9장 상대성 이론 (Relativity)

갈릴레이의 상대성 원리 갈릴레이의 상대성 원리: 모든 관성기준계에서 역학 법칙은 불변이다. 관측결과는 상대적으로 다르지만 그 측정들은 동일한 역학 법칙을 만족한다. 결과적으로, 관성기준계에 있는 관측자는 상대기준계를 통해서만이 자신의 운동상태를 알 수 있다. 2

갈릴레이 변환(Galilean Transformation): 단일 사건과 상대속도 갈릴레이 변환: 특정 사건을 한 관성기준계에서 측정한 결과를 다른 관성기준계에서의 측정결과와 서로 연결시켜주는 변환 t=0일 때 두 기준계의 원점은 같고, 두 기준계의 시간은 t=t’=0으로 동기화되어야 한다. 사건 P를, S에서 측정한 시공간 좌표를 (x,y,z,t), S’에서 측정한 시공간 좌표를 (x’,y’,z’,t’)으로 표현한다. 기준계 S’은 기준계 S에 대해 상대적으로 등속도 v로 움직인다. 이때 v는 S에서 측정한 S’의 속도이다. (갈릴레이 좌표변환) (갈릴레이 속도변환) 고전역학 체계에서 시간은 모든 관성기준계에서 동일한 비율로 흐른다. 3

마이켈슨-몰리의 실험: 배경 뉴턴역학의 갈릴레이 상대성은 전자기학(1865년)이나 광학 등에 적용 되지 않는다. 전자기파의 속도(빛의 속도) c 는 누구 또는 어떤 좌표계에 대한 속도인가? 수면파나 음파와 같은 역학적인 파동은 전달되기 위해 모두 매질을 필요로 한다 19세기 후반 물리학자들은 빛이 진행하는 매질로서 발광성 에테르(luminiferous ether)를 생각했다. 에테르는 절대 기준틀(absolute frame of reference)을 정의한다. 빛의 속력은 이 기준틀에서 c 이다. 에테르의 존재를 보이기 위한 마이켈슨-몰리의 실험(1887년) 마이켈슨 간섭계 에테르에 대한 지구의 상대속도를 측정하기 위한 실험 4

마이켈슨-몰리의 실험: 결과 마이켈슨 간섭계를 이용하여 에테르에 대한 지구의 상대속력을 측정하려는 실험의도 (가상의 에테르 바람) 어떠한 경우에도 마이켈슨 간섭계의 무늬는 변화하지 않았다.!!! 5

아인슈타인의 상대성 원리 1. 상대성 원리: 모든 관성기준계에서 모든 물리법칙은 불변이다. 2. 광속도 불변의 원리: 진공에서의 광속은 모든 관성기준계에서 모든 방향에 대하여 동일한 c 이다. (관측자나 광원의 속도에 무관하다.) 광속도 불변 검증 실험 : 중성 파이온의 붕괴 1964년 CERN 입자가속기에서 0.99975c의 속력으로 움직이는 중성파이온 다발을 만듬 실험실 좌표계에서 정지하여 있는 파이온에서 방출되는 감마선의 속력을 측정하여 광속을 얻음 빠르게 움직이는 광원에서 방출되는 감마선의 속력을 측정하여 동일한 광속을 얻음 6

사건의 측정: 시공간 좌표, 동기화 사건이란 어떤 일이 일어나는 것이며, 관측자는 이 사건에 세 개의 공간좌표와 하나의 시간좌표를 부여할 수 있다. - 사건에는 (1) 전구의 점멸, (2) 두 입자의 충돌 (3) 폭발, (4) 빛의 특정한 점 통과 등등 사건에 시공간 좌표를 부여하는 방법 (공간좌표, 시간의 동기화) 7

특수 상대성 이론의 결과: 사건의 동시성 한 기준계에서 동시인 사건들이 다른 기준계에서는 동시가 아니다. 동시성은 관측자의 운동에 의존하며 절대적인 아닌 상대적인 개념이다. 사고 실험: 점광원에서 나오는 빛을 서로 다른 관성계의 관측자들이 볼 때 빛의 파면은 관측자와 무관하게 동심원을 그리며 퍼져나간다. 관측자 O에게 두 번개가 동시에 친 것으로 측정되었다고 가정한다. 관측자 O’에게 두 번개는 동시에 치지 않은 것으로 나타난다. A’지점보다 B’지점에 번개가 먼저 친 것으로 측정한다. 8

특수 상대성 이론의 결과: 시간의 상대성 두 사건 사이의 시간간격은 시간과 공간 모두에서 그들이 얼마나 떨어져 있는가에 따라 결정된다. 즉 사건의 시간적 분리와 공간적 분리는 서로 얽혀 있다. 사건 1: 빛이 광원을 떠나는 것 사건 2: 빛이 광원으로 돌아오는 것 한 관측자에게는 두 사건이 동일한 장소에서 일어나는 것으로 제한한다. (영희) (철수) 기차 안에 정지하고 있는 영희가 보는 광시계의 두 사건 지면에 정지하고 있는 철수가 보는 광시계의 두 사건 9

특수 상대성 이론의 결과: 시간의 상대성 (철수) (영희) 철수가 측정하는 두 사건의 시간간격 영희가 측정하는 두 사건의 시간간격 10

특수 상대성 이론의 결과: 시간의 상대성 동일한 장소에서 일어난 두 사건의 시간간격을 고유시간(proper time interval)이라 한다. 상대적으로 움직이는 시계의 시간이 더 느리게 가는 것으로 관측된다.(시간팽창 효과) 11

특수 상대성 이론의 결과: 시간의 상대성 검증 실험 시간 팽창에 대한 두 가지 검증 실험 미시적 시계: 뮤온의 생성(사건1)과 붕괴(사건2) 사이의 시간간격 즉, 수명 측정 비상대론적 계산 뮤온의 수명: 상대론적 계산 거시적 시계: 1971년 헤이펠과 키팅은 세슘원자시계로 지구 자전방향과 반대방향으로 지구를 각각 일주하여 10% 오차 안에서 실제 시간팽창을 확인함. 12

예제 9.1 진자의 주기는 얼마인가? (진자시계) 진자의 기준계에서 측정한 진자의 주기가 3.00s이다. 진자에 대해 0.960c로 움직이는 관측자가 측정한 진자의 주기는 얼마인가? 진자의 기준계에서 측정한 주기가 고유시간이다. 움직이는 관측자의 관점에서는 진자가 움직인다. 13

특수 상대성 이론의 결과: 길이의 상대성 고유길이(proper length): 물체에 대해 정지해 있는 사람이 측정한 길이 움직이는 물체의 길이 또는 공간간격은 동시에 측정되어야 한다. 지구에서 출발하여 어느 별을 향하여 속력 v로 움직이는 우주선을 생각한다. 사건 1: 지구에서 우주선의 출발 사건 2: 어느 별에 우주선의 도착 지구의 관측자 지구-별 거리 우주선 안의 관측자 지구-별 도착 시간 (사건 1) (사건 2) 14

특수 상대성 이론의 결과: 길이의 상대성 고유길이(proper length): 물체에 대해 정지해 있는 사람이 측정한 길이 움직이는 물체의 길이 또는 공간간격은 동시에 측정되어야 한다. 막대와 함께 움직이는 기준계의 관측자가 재는 길이는 고유 길이 Lp 이며 단순히 양 끝점의 좌표값을 빼주면 되며 양 끝점을 동시에 측정하지 않아도 된다. 관측자가 있는 기준틀에 대해 상대적으로 움직이는 막대의 길이를 측정한 값은 고유 길이보다 짧다. 움직이는 물체의 길이는 양끝점을 동시에 측정해야 한다. 움직이는 물체의 길이는 고유길이에 상대적으로 수축된다. 길이 수축은 상대운동을 하는 방향에서만 일어난다. 15

예제 9.2 시리우스 별로의 여행 한 우주인이 지구로부터 8광년 떨어진 시리우스 별로 우주 여행을 떠났다. 우주인은 가는데 6년이 걸릴 것으로 측정했다. 우주선이 0.8c 의 일정한 속력으로 간다면, 어떻게 8광년의 거리가 우주인이 측정한 6년으로 맞춰질 수 있는가? 지구에서 측정한 시리우스 별까지의 거리는 8광년 (사건 1) (사건 2) 우주인의 기준계에서 지구와 별은 움직인다. 우주인이 측정한 여행 시간(고유시간)은 16

로렌츠 변환식(Lorentz Transformation) 로렌츠 변환: 하나의 사건을, 한 기준계에서 측정한 결과를 다른 기준계에서의 측정결과와 서로 연결시켜주는 변환으로서 고전적인 갈릴레이 변환의 일반화 (1890년) 마이켈슨-몰리 실험의 결과를 설명하기 위해 운동하는 방향의 길이의 수축 가설과 전자기학에 기초하여 1890년에 로렌츠가 유도함. 특수상대론의 두 가설로부터 유도할 수 있으며 에테르에 대한 존재를 필요치 않음. 사건 P의 시공간좌표 인 경우 로렌츠 변환은 갈릴레이 변환으로 된다. 17

로렌츠 변환식(Lorentz Transformation): 두 사건의 시공간 간격 18

로렌츠 변환식(Lorentz Transformation): 동시성, 시간팽창, 길이수축 유도 사건의 동시성 유도 : S’에서 동시인 사건들이 S에서는 일반적으로 동시가 아니다. (S’에서 동시인 사건들) 시간팽창 유도 : 두 사건이 S’의 같은 장소에서 다른 시간에 발생하였다고 하자. 길이수축 유도 : 어떤 막대가 x, x’축에 평행하고, S’에서 정지해 있다고 가정하자. 19

로렌츠 속도변환 로렌츠 변환식을 이용하여 갈릴레이 속도변환에 대응하는 상대론적인 속도변환을 얻는다. S에서 측정한 입자의 속도를 S’에서의 속도로 변환할 수 있다. 20

로렌츠 속도변환 S에서 측정한 입자의 속도를 S’에서의 속도로 변환할 수 있다. 21

예제 9.4 두 우주선의 상대속도 두 우주선 A와 B가 그림처럼 서로 마주보고 움직인다. 지상에 있는 관측자가 측정한 우주선 A의 속력은 0.750c, B의 속력은 0.850c이다. 우주선 A에 있는 우주인이 측정한 우주선 B의 속도를 구하라. 이 경우 지상과 우주선 A가 관측자가 되고 우주선 B가 관측 대상이 된다. 일차원이므로 한 방향만 고려한다. S에서 측정한 우주선 A의 속도: S에서 측정한 우주선 B의 속도: 22

예제 9.5 상대론적인 속력으로 경주하는 오토바이 폭주족 오토바이 폭주족인 데이비드와 에밀리가 그림에서처럼 직교하는 교차로에서 상대론적인 속력으로 경주하고 있다. 데이비드가 그의 어깨너머로 볼 때 에밀리는 얼마나 빨리 멀어져 가고 있는가? 이 경우 경찰관과 데이비드가 관측자가 되고 에밀리가 관측 대상이 된다. 이차원이므로 두 방향 모두 고려해야 한다. S에서 측정한 데이비드의 속도: S에서 측정한 에밀리의 속도: 데이비드가 측정한 에밀리의 상대속도는 23

상대론적 운동량과 뉴턴 법칙의 상대론적 형태 S 기준계에서 운동량 보존은 (충돌 전) (충돌 후) S 기준계에서 운동량 보존은 S’ 기준계에서 운동량 보존을 알아보기 위하여 갈릴레이 속도변환을 하면 S’ 기준계에서도 질량보존과 함께 운동량은 보존된다. 24

상대론적 운동량과 뉴턴 법칙의 상대론적 형태 S 기준계에서 운동량 보존은 (충돌 전) (충돌 후) S 기준계에서 운동량 보존은 S’ 기준계에서 운동량 보존을 알아보기 위하여 로렌츠 속도변환을 하면 S’ 기준계에서는 운동량이 보존되지 않는다?? 25

상대론적 운동량과 뉴턴 법칙의 상대론적 형태 상대론적 운동량의 정의 : S 기준계에서 운동량 보존은 But, 비상대론적인 경우에 질량 보존에 대응하는 것처럼 보이는 식은?? 26

상대론적 에너지 상대론적 질량의 정의 : 비상대론적인 경우로의 근사를 하면 상대론적 에너지의 정의 : : 정지 에너지 27

상대론적 힘과 상대론적 운동에너지 상대론적 운동량 : 상대론적 에너지 : 상대론적 힘 : 상대론적 운동에너지 : 입자가 상대론적인 조건하에서 일정한 힘을 받으면 그 때 가속도는 점차로 감소하여 속력이 광속에 가까워지면 0에 접근한다. 그러므로 광속 이상으로 가속시키는 것은 불가능하다. 상대론적 운동에너지 : 28

상대론적인 입자의 에너지-운동량 관계식 상대론적 운동량의 정의 : 상대론적 에너지의 정의 : : 에너지-운동량 관계식 질량이 0인 광자 또는 중력자 등등의 경우 29