Ⅶ. 원 의 성 질 1. 원 과 직 선 2. 원 주 각 3. 원 과 비 례

1. 원 과 직 선 1) 원 2) 원의 접선 3) 두 원

용어의 정의 원의 중심 부채꼴 반지름 현 호 활꼴

중심각에 대한 호와 현 Ⅰ ● O A B C D

중심각에 대한 호와 현 Ⅱ 한 원 또는 합동인 두 원에서 크기가 같은 두 중심각에 대한 호의 길이와 현의 길이는 각각 같다. 그 역도 성립한다. 2) 중심각의 크기와 호의 길이는 서로 비례한다. 3) 현의 길이는 중심각의 크기에 비례하지 않는다.

풀이) 현의 길이는 중심각의 크기와 비례하지 않는다. ※ 활 용 예 제 문제) 다음 설명 중에서 바르지 않은 것을 고르시오. (1) 크기가 같은 중심각에 대한 호의 길이는 같다. (2) 크기가 같은 중심각에 대한 현의 길이는 같다. (3) 호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다. (4) 현의 길이는 중심각의 크기에 비례한다. (5) 한 원에서 현의 길이가 같으면 중심각의 크기도 같다. 풀이) 현의 길이는 중심각의 크기와 비례하지 않는다.  (4)

원의 중심과 현 Ⅰ 1) 현의 성질 ※ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직 이등분한다. 즉, ● O A B M

원의 중심과 현 Ⅱ CD AB ON OM =  2) 현의 길이 ※ 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다. 역으로, 길이가 같은 두 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있다. 즉, ● A B C D O M N CD AB ON OM = 

※ 활 용 예 제 문제) 아래 그림에서 일 때, 삼각형 ABC는 어떤 삼각형이 되는가? ON OM = A B C O M N 풀이) 이므로 이다. 따라서 삼각형 ABC는 이등변 삼각형이다.

l OT ^ 원의 접선과 반지름 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직 이다. 2) 원 위의 한 점을 지나고 O 그 점을 지나는 반지름에 수직인 직선은 이 원의 접선이다. ● O T l l OT ^

접선의 길이 T P PT  = O TO PO △PTO 와 △PT’O에서 ∠PTO=∠PT’O=90º 는 공통 ∴ △ PTO≡PT’O(RHS) ∴ T P PT  = O TO PO ● P O T T

※ 활 용 예 제 문제) 아래 그림에서 는 원 O의 지름이고 는 원 O의 접선일 때 지름의 길이를 구하시오. D 풀이) 이므로 AB BD CD AC , A B C D O 5cm 2cm 풀이) 이므로 이다. 또 이므로 피타고라스의 정리에 의해 E F 3 7 2 - = CF 40 9 49 = - 10 2 = 10 2 = \ AB

원에 외접하는 사각형 ● O A B C D

※ 활 용 예 제 cm AD CD AB 3 , 6 4 = 문제) 아래 그림에서 일 때 의 길이를 구하시오. BC O A B C 일 때 의 길이를 구하시오. cm AD CD AB 3 , 6 4 = BC ● O A B C D 풀이) 이므로 4cm + 6cm = 3cm + 10cm = 3cm + = 7cm

삼각형의 방심 방접원 방심 1) 방심 삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 각의 외각의 이등분 선과의 교점 2) 한 삼각형의 방심은 3개이다. ● A B C D F E O 방접원 방심

※ 활 용 예 제 cm CA BC AB 4 , 3 5 = 문제) 아래 그림에서 일 때 의 길이를 구하시오. AD 풀이) A B 일 때 의 길이를 구하시오. cm CA BC AB 4 , 3 5 = AD 풀이) A B C D E F 이고 CA BC AB AF AD + = 이므로

두 원의 위치관계 Ⅰ 1) 두 원이 만나지 않는 경우(외부에 있을 때) ● O O r r d

두 원의 위치관계 Ⅱ 2) 외접 할 때 3) 두 점에서 만날 때 ● O O r r d ● d r r O O

두 원의 위치관계 Ⅲ 4) 내접 할 때 5) 내부에 있을 때 ● ●

두 원이 서로 만나는 경우 중심거리와 반지름 사이의 관계는 ※ 활 용 예 제 문제) 반지름의 길이가 각각 4cm, 3cm인 두 원 O, O´가 서로 만날 때 중심거리의 범위를 구하시오. 풀이) 두 원이 서로 만나는 경우 중심거리와 반지름 사이의 관계는 이므로

공통접선의 개수Ⅰ 1) 외부에 있을 때 공통 내접선 O O r r d 공통 외접선 공통 내접선 : 2개 공통외접선 : 2개 ● O O r r d 공통 외접선 공통 내접선 : 2개 공통외접선 : 2개

공통접선의 개수 Ⅱ 2) 외접 할 때 3) 두 점에서 만날 때 d r r  O O  O O r r 공통 내접선 : 1개 ● d r r  O O  ● O O r r 공통 내접선 : 1개 공통 내접선 : 0개 공통 외접선 : 2개 공통 외접선 : 2개

공통접선의 개수 Ⅲ 4) 내접 할 때 5) 내부에 있을 때 공통 내접선 : 0개 공통 내접선 : 0개 공통 외접선 : 1개 ● ● 공통 내접선 : 0개 공통 내접선 : 0개 공통 외접선 : 1개 공통 외접선 : 0개

※ 활 용 예 제 풀이) 문제) 두 원의 위치에 따른 공통접선의 개수를 각각 말하시오. (1) 두 원이 외부에서 만나지 않는 경우 : 공통접선은 4개 그을 수 있다. (2) 두 원이 외접하는 경우 : 공통접선은 3개 그을 수 있다. (3) 두 원이 두 점에서 만나는 경우 : 공통접선은 2개 그을 수 있다. (4) 두 원이 내접하는 경우 : 공통접선은 1개 그을 수 있다. (5) 두 원이 내부에 서 만나지 않을 때 : 공통접선은 그을 수 없다.

공통접선의 길이 1) 공통외접선의 길이 l ● r r  d

※ 활 용 예 제 문제) 반지름이 각각 3cm, 4cm인 두 원이 외접할 때 공통외접선의 길이를 구하시오. 풀이) 이므로 x

2) 공통내접선의 길이 ● r r  d l

※ 활 용 예 제 문제) 반지름이 각각 3cm, 4cm인 두 원의 중심거리가 9cm 일 때, 공통내접선의 길이를 구하시오. x 9cm 3cm 풀이) 이므로

2. 원 주 각 1) 원 주 각 2) 원과 사각형 3) 접선의 성질

원주각과 중심각 Ⅰ 원주각 A ● B P O ● O A B P 중심각

원주각과 중심각 Ⅱ 1) 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호 에 대한 중심각의 크기의 이다. 1) 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호 에 대한 중심각의 크기의 이다. 2) 반원에 대한 원주각의 크기는 90 °이다. 2 1

※ 활 용 예 제 문제) 아래 그림에서 x, y의 크기를 구하여라. (1) (2) x y 120 , 60 = y x

원주각과 호 Q P 한 원 또는 합동인 두 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다. 크기가 같은 원주각에 대한 O 호의 길이는 같다. 2) 한 원에서 원주각의 크기는 호의 길이에 비례한다. ● A B C D P Q O

110 ※ 활 용 예 제 c a b = a = c = b 문제) 아래 그림에서 a+b+c의 값을 구하여라. A B C D 풀이) ∠ABD = ∠ACD 이고, ∠BAC =∠BDC 이므로 b = a = c = ∴ a + b + c =  110

원에 내접하는 사각형 내대각 원에 내접하는 사각형 에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180 º 이다. 2) 원에 내접하는 사각형에 서 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다. ● A B C D E 외각 ∠A + ∠B = 180º ∠B + ∠D = 180º ∠A = ∠DCE

80 = y x 105 , 95 = y x ※ 활 용 예 제 180 ° 문제) 아래 그림에서 x, y의 크기를 구하여라. x º 80 = y x ° 105 , 95 = y x 내접사각형의 한외각의 크기는 내대각의 크기와 같으므로 내접사각형은 대각의 합이 이므로 ° 180

사각형이 원에 내접할 조건 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180 º 일 때 2) 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같을 때 ● A B C D E 1) ∠BAD + ∠BCD = 180º, ∠ABC + ∠ADC = 180º 일 때 2) ∠BAD = ∠DCE 일 때

 (2) => 외각과 그 내대각의 크기가 같다. ※ 활 용 예 제 문제) 아래 사각형 중에서 원에 내접하는 것은 ? (1) (2) (3) (4)  (2) => 외각과 그 내대각의 크기가 같다.

접선과 현이 이루는 각 AB에 대한 원주각 ● A B C T 접선 접선과 현이 이루는 각

x = , y = 70 40 ※ 활 용 예 제 ° 문제) 아래 그림에서 직선 XY가 원 O의 접선일 때, 각 x, y 의 크기를 구하여라. 풀이) ∠XAB =∠ABC 이고, ● A B C Y y x X ∠YAB =∠ACB 이므로 x = , y = ° 70 40

3. 원 과 비 례 1) 원 과 비 례 2) 할 선 과 접 선

원에서의 비례관계 Ⅰ 1) 두 직선이 원의 내부에서 만날 때 ● A B C D P

※ 활 용 예 제 문제) 아래 그림과 같이 원 O의 내부에서 두 선분이 만날 때 선분 PA의 길이를 구하시오.. O A B C D P 5cm 6cm 7cm x 풀이) 이므로 x×7 = 5×6 7x = 30 x = 7 30  x = cm 7 30

원에서의 비례관계 Ⅱ 2) 두 직선이 원의 외부에서 만날 때 ● P A B C D

cm x 3 = \ ※ 활 용 예 제 x 문제) 아래 그림과 같이 원 O의 외부에서 두 선분이 만날 때 선분 PA의 길이를 구하시오.. 풀이) 이므로 x×(x + 9) = 4×9 D O A B C P 4cm 5cm x 9cm cm x 3 = \

현과 지름이 만나는 비례 관계 Ⅰ 증명) ● A B C D P r O

6 - = \ x ※ 활 용 예 제 x 문제) 아래 그림에서 O가 원의 중심일 때 선분 PC의 길이를 구하시오. 풀이) 이므로 A B C D P O 6 5 x 6 - = \ x

현과 지름이 만나는 비례관계 Ⅱ 증명) ● P A B C D r O 2 r OP PB PA - =  \

※ 활 용 예 제 문제) 다음 그림에서 O가 원의 중심일 때 선분 AB 의 길이를 구하시오. O P A B C D 3cm 6cm xcm 풀이) 이므로 9 27 2 - = x 18 2 = x 2 3 = \ x

원의 접선과 할선 P ● A B T O 가 원 O의 접선이고, 가 원 O와 두 점에서 만날 때

※ 활 용 예 제  x = 5cm 문제) 다음 그림에서 선분 PT가 원 O의 접선일 때 선분 AB의 길이를 구하시오. B 풀이) 이므로 36 = 4(4 + x) 36 = 16 + 4x 4x = 20  x = 5cm