제 2 장 전자파 해석 박 병 권 bkpark@daelim.ac.kr

전자파 해석 개요 파동 방정식 평면파 파동방정식의 해 파동 임피던스 포인팅 전력

1. 개요 ◆ 자유 공간을 전파하는 전자파에 관한 파동 방정식 도출 - Maxwell 방정식 이용 ◆ 공간상을 진행하는 전자파의 전파 속도, 파동 임피던스, 전자파의 에너지 정보 유출 ◆ 단위 시간에 단위 면적을 통과하는 에너지를 나타내는 포인팅 벡터 - 전자파의 전파특성 이해

2. 파동 방정식 ◆ 파동 방정식 - 공간상을 전파하는 전자파를 해석하여 그 특성을 파악하기 위해서는 공간 매질을 진행하는 전자파에 관한 방정식 - 시간적으로 변하는 전계와 자계 사이의 관계를 나타내는 Maxwell 방정식

- Maxwell 방정식 양변에 회전(Curl)을 취하면 * 벡터 공식 자유공간에서 - 벡터 공식을 이용하면 다음과 같다. ► 위 식은 전계에 관한 파동 방정식 임

- 전계 파동 방정식과 같은 방법으로 자계 파동 방정식을 구하면 - 벡터 공식을 이용하면 다음과 같음 ► 위 식은 자계에 관한 파동 방정식 임

◆ 일반적으로 전계와 자계는 시간에 따라 정현파적으로 변하므로 ◆ 파동 방정식에 적용하면 ► 를 전파 상수(propagation constant)라 하며, 이는 파의 전파 특성 ( 감쇠 및 위상 변화)를 나타내는 상수임.

◆ 자연계에 존재하는 모든 형태의 파에 적용되는 일반적인 파동 방정식의 형은 ◆ 자연계에 존재하는 모든 형태의 파에 적용되는 일반적인 파동 방정식의 형은 다음과 같이 표현 됨.

3. 평면파 ◆ 2장에서 얻은 전계와 자계에 관한 파동 방정식을 풀어 그 해를 구하면 전자파에 관한 특성을 파악할 수 있다. <z 방향으로 진행하는 평면파> <z 방향에서 본 평면파> - xy 평면상에 전계와 자계성분이 존재하고 z방향으로 진행 : TEM 파

◆ 그림 2.1과 같이 전계는 x 방향 성분만 갖고, 자계는 y 방향 성분만을 가지며 z 방향으로 진행하는 평면파를 가정할 때 - 전계와 자계, 라플라시안은 직각 좌표계상에서 다음과 같이 표현됨 ( Ey=Ez=0, Hx=Hz=0)

◆ z 방향으로 진행하는 평면파에 대한 전자파의 파동 방정식은 다음과 같이 표현됨 ◆ 일반적으로 전계와 자계는 시간에 따라 정현파적으로 변하므로 - 여기서 로 놓으면 파동 방정식은

◆ 파동 방정식에서 정의된 를 전파 속도라 하며 전파 속도는 전자파가 진행하는 매질(유전율, 도전율)에 의해 ◆ 파동 방정식에서 정의된 를 전파 속도라 하며 전파 속도는 전자파가 진행하는 매질(유전율, 도전율)에 의해 일반적으로 자유 공간을 진행하는 전자파의 전파 속도

4. 파동 방정식의 해 ◆ 전계와 자계는 시간 t와 진행 방향 z의 함수가 됨 ⇒ ② 전계와 자계는 삼각 함수 또는 지수 함수로 표현 - 변수 t와 z에 대해 2차 미분 하여도 변하지 않는 함수이기 때문임 (k: 상수) - 위의 두 사실로부터 파동 방정식의 해는 다음과 같이 표현할 수 있음 ⇒ - : 감쇠정수 (자유공간 “0”) - : 위상정수

◆ 시간에 따라 정현적으로 변하는 전계의 파동 방정식 - : +Z 방향으로 진행하는 파 - : -Z 방향으로 진행하는 파 ◆ 전계에 대한 파동 방정식의 해를 삼각함수로 나타내면

◆ 앞장에서 전개한 식의 첫째 항, 둘째 항에 대해 일정 시간 ◆ 앞장에서 전개한 식의 첫째 항, 둘째 항에 대해 일정 시간 간격마다 z의 함수로 나타내면 다음 그림과 같다. (E1=E2=1) <특정 위상점의 이동(반사파)> <특정 위상점의 이동(진행파)>

◆ 위상 속도가 (-)가 되는데 이는 파의 진행 방향이 z 방향을 갖고 ◆ 특정 위상점 P가 시간에 따라 -z 방향으로 진행 하는 속도를 구하기 위해 ◆ 양변을 시간에 대해 미분하면 ◆ 위상 속도가 (-)가 되는데 이는 파의 진행 방향이 z 방향을 갖고 있으므로 진행파에 대한 반사파(-z 방향으로 진행)로 생각 할 수 있음 ◆ 마찬 가지로 첫째 항 ( +z 방향)의 위상 속도를 구하면 - +z방향으로 향하는 진행파가 됨을 알 수 있음

◆ 다시 말해 파동 방정식은 +z방향으로 향하는 진행파와 –z 방향으로 향하는 반사파가 함께 포함됨 ◆ 파동 방정식을 만족하는 해의 형태는 다음과 같이 여러 가지로 표현 할 수 있음 일반형 반사파 (-z 방향) 진행파 (+z 방향) 지수 함수형 삼각 함수형

5. 파동 임피던스 ◆ 회로상의 전류와 전압비로 정의되는 임피던스 -> 전류의 흐름을 방해하는 요소 ◆ 공간상을 전파하는 전자파-> 매질 내에 전자파의 흐름을 방해하는 요소를 정의 ◆ 파동 임피던스=매질의 고유 임피던스 ◆ +z 방향으로 진행하는 진행파에 대한 전계와 자계 식 ◆ 식을 다시 정리

◆ 선로상의 특성 임피던스와 유사한 헝태로 정의 ◆ 진행파의 전계와 자계 비 증명) ◆ 자유공간의 파동 임피던스 : Zo ◆ 파동 임피던스로 정의 하며 Zo로 표현 ◆ 선로상의 특성 임피던스와 유사한 헝태로 정의

? 6. 포인팅 전력 ◆ 전자파가 공간을 전파해 나가는 것은 일종의 에너지 이동 ◆ 전자파가 공간을 전파해 나가는 것은 일종의 에너지 이동 - 평행 선로에 전류가 흐를때 평행 선로를 통해 공급되는 전력 : - 선로 간격을 l로 하고 선로 폭을 w라 하면 - 선로를 통해 공급되는 전력

이는 평행 선로를 따라 진행하는 전자파가 공간을 따라 에너지가 전달한다고 볼 수 있음 전계와 자계의 곱으로 표현되는 양을 Poynting Vector 또는 Poynting 전력으로 정의 이는 전자파가 진행하는 공간상의 단위 면적을 통과하는 전력을 의미하며, 그 방향은 전자파의 진행 방향인 오른나사 진행 방향을 향함 안테나에 방사되는 전력은 안테나를 포함하는 폐곡면상에서 포인팅 전력을 면적분하여 구할 수 있음

과제 : 1. 연습 문제 풀이