산업경영공학과 일반 물리학 2주차 전기장, 가우스의 법칙 컴퓨터시뮬레이션학과, 2015년 2학기 교수 : 이 형 원 연구실 E304, hwlee@inje.ac.kr

다음주 과제 제 25 장 읽어오기 나누어준 과제를 노트에 정리하여 제출할 것

제23장 전기장 목표 전하의 이해 전하 사이의 힘 전기장의 개념 이해

23장. 전기장(Electric Field) 23.1 전하의 특성 23.2 유도에 의해 대전된 물체 23.3 쿨롱의 법칙 23.4 전기장 23.5 연속적인 전하 분포에 의한 전기장 23.6 전기력선 23.7 균일한 전기장 속에서 대전 입자의 운동

23.1 전하의 특성 (Properties of Electric Charges) 두 종류의 전하가 존재하고, 각각을 양(positive) 전하와 음(negative) 전하라고 함. 같은 종류의 전하끼리는 서로 밀어내고 다른 종류의 전하끼리는 서로 당긴다. 고립계에서 전하량은 항상 보존된다. 전하량은 기본 전하량의 정수배로 존재하며, 양자화(quantized)되어 있다.

23.2 유도에 의해 대전된 물체 (Charging Objects by Induction) 유도에 의한 대전: 도체(conductor) 원자에 구속되지 않고 물질 내에서 상대적으로 자유롭게 움직일 수 있는 자유 전자가 있는 물질 절연체(insulator) 모든 전자가 핵에 구속되어 물질 내에서 자유롭 게 움직일 수 없는 물질 반도체(semiconductor) 전기적인 성질이 도체와 절연체의 중간 유도에 의한 대전:

23.3 쿨롱의 법칙 (Coulomb’s Law) 쿨롱의 법칙(Coulomb’s Law) 쿨롱 상수: : 자유 공간의 유전율(permittivity of free space) 전자 또는 양성자의 전하량:

쿨롱의 법칙의 벡터 형태: 전하가 셋 이상인 경우:

수소 원자 예제 23.1 수소 원자의 전자와 양성자는 평균적으로 대략 5.3×10-11 m 거리만큼 떨어져 있다. 두 입자 사이에 작용하는 전기력과 중력의 크기를 구하라. 풀이

합력 구하기 예제 23.2 삼각형의 꼭지점에 세 개의 전하 q1=q3=5.0 nC, q2=-2.0 nC 이 위치하고 a=0.10 m이다. q3에 작용하는 알짜힘을 구하라. 풀이

구의 전하량 구하기 예제 23.3 질량이 각각3.0 ×10-2 kg이고 동일하게 대전된 두 개의 작은 구가 그림과 같이 평형 상태로 매달려 있다. 각 실의 길이는 0.15 m이고 각도 θ는 5.0°이다. 각 구의 전하량을 구하라. 풀이

23.4 전기장 (The Electric Field) 원천 전하(source charge)인 대전체 주변의 공간 영역에 전기장(electric field)이 존재한다. 전기장 벡터(electric field vector) 는 그 점에 놓인 양(＋)의 시험 전하 q0 에 작용하는 전기력 를 시험 전하로 나눈 것으로 정의한다. (단위: N/C) 전기장은 시험 전하 자체에 의하여 생기는 것이 아니다. 또한 전기장의 존재는 원천 전하 또는 전하 분포의 성질이며, 전기장이 존재하기 위해서는 시험 전하가 필요하지 않다. 시험 전하는 전기장을 탐지하는 검출기 역할을 할 뿐이다

오른쪽 그림에서 는 q에서 q0로 향하는 단위벡터 따라서 P점에 q가 만드는 전기장은 q의 부호에 따라 전기장의 방향이 결정됨 여러 점 전하에 의한 전기장: *전기 쌍극자 (electric dipole)

두 전하에 의한 전기장 예제 23.4 그림과 같이 전하 q1과 q2가 x-축 상에 있고, 원점에서부터 각각 거리 a와 b에 있다. (A) y-축에 있는 점 P에서 알짜 전기장 성분을 구하라. 풀이 (A)

두 전하에 의한 전기장(계속) 예제 23.4 (B) |q1|=|q2|와 a=b인 특별한 경우(전기 쌍극자)에 점 P에서 전기장을 구하라. (C) 점 P가 원점으로부터 거리 y≫a일 때, 전기 쌍극자에 의한 전기장을 구하라. 풀이 (B) 이므로 (C)

23.5 연속적인 전하 분포에 의한 전기장 (Electric Field of a Continuous Charge Distribution) 많은 전하들 사이의 거리가 이들 전하에서 전기장을 구하고자 하는 점까지의 거리에 비하여 매우 가까운 경우가 있다. 이런 경우의 전하계를 연속적이라고 한다. 즉, 밀집된 전하계는 선, 면 또는 부피에 걸쳐 연속적으로 분포한 전체 전하와 동일하다 부피 전하 밀도 (volume charge density) 면 전하 밀도 (surface charge density) 선 전하 밀도 (linear charge density)

전하 막대에 의한 전기장 예제 23.5 길이가 ℓ인 막대에 양(+) 전하 Q가 단위 길이당 전하 λ로 고르게 퍼져 있다. 막대의 긴축 한쪽 끝으로부터 a 만큼 떨어진 점 P에서의 전기장을 구하라. 풀이

균일한 고리 전하에 의한 전기장 예제 23.6 양(+) 전하 Q가 반지름이 a인 고리에 균일하게 분포하고 있다. 고리 면에 수직인 중심축으로부터 x 만큼 떨어져 있는 점 P에서 고리에 의한 전기장을 구하라. 풀이 이므로

균일한 원판 전하에 의한 전기장 예제 23.7 균일한 표면 전하 밀도 σ를 갖는 반지름 R의 원판이 있다. 원판의 중심을 지나고 수직인 축 위의 x 만큼 져 있는 점 P에서 전기장을 구하라. 풀이 원형고리와 같이 대칭성에 의해 중심축에 수평한 성분만 남으므로 (앞의 예제) 원판으로부터 가까운 축 위에서는(R ≫ x)

23.6 전기력선 전기력선(electric field lines)은 전기장의 모양을 시각화하는 편리한 방법이다. 전기력선에 수직인 면을 통과하는 단위 면적당 전기력선의 수는 그 영역 안에 있는 전기장 크기에 비례하므로, 전기장이 강한 영역에서는 전기력선들이 서로 가까이 있고, 전기장이 약한 영역에서는 멀리 떨어져 있다.

전하 분포에 대한 전기력선을 그리는 원칙 전기력선은 양(+)의 전하에서 시작하여 음(-)의 전하에서 끝나야 한다. 만일 여분의 전하가 있으면, 전기력선은 무한히 멀리 떨어진 곳에서 시작하거나 끝날 것이다. 양(+)전하에서 나오거나 음(-)전하에 들어가는 전기력선의 수는 전하의 크기에 비례한다. 두 전기력선은 교차할 수 없다.

23.7 균일한 전기장 속에서 대전 입자의 운동 양(+)전하의 가속 예제 23.8 풀이 (Motion of Charged Particle in a Uniform Electric Field) 양(+)전하의 가속 예제 23.8 거리 d 만큼 떨어지고 평행한 전하 판 사이의 균일한 전기장 E는 x-축과 나란한 방향이다. 양전하 판에 가까운 점A에서 질량 m인 양(+)의 점 전하 q를 정지 상태에서 가만히 놓으면, 이 양(+)전하는 음(-)전하 판 가까운 점 B쪽으로 가속 운동을 한다. 일정한 가속도를 받고 있는 입자로 모형화하여 B점에서 입자의 속도를 구하라. 풀이 (일정) 이므로 등가속도 운동을 한다.

전자의 가속 예제 23.9 그림과 같이 E=200 N/C인 균일한 전기장 영역으로, 전자가 처음 속력 vi =3.00 ×106 m/s으로 들어온다. 판의 수평 길이는 ℓ =0.100 m이다. (A) 전자가 전기장 안에 있는 동안, 전자의 가속도를 구하라. 풀이 (B) 전자가 시각 t=0에 전기장 안으로 들어온다고 가정하고, 전자가 전기장을 떠나는 시간을 구하라. (C) 전자가 전기장 안으로 들어오는 수직 위치를 yi=0이라고 가정하고, 전자가 전기장을 떠날 때의 수직 위치를 구하라.

24장 가우스의 법칙 목표 1. 전하 분포와 전기장의 관계 2. 대칭 전하 분포에 의한 전기장 계산

24장. 가우스의 법칙 (Gauss’s law) 24.1 전기선속 24.2 가우스의 법칙 24.3 다양한 형태의 전하 분포에 대한 가우스의 법칙의 적용 24.4 정전기적 평형 상태의 도체

24.1 전기선속 전기력선의 정의에 의하면 단위 면적당 전기력선의 수(면적 선 밀도)는 전기장의 세기에 비례한다. (Electric Flux) 전기력선의 정의에 의하면 단위 면적당 전기력선의 수(면적 선 밀도)는 전기장의 세기에 비례한다. 따라서 단면 A를 수직으로 관통하는 전체 전기력선의 수는 전기장의 세기와 면적의 곱인 EA에 비례한다. 전기 선속 (단위: N.m2/C) (정의) 일반적으로 전기장은 넓은 면에 걸쳐 변할 수 있다.

폐곡면을 통과하는 전기 선속을 구하는 것은 아주 중요하다 폐곡면을 통과하는 전기 선속을 구하는 것은 아주 중요하다. 여기서 폐곡면이란 어떤 표면이 내부 공간과 외부 공간을 분리하고, 이 표면을 지나지 않고는 한 공간에서 다른 공간으로 이동할 수 없는 표면을 의미한다. 면적 요소 ①: θ < 90°  선속은 양(＋)의 값면적 요소 ②: θ = 90°  선속은 영(0) 면적 요소 ③: 90° < θ < 180°  선속은 음(－)의 값 표면을 통과하는 알짜 선속은 표면을 통과하는 알짜 전기력선의 수에 비례한다. 알짜 전기력선의 수는 표면을 통과하여 나가는 전기력선 수에서 표면을 통과하여 들어오는 전기력선 수를 뺀 값을 의미한다. 폐곡면에 대한 알짜 선속은 다음과 같다. ;표면에 수직인 전기장 성분

정육면체를 통과하는 선속 예제 24.1 풀이 3, 4, 5, 6에 대해서는? 균일한 전기장 E가 x-축 방향으로 향하고 있다. 그림과 같이 한 변의 길이가 ℓ인 정육면체의 표면을 통과하는 알짜 전기 선속을 구하라. 풀이 전기장의 방향과 평행한 네 면을 통과하는 선속은 0이 된다. 3, 4, 5, 6에 대해서는?

24.2 가우스의 법칙 전하를 둘러싸고 있는 폐곡면을 지나는 전기 선속을 고려하자. (가우스 면의 설정이 중요) (Gauss’s Law) 전하를 둘러싸고 있는 폐곡면을 지나는 전기 선속을 고려하자. (가우스 면의 설정이 중요) (예) 전기장의 방향과 면적 벡터의 방향은 구면의 모든 점에서 동일하므로 점전하에 의한 전기장에 대한 식과 구의 면적을 대입하면 구형의 가우스 면을 통과하는 알짜 선속은 r의 크기에는 무관하고 가우스 면내의 전하량과 관계된다.

점 전하 q를 둘러싸고 있는 폐곡면을 지나는 알짜 선속은 폐곡면의 모양에 무관하고, 폐곡면 내의 전하량에만 의존한다고 할 수 있으며, 크기는 항상 q/ε0으로 주어진다. 따라서, 전하를 포함하고 있지 않는 폐곡면을 통과하는 알짜 전기 선속은 영(0)이 된다. 여러 개의 전하에 의해 만들어진 전기장은 각각의 전하에 의한 전기장들의 벡터합으로 주어진다. 따라서 어떤 폐곡면을 통과하는 선속은 ; Gauss’s law qin은 가우스 면 내부에 있는 알짜 전하만을 의미하지만, 전기장 E는 가우스 면 내부와 외부에 있는 모든 전하에 의해 만들어지는 전체 전기장이다.

24.3 다양한 형태의 전하 분포에 대한 가우스의 법칙의 응용 (Application of Gauss’s Law to Various Charge Distributions) 전하 분포가 매우 대칭적인 경우에는 가우스의 법칙이 전기장을 계산하는 데에 매우 유용하게 사용된다. 가우스 면을 설정할 때, 전하 분포의 대칭성을 이용하면 전기장E 를 적분 기호 밖으로 낼 수 있어 쉽게 계산할 수 있다. 가우스 면을 설정할 때 고려할 사항: 1. 주어진 대칭성 때문에 전기장의 크기가 가우스면 상에서 일정한 크기의 상수가 되는 것을 쉽게 알아볼 수 있는 경우. 2. 전기장 E와 면적 요소 벡터 dA가 평행하기 때문에 식 (24.6)의 스칼라곱이 E dA로 주어지는 경우. 3. E와 dA가 수직이기 때문에 스칼라곱이 영(0)으로 주어지는 경우. 4. 전기장이 가우스 면 상에서 영(0)이 되는 것을 쉽게 알아볼 수 있는 경우.

구형 대칭 전하 분포에 의한 전기장 예제 24.2 반지름 a인 속이 찬 부도체 구가 균일한 부피 전하 밀도 ρ와 전체 양(+)전하 Q를 가진다. 구 밖의 한 점에서 전기장의 크기를 구하라. 구 내부의 한 점에서 전기장의 크기를 구하라. 풀이 (A) (B)

원통형 대칭 전하 분포에 의한 전기장 예제 24.3 단위 길이당 양(＋) 전하가 λ의 크기로 균일하게 대전되어 있는 무한히 길고 곧은 도선으로부터 거리가 r 만큼 떨어진 점에서의 전기장을 구하라. 풀이

절연체 판에 대전된 전하 예제 24.4 양(+) 전하가 표면 전하밀도 σ로 고르게 대전되어 있는 무한 평면에 의한 전기장을 구하라. 풀이

24.4 정전기적 평형 상태의 도체 (Conductors in Electrostatic Equilibrium) 만약 도체 내에서 전하의 알짜 운동이 없는 경우, 도체는 정전기적 평형 상태(electrostatic equilibrium)에 있다고 한다. 1. 도체 내부가 차 있거나 비어 있거나 상관없이, 도체 내부의 어느 위치에서나 전기장은 영이다. 2. 고립된 도체에 생긴 과잉 전하는 도체 표면에만 분포한다. 3. 대전되어 있는 도체 표면 바로 바깥의 전기장은 도체 표면에 수직이고 σ/ε0의 크기를 갖는다. 여기서 σ는 표면 전하 밀도이다. 4. 불규칙한 모양을 가지는 도체인 경우, 표면 전하 밀도는 면의 곡률 반지름이 가장 작은 곳, 즉 뾰족한 점에서 가장 크다.

구 껍질(Spherical Shell) 내의 구 예제 24.5 양(+) 전하 Q로 대전된 반지름이 a인 부도체 구가, -2Q로 대전되어 있는 안쪽 반지름이 b이고 바깥쪽 반지름이 c인 도체 구 껍질의 중심에 위치하고 있다. 가우스의 법칙을 이용하여 그림에 표기된 영역 ①, ②, ③, ④에서의 전기장을 구하고, 정전기적 평형 상태에 있는 구 껍질의 전하 분포에 대하여 설명하라. 풀이 가우스 법칙과 앞의 예제를 참고하여 정전 평형 상태의 도체 내부 전기장은 0이므로(가우스 법칙을 사용해도 가우스면 내부의 알짜 전하량은 0임) 가우스 법칙에서 가우스 면 내부의 알짜 전하량은 -Q이므로