) : 다음 조건을 만족하는 사건들 A1, A2, …, An을 쌍마다 독립이라 한다. P(Ai ∩Aj) = P(Ai) P(Aj) , i, j=1,2, …,n

작업한 파일을 습관적으로 외장형 하드와 디스켓에 백업 • 외장형 하드에 백업할 때 훼손될 확률 : 1.2% • 디스켓에 백업할 때 훼손될 확률 : 2.5% • 백업 방법은 독립 적어도 하나의 훼손되지 않은 파일을 가질 확률 하드에 백업하여 훼손되지 않는 사건 : A P(A) = 1-0.012 = 0.988 디스켓에 백업하여 훼손되지 않는 사건 : B P(B) = 1-0.025 = 0.975 A와 B가 독립이므로 P(A∩B)=P(A)P(B) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) -P(A)P(B) = 0.988 + 0.975 –(0.988)•(0.975) = 0.9997

빨간 공 3개와 흰 공 5개 그리고 검은 공 2개가 들어있는 주머니에서 복원 추출에 의하여 무작위로 공 3개를 차례로 꺼낼 때, (1) 흰 공과 검은 공 그리고 빨간 공의 순서로 나올 확률 (2) 흰 공 그리고 검은 공과 빨간 공이 나오는 사건에 대한 독립성 (3) 이 세 사건에 대한 쌍마다 독립성 (1) 주머니에서 복원 추출에 의하여 무작위로 꺼낸 공이 흰 공일 사건 : A 꺼낸 공이 검은 공일 사건 : B 꺼낸 공이 빨간 공일 사건 : C 구하고자 하는 확률 : P(A∩B∩C) = P(A) P(B|A) P(C|A∩C) 처음에 흰 공이 나올 확률 : P(A) = 1/2 흰 공을 주머니에 다시 넣고, 두 번째 꺼낸 공이 검은 공일 확률 : P(B|A) = P(B) = 1/5 검은 공을 주머니에 다시 넣고, 세 번째 꺼낸 공이 빨간 공일 확률 : P(C|A∩B) = P(C) =3/10

P(A∩B∩C) = P(A) P(B) P(C) = 3/100 P(A∩B∩C) = P(A)P(B|A)P(C|A∩B ) 1 2 5 3 10 100 = • (2) 흰 공과 검은 공 그리고 빨간 공이 나올 확률 : P(A) = 1/2, P(B) = 1/5, P(C) = 3/10 P(A∩B∩C) = P(A) P(B) P(C) = 3/100 세 사건 A, B 그리고 C는 독립 P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(A) P(B) = 1 2 5 10 • = (3) P(A∩C) = P(A)P(C|A) = P(A) P(C) = 1 2 3 20 • = 10 P(B∩C) = P(B)P(C|B) = P(B) P(C) = 1 5 3 50 • = 10 세 사건 A, B 그리고 C는 쌍마다 독립

: 전확률 공식(formula of total probability) A=(A∩B)∪(A∩ Bc) (A∩B), (A∩Bc) : 서로 배반 P(A) = P(A∩B) + P(A∩Bc) = P(B)P(A|B) + P(Bc)P(A|Bc) A1, A2, …, An : 표본공간 S의 분할 P(Ai ) >0, i=1,2,…,n B : 임의의 사건 B∩Ai : B의 분할 (i=1,2,…,n ) : 전확률 공식(formula of total probability) P(B) = S P(B∩Ai) = S P(Ai) P(B|Ai) i=1 n

네 개의 반도체 생산라인 라인 I : 20%, 라인 II : 26%, 라인 III : 25%, 라인 IV : 29% P(불량품|라인 I)=0.05, P(불량품|라인 II)=0.03, P(불량품|라인 III)=0.04, P(불량품|라인 IV)=0.02 생산된 반도체가 섞여 있을 때, 임의로 선정한 반도체가 불량품일 확률 P(라인 I) P(불량품|라인 I)=(0.2)•(0.05)=0.01, P(라인 II) P(불량품|라인 II)=(0.26)•(0.03)=0.0078, P(라인 III) P(불량품|라인 III)=(0.25)•(0.04)=0.01, P(라인 IV) P(불량품|라인 IV)=(0.29)•(0.02)=0.0058 불량품이 나올 확률 : 0.01 + 0.0078 + 0.01 + 0.0058 = 0.0336

(2) 동전을 세 번 던져서 H가 3번이면 상자 A를 선택하고, H가 2번이면 상자 B, 네 개의 상자에서 흰 공 꺼내기 (1) 각각 상자를 선택할 기회가 동등한 경우 (2) 동전을 세 번 던져서 H가 3번이면 상자 A를 선택하고, H가 2번이면 상자 B,      H가 1번이면 상자 C 그리고 H가 나오지 않으면 상자 D를 선택하는 경우 네 개의 상자를 선택할 기회가 동등하므로 각각의 상자를 선택할 확률은 동일하게 ¼ E : 흰 공을 꺼내는 사건 A, B, C, D : 각 상자를 선택하는 사건 P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) + P(C)P(E|C) + P(D)P(E|D) 1 4 2 31 60 • + = 5 3

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) + P(C)P(E|C) + P(D)P(E|D) (2) 동전을 세 번 던져서 H가 3번인 사건 : A P(A) = 1/8 H가 2번인 사건 : B   P(B) = 3/8 H가 1번인 사건 : C P(C) = 3/8 H가 나오지 않는 사건 : D P(D) = 1/8 흰 공을 꺼낼 확률 : P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) + P(C)P(E|C) + P(D)P(E|D) 1 8 2 4 21 40 • + = 3 5

베이즈 정리(Bayes' theorem) S P(Aj) P(B|Aj) A1, A2, …, An : 표본공간 S의 분할 P(Ai ) >0, i=1,2,…,n P(B) >0 인 사건 B에 대하여 P(Ai|B) = j=1 n S P(Aj) P(B|Aj) P(Ai) P(B|Ai) P(Ai) : 사전확률(prior probability), P(Ai|B) : 사후확률(posterior probability)

네 개의 반도체 생산라인 라인 I : 20%, 라인 II : 26%, 라인 III : 25%, 라인 IV : 29% P(불량품|라인 I)=0.05, P(불량품|라인 II)=0.03, P(불량품|라인 III)=0.04, P(불량품|라인 IV)=0.02 임의로 선정한 반도체가 불량품일 때, 이 불량품이 각 생산라인에서 생산되었을 확률 P(라인 I|불량품) = P(라인 I, 불량품) P(불량품) 0.01 0.0336 = 0.2976 = P(라인 II|불량품) = P(라인 II, 불량품) P(불량품) 0.0078 0.0336 = 0.2322 = P(라인 III|불량품) = P(라인 III, 불량품) P(불량품) 0.01 0.0336 = 0.2976 = P(라인 IV|불량품) = P(라인 IV, 불량품) P(불량품) 0.0058 0.0336 = 0.1726 =

제 1 장