chapter3 정전계 3-1 Coulomb 법칙 3-2 전계 3-3 전위 3-4 전속밀도와 Gauss 법칙 3-2 전계 3-3 전위 3-4 전속밀도와 Gauss 법칙 3-5 도전전류와 저항 3-6 경계치 문제 I : 경계조건 3-7 경계치 문제 II : Poisson 방정식과 Laplace 방정식 3-8 전기 영상법 3-9 정전 에너지 3-10 정전용량 www.scitech.co.kr

3-1 Coulomb 법칙 전기력(electric force) = 두 전하 사이에 작용하는 힘 (단위 : N ) <작용원리> * Coulomb 법칙 : 균일 매질내의 인 지점에 점전하 Q에 의해 r인 지점의 전하량 q인 점전하에 가해지는 힘 * 그림 3-2 전하량 Q와 q로 표시되는 인접한 두 전하간에 작용하는 힘의 방향

전하량 Q와 q 유전율 ε 단위는 C (쿨롱)이라고 읽으며, Coulomb의 업적을 기려 만든 전하량의 단위임 전하량의 값이 양수이면 양전하, 음수이면 음전하를 의미 전하량이 -1C 이라는 것은 약 6*10 8 개의 전자가 가진 전하량에 해당 유전율 ε 단위는 F/m, F : 패럿(farad) 균일한 주변 매질의 전기적인 특성 표시 아무런 매질도 없는 자유공간에서의 유전율은 특별히 구분하여 표시함 ※ 지금부터 3절이 끝날 때까지 전하분포는 자유공간에 놓여 있다고 가정하여 유전율 ε을 ε0로 간주 ※ 일반적인 매질의 유전율 ε에 대해서는 뒤의 4절에서 자세히 다루기로 함

3-2 전 계 전계(electric field) :점전하 q는 없고 다만 점전하 Q만이 존재할 경우 3-2 전 계 전계(electric field) :점전하 q는 없고 다만 점전하 Q만이 존재할 경우 점전하 q가 있던 곳인 위치 r인 점에서의 물리량 * 전계의 특징 - 단위는 N/C 로 표시하나 실제로 많이 사용되는 단위 V/m, 즉 단위 미터당 볼트(volt)임 - 단위전하당 힘으로 만약 전하가 그 지점에 놓인다면 그 전하에 가해질 힘을 발생시킬 잠재능력 - 벡터 방향은 양전하에서는 밖으로 향하고, 음전하로는 들어오는 방향을 취함

중첩원리(principle of superposition) - 여러 개의 전하에 의한 전계 = 각각의 전하에 의한 전계들의 합 - 원점에서 r1, r2, …., rN 만큼 떨어진 위치에 있는 점전하 Q1, Q2, …., QN 에 의한 원점에서 r 만큼 떨어진 임의의 위치에 가해지는 전계 그림 3-6 여러 개의 점전하 분포 시 중첩의 원리를 이용한 전계 계산

연속적인 전하분포에 의한 위치 r 에서의 E(r) 길이 L상에 분포한 선전하밀도 표면 S상에 분포한 면전하밀도 체적 V내 분포한 체적전하밀도 dl, ds, dv 와 적분영역 L, S, V 도 모두 위치벡터 r‘ 로 표시됨 (a) 점전하 Q (b) 선전하밀도 ρl (c) 면전하밀도 ρs (d) 체적전하밀도 ρv 그림 3-5 다양한 형태의 전하분포

3-3 전 위 전계는 벡터이어서 다루기 어려우므로 어떻게 하면 물리적으로 의미있는 스칼라인 물리량으로 바꾸어 표현할 수 있을까? 그림 3-7 전계 내에서 전하를 움직일 때 소모되는 에너지

그림 3-8 전위의 등가개념

일반적으로 특별한 언급이 없으면 무한 지점의 전위를 0 이라고 취함 예) 점전하 Q가 원점에 있을 경우 각각 r1, r2, ..., rn 에 있는 점전하 Q1, Q2, ..., QN 들에 의한 r 지점의 전위 전하밀도 ρl(ŕ), ρs(ŕ), ρv(ŕ)가 연속적으로 길이 L, 면적 S, 체적 V 만큼 분포된 경우 r 에서의 전위

두 점 A와 B의 전위를 각각 VA와 VB라고 하면, 전위차 VAB *. 두 점 A와 B를 잇는 적분경로는 어떤 것을 취해도 VAB는 항상 일정 정전계에서 임의의 폐경로 L에 대한 선적분은 항상 0 임 정전계는 비회전장이며 단지 보존장 *. 전계의 특성 - 전계의 방향은 전위가 높은 지점에서 낮은 지점으로 향함 - 전위가 같은 등전위면과 전계는 서로 수직

3-4 전속밀도와 Gauss 법칙 쌍극자 모멘트(dipole moment) : p=Qd Q : 분극된 양전하의 크기 그림 3-12 전계에 의한 유전체의 분극효과

유전체 내의 총전계:E=E0 - Ed ( Ed :유전체 내의 전기쌍극자들에 의한 전계) 전계와 유사하지만 매질이 변하여도 변하지 않는 새로운 물리량이 필요함 전속밀도(electric flux density) : D=ε0E + P (단위 : C/m2) 유전율(permittivity) : ε = (1 + χe) ε0 = εr ε0 단위 : F/m εr : 상대유전상수 (relative dielectric constant) 전계와 전속밀도의 관계식 : D= ε E

ρv(r′) 가 임의의 유전체 내의 V 내에 연속적으로 분포된 경우 임의의 유전체 내에 점전하 Q가 존재할 경우 * 특성 : 전속밀도는 단지 전하량(Q)과 거리(|R|)만의 함수임 ρv(r′) 가 임의의 유전체 내의 V 내에 연속적으로 분포된 경우 Gauss법칙 : 폐곡면 S 를 나가는 전속 = 체적 V 내의 총 전하량

3-5 도전전류와 저항 전하보존의 원리 전류의 연속방정식(continuity equation) 3-5 도전전류와 저항 전하보존의 원리 단위시간당 임의의 체적 V 내에서 줄어드는 전하량 ß 체적 V를 감싸는 폐곡면 S를 통해 밖으로 흘러나가는 전류의 총합 전류의 연속방정식(continuity equation) *. 회로이론에서 Kirchhoff의 전류법칙 : 시간에 따라 전하분포가 변하지 않는 정상상태 전류

전도전류 : 도체내의 자유전자들이 인가 전계의 반대방향인 속도 v로 움직임 이러한 자유전자의 흐름과 반대방향으로 흐르게 되는 전류 Jc=ρvv Ohm 법칙 : Jc=σ E σ 매질의 도전율(conductivity) 단위는 A/Vm = S/m (Siemens per meter) 그림 3-15 전계가 가해졌을 때의 도체 내의 자유전자 흐름

도선의 저항(resistance) 예) 균일한 단면적 S , 길이 l 인 도체에 전압 V 를 가할 경우 그림 3-17 균일 도선의 저항

3-6 경계치 문제 I: 경계조건 전자기 문제의 어려움 : 매질의 비균일성 표 3-1 정전계가 만족해야 하는 Maxwell 방정식 미분형 정전계 Maxwell 방정식 적분형 정전계 Maxwell 방정식 전자기 문제의 어려움 : 매질의 비균일성 ↓ 균일한 매질 영역의 합으로 표현 그림 3-20 이 책에서 다루는 비균일 매질의 구조와 특성별 분류

경계치 문제(boundary value problem) : 3개의 서로 다른 영역으로 구분 영역-I : 경계면을 제외한 균일한 유전체 영역으로 내부에 전하가 존재하는 경우 [도체 내부영역은 전하가 0이므로 고려할 필요가 없음] [경계면상에 면전하가 존재해도 이 영역에서 배제함] 영역-II : 경계면을 제외한 균일한 유전체 영역으로 내부에 어떠한 전하도 없는 경우 [경계면을 제외한 도체 내부영역에서는 전계가 0 이므로 고려할 필요가 없음] 영역-III : 서로 다른 두 균일한 매질의 경계영역 [경계면상에 면전하가 존재하면 이 영역에 포함시킴] 그림 3-21 서로 다른 두 유전체의 경계면

표 3-2 정전계가 만족해야 하는 경계조건 경계면 종류 성분 두 유전체 경계면 완전도체 경계면 접선방향의 성분 E2t=E1t 법선방향의 성분 D2n-D1n=ρs D1n=-ρs 3-21 서로 다른 두 유전체의 경계면(계속)

3-7 경계치 문제 II: Poisson 방정식과 Laplace 방정식 유전체 내부영역 에서 ε(r) = εN 으로 균일하며, 임의의 체적전하밀도 ρv(r)이 분포할 경우 유전체 내부영역 에서 ε(r) = εN 으로 균일하며, ρv(r)=0인 경우

경계치 문제(boundary value problem)의 해석과정 1단계 : 영역을 분할하는 경계면을 나타내기 적합한 좌표계의 선정 <주의점> 경계면을 하나의 변수로 표현가능한 좌표계를 선정해야 한다. 또한 전위가 공간적으로 변하지 않고 일정한 방향이 있거나, 대칭성이 있는가를 잘 살펴야 한다. 전위 V(ξ , η , ζ) 의 변수분리(separation of variables) : V(ξ , η , ζ) =F1(ξ) F2(η ) F3(ζ) 2단계 : 각각의 유전체 영역에 대해 Laplace 방정식의 해석 <주의점> Laplace 방정식을 풀 때 각각의 균일한 유전체 영역마다 별도의 해를 구해야 한다. 물론 Poisson 방정식을 풀 경우에도 마찬가지로 각각의 균일영역에 대해 풀어야 한다. 3단계 : 경계조건의 대입 <주의점> 경계면에서는 표3-2의 경계조건을 만족해야 하고, 그 외에도 경계면에서 당연히 성립하는 물리적인 조건도 만족해야 한다. 4단계 : 경계조건으로부터 미지수를 계산하여 최종 해를 구함 <주의점> 구한 값의 타당성을 확인하여 계산상의 오류를 검산한다.

3-8 전기 영상법 완전도체 무한평면인 z=0 위의 공기로 채워진 공간상의 점 (0,0, h)에 점전하 +Q가 있을 경우의 전계 분포 A. 해석방법-1 : 경계치 문제 해석(3-6절에서 기술한 방법 적용) B. 해석방법-2 : 영상법(image method)이용 z<0의 도체를 공기로 대체 점(0,0,-h)에 점전하 -Q추가 * 이 때의 점전하가 영상전하 [등가문제] 공기로 채워진 무한공간에 두 개의 점전하가 있을 경우의 전계분포(중첩원리를 적용) 그림 3-28 접지된 무한도체 평면 위의 점전하에 의한 전계

3-9 정전 에너지 정전에너지(electrostatic energy) 3-9 정전 에너지 <문제-1>점전하 Q1 , Q2 , Q3 의 순서로 각각 점 P1 , P2 , P3 로 이동시 일의 총량 We Q1 을 무한점에서 점 P1까지 이동시 : We1=0 Q2 을 무한점에서 점 P2까지 이동시 : We2=Q2V21 Q3를 무한점에서 점 P3까지 이동시 : We2=Q3(V31+V32) Vab는 점전하 Qb만이 있을 경우 점 Pa 에서의 전위 We = We1+We2+We3 = 0+Q2V21+Q3(V31+V32) <문제-2>점전하 옮기는 순서를 Q3 , Q2 , Q1 으로 바꿀 때 소요되는 일의 총량 = 0+Q2V23+Q1(V12+V13) =We 정전에너지(electrostatic energy) 그림 3-31 세 개의 점전하를 옮기는데 필요한 일의 총량

3-10 정전용량 정전용량(capacitance) : 어떤 구조가 얼마나 큰 정전 에너지를 보유할 수 있는가를 나타내는 물리량 3-10 정전용량 정전용량(capacitance) : 어떤 구조가 얼마나 큰 정전 에너지를 보유할 수 있는가를 나타내는 물리량 그림 3-33 임의의 두 도체로 구성된 콘덴서

정전용량을 구하는 방법-1 정전용량을 구하는 방법-2 도체 경계면을 가장 쉽게 나타낼 수 있는 좌표계를 선정한다. 두 도체에 각각 +Q와 -Q인 총전하를 가졌다고 둔다. ( Q 의 크기는 아무렇게나 취해도 됨) Gauss법칙을 써서 두 도체 주변영역에서의 전계 E를 구한다 두 도체간의 전위차 를 구한다. 정전용량을 구하는 방법-2 두 도체표면은 각각 V21+V0와 V0인 등전위면이라고 둔다 ( V0는 어떤 값이라도 가능하나, 통상 0 으로 취하면 편함) Laplace 방정식을 풀어서 두 도체 주변영역에서의 전위 V를 구한다. E= - V로 부터 두 도체 주변영역에서의 전계를 구한다.