6장 계의 에너지 ( Energy of a System)

계와 환경(System and Environment) 우주 U 환경 E 유효한 계 • 하나의 물체 또는 입자 • 물체나 입자들의 집합 • 공간의 일부 영역 (예: 자동차 엔진의 실린더 내부) • 크기와 모양이 변할 수 있는 것(예: 고무공처럼 벽에 부딪치면 변형되는 것) 힘 에너지 운동량 주어진 문제에서 특정한 계가 무엇이든 간에, 계의 경계(system boundary) 라는 가상의 면(꼭 물리적인 면과 동일할 필요는 없다)이 있는데, 이 면은 우주를 계(system)와 그 계를 둘러싼 환경(environment) 또는 외부로 분리한다. 계의 에너지 또는 운동량은 오직 외부와의 상호작용에 의해서만 증가 또는 감소할 뿐이며, 계 내부에서의 상호작용에 의해서는 생성 또는 소멸되지 않는다. 2

일의 정의: 일정한 힘이 한 일 어떤 계에 일정한 크기의 힘 F가 한 일(work): (스칼라량) 단위: 힘이 작용하더라도 변위가 없으면 일은 없다. 물체가 움직이더라도 힘과 변위가 수직이라면 그 힘이 한 일은 영이다. 일은 환경과 계가 상호간에 에너지를 주고 받는 방식이다. 양의 일(W > 0) ⇒ 환경에서 계로 에너지가 전달됨 음의 일(W < 0) ⇒ 계에서 환경으로 에너지가 전달됨 계 S 우주 U 환경 E 에너지 계와 환경이 일을 통하여 상호작용하면 계에 저장된 에너지는 변한다. 운동량 3

두 벡터의 스칼라곱(Scalar Product) 임의의 두 벡터 A와 B의 스칼라곱 : (교환법칙) (분배법칙) 단위벡터 사이의 스칼라곱 (x,y,z) z x y 일정한 힘이 한 일의 표현은 4

변하는 힘이 한 일 일을 하는 동안 힘이 변하는 경우로, 편의상 x-방향으로의 일만을 고려한다. 변위 △x 에 대해 한 일: 일반적으로, 변하는 힘이 한 일은 5

하나 이상의 변하는 힘들이 한 전체 일 입자모형의 경우 하나 이상의 힘이 계에 작용할 때, 힘들이 이 계에 대해 한 전체 일은 알짜힘이 한 일과 같다. 변형 가능한 계에서는 하나 이상의 힘이 계에 작용할 때, 힘들이 계에 대해 한 전체 일은 각각의 힘이 한 일의 합이다. 6

탄성력이 한 일: 후크의 법칙 후크의 법칙(Hooke’s Law) 복원력(restoring force) x: 평형 위치로부터의 변위 k: 스프링 상수(N/m) 7

계에 용수철이 한 일과 외력이 한 일 Xi 에서 Xf 까지 물체가 움직일 때 용수철이 한 일은 외력 Fext 를 가하여 물체를 Xi 에서 Xf 까지 가속도 없이 매우 천천히 움직이도록 한 경우 외력이 한 일은 8

예제 6.5 용수철의 힘 상수 k 측정하기 용수철의 힘 상수를 구하는 통상적인 방법이 그림 6.11에 나타나 있다. 그림 6.11a와 같이 용수철은 연직으로 매달려 있고, 질량 m인 물체를 그 아래쪽 끝에 매단다. 용수철은 그림 6.11b와 같이 매달린 무게 mg에 의해 평형 위치로부터 거리 d만큼 늘어난다. (A) 질량이 0.55 kg인 물체가 매달려 2.0 cm만큼 늘어났다면 용수철의 힘상수는 얼마인가? (B) 길이가 늘어나는 동안 용수철이 한 일을 구하라. (A) 후크의 법칙에 의해 용수철의 탄성력과 중력이 평형을 이루므로 (B) 용수철의 탄성력이 한 일은 9

운동에너지와 일-운동에너지 정리: 단일 입자 또는 물체 계에 일을 한다는 것은 환경과 계가 상호간에 에너지를 주고 받는 것이다. 계에 일을 한 결과 중 하나는 계의 운동상태가 변화된다. 즉, 물체의 속도가 변한다. : 입자의 운동에너지(Kinetic Energy) (스칼라량) 단위: 10

운동에너지와 일-운동에너지 정리 : 일-운동에너지 정리 (Work-Kinetic Energy Theorem) 알짜힘이 그 계에 한 일은 계의 운동에너지 변화와 같다. (단, 알짜힘이 계에 일을 한 변화가 속력뿐인 경우) 알짜힘이 계에 양의 일을 하면 계의 운동에너지는 증가하고, 음의 일을 하면 계의 운동에너지는 감소한다. 일-운동 에너지 정리의 K는 두 점 사이의 경로에 무관하고 처음과 나중의 속력에만 의존한다. 11

표본문제 질량이 5.7kg인 나무토막이 1.2m/s 속력으로 미끄러져 용수철과 충돌한다. 그 때 용수철의 최대 압축길이는 얼마인가? 단, 용수철 상수 k=1500N/m이고 바닥과의 마찰력은 없다. 나무토막에 일-운동에너지 정리를 적용하면 용수철이 한 일과 운동에너지 변화는 12

계의 위치 에너지 여러 개의 입자나 물체로 구성된 계에서 구성요소들이 내력에 의해 서로 상호작용하는 경우를 생각해본다. 이러한 계의 총 운동에너지는 계를 구성하는 요소들의 운동에너지의 대수적합이다. (책+지구)계 우주 U 환경 E 에너지 편의상 (책+지구)계를 고려하고 지구의 운동에너지는 상대적으로 무시한다. (책+지구)계에서 외력이 양의 일을 하므로 계로 에너지를 전달하고 계의 에너지가 증가해야 한다. 그러나 계의 총 운동에너지는 0이다?? 외력이 한 일은 (책+지구)계의 다른 형태의 에너지로 저장되어야 한다. 책을 놓으면 책은 운동 에너지를 가지므로 (책+지구)계에는 운동에너지로 바뀔 수 있는 잠재적인 에너지가 있으며 이러한 에너지 저장 형태를 위치 에너지(potential energy)라 한다. 위치 에너지의 크기는 계를 구성하는 요소들의 배열 상태에 따라 결정된다 13

중력 위치에너지(지표면 근처) (책+지구)로 구성된 계에 대해 외력이 한 일은 : 중력위치에너지(Gravitational Potential Energy) (스칼라량) 단위: 위치에너지의 차이만이 물리적으로 의미가 있으며, 항상 임의의 기준점을 위치에너지가 0이 되도록 정할 수 있다. 14

탄성 위치에너지 (용수철+물체)로 구성된 계에 대해 외력이 한 일은 : 탄성 위치에너지 (Elastic Potential Energy) (스칼라량) 단위: 위치에너지의 차이만이 물리적으로 의미가 있으며, 항상 임의의 기준점을 위치에너지가 0이 되도록 정할 수 있다. 15

중력 위치에너지 (지구+입자)로 구성된 계에 대해 외력이 한 일은 : 중력위치에너지(Gravitational Potential Energy) 16

보존력과 비보존력: 내부에너지 마찰력이 내력으로 작용하는 (책+표면)계를 생각해본다. 마찰력이 책에 한 일은 음이고 탁자표면에 한 일은 0이다. (책+표면)계에서 마찰력은 내력이므로 계 내에서 에너지는 새로이 생성되거나 소멸되지 않는다. 그럼 운동에너지는 어디로 갔을까? 이 경우 책과 탁자 표면이 다소 따뜻해졌으며, 계의 온도와 연관된 에너지를 내부 에너지(internal energy)라고 하고, Eint 로 나타낸다. 중력이 물체에 한 일은 연직으로 떨어지거나 경사면을 미끄러지거나 하는 중간 과정에 의존하지 않는다. 중요한 것은 물체의 고도 변화이다. 그러나 마찰에 의한 내부 에너지로의 변환은 같은 변위라도 물체가 미끄러지는 거리에 의존한다. 이러한 경로 의존성에 따라 힘을 보존력과 비보존력으로 구분한다. 17 책이 멈춘 후에도 표면은 움직이지 않는다. 표면에 양(+)의 일이 행해졌는 데도 표면의 운동 에너지나 위치 에너지에는 변화가 없다.

보존력과 비보존력 보존력(Conservative forces)의 정의 : 폐경로를 따라 이동하는 입자에 보존력이 한 일은 영이다. 결과: 두 점 사이를 이동하는 입자에 보존력이 한 일은 이동 경로와 무관하다. 일반적으로 계의 구성 요소 중 한 물체가 한 점에서 다른 점으로 이동할 때, 보존력이 한 일 Wc 는 계의 위치 에너지의 처음 값에서 나중 값을 뺀 것과 같다. : 중력위치에너지(지표면근처) : 뉴턴의 중력위치에너지 : 탄성 위치에너지 보존력이 한일은 위치에너지 감소와 같다. 18

보존력과 비보존력 비보존력(Nonconservative Forces) 보존력에 대한 성질을 만족하지 못하는 힘을 비보존력이라고 한다. 마찰력이 대표적인 비보존력이다. 역학적 에너지(mechanical energy): 계의 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 정의한다. 계 내부에서 작용하는 비보존력은 역학적 에너지의 변화를 초래한다. 19

보존력과 위치에너지의 관계 보존력 F가 한 일은 위치에너지의 변화와 반대이다. 1차원에서 보존력을 이용하여 위치 에너지를 다시 결정할 수 있다. 지표면 근처에서의 중력 위치에너지를 구해본다. 20

중력 위치에너지(Gravitational Potential Energy) (지구+입자)로 구성된 계에 대해 보존력인 중력이 한 일은 위치에너지의 변화와 반대이다. : 지구로부터 입자를 향하는 단위 벡터 21

중력 위치에너지(Gravitational Potential Energy) 세 입자계의 중력 위치에너지는 상호작용하는 입자들간의 위치에너지의 합이다. 22

전기 위치에너지(Electric Potential Energy) 두 전하로 구성된 계의 전기 위치에너지: 두 전하 사이에 작용하는 전기력은 쿨롱의 법칙을 따른다. (다른 부호일 때: 인력) (같은 부호일 때: 척력) : 두 전하계의 전기 위치에너지(무한대가 기준점) 23

보존력과 위치에너지의 관계 보존력과 위치에너지의 관계를 이용하여 위치에너지 변화로부터 보존력을 얻어낼 수도 있다. 만약 힘의 작용점이 미소 변위 dx 만큼 움직인다면, 계의 미소 위치 에너지 변화 dU는 (용수철+물체)계의 위치에너지는 위치에너지 곡선의 기울기가 보존력의 크기에 대응한다. 기울기가 0인 점은 힘이 작용하지 않는 평형점에 해당한다. 24