Final Examination, 2008 Fluid Mechanics Professor Joon Hyun Kim Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) [4.9] [4.10] [4.11] [4.12] [4.13]

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 4.9 Derive the momentum equation from the general conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor. 1) 운동에너지 보정계수 (Kinetic-Energy Correction Factor) 주로 개수로 또는 폐수로 문제를 다를 경우 소위 말하는 1차원유동이라는 가정하에서 해석한다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 전체 유동을 각 단면에서 평균유속 V를 갖는 하나의 커다란 유관이라고 생각한다. 그러나, 로 주어지는 단위중량당의 운동에너지는 전단면에 걸쳐 취한 의 평균값이 아니다. 그러므로 한 단면을 흐르는 유체의 단위중량당의 평균 운동에너지를 의 항으로 나타내기 위하여, 가 그 단면을 흐르는 단위중량당의 운동에너지와 같도록 만드는 운동에너지 보정계수 를 계산할 필요가 있다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) <그림 3.1> 단면에서의 유속분포와 평균 유속 그림을 참조하면, 단위시간당 단면을 통과하는 운동에너지는 적분법칙에 의한 에너지방정식 으로부터 다음과 같다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 여기서, 는 단위시간당 단면을 통과하는 중량이고 는 단위중량당 동역학에너지이다. 앞의 식을 단면을 통과하는 단위시간당의 운동에너지와 같다고 놓고, 평균유속에 의한 운동에너지 로 표시하면 다음과 같다. 이 식을 에 관하여 풀면 운동에너지 보정계수 가 얻어진다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 평균유속을 사용한 베르누이 방정식은 다음과 같이 표현된다. 값은 관류의 경우 층류 유동에서는 =2, 난류 유동에서는 대략 1.01에서 1.10사이의 값을 갖는다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 2) 운동량 보정계수 (Momentum Correction factor) 운동량은 힘*시간, 즉, 질량*유속으로 정의된다. 범용적 보전식의 단위질량당 운동량은 유속이다. 따라서 적분방식의 선형운동량방정식은 다음과 같다. 위의 식을 x 방향에 대하여 정리하면 다음과 같다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 임의의 검사체적을 고려하여, 단면이 유속에 수직이고, 단면에 대하여 유속이 일정한 평균유속을 가정한다. 다음 그림의 유속 및 단면의 정류에 대해서는 위의 식은 다음과 같이 단순화된다. <그림 3.2> 가변 단면에서의 힘, 유속, 및 단면 벡터

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 즉, 앞의 운동량 방정식 중 경계면에서의 단면을 통과하는 운동량만 남는다. 여기서, 는 계에 유입되거나 유출되는 질량이며 연속방정식의 원리에 의하여 동일하다. 단면에 대하여 유속이 변한다면 운동량 보정계수 를 이용하여 평균유속을 사용한 운동량을 계산할 수 있다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 따라서 운동량 보정계수 는 다음과 같다. 의 값은 관류에 경우 층류에 대하여 4/3의 값을 지니며, 1보다 작을 수는 없다. 난류의 경우에는 1에서 1.05의 값을 가진다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 4.10 The velocity profile in the turbulent flow is given by the equation of from the law of Prandt. Derive the kinetic energy correction factor for this. (관의 난류에서의 유속분포는 Prandt의 법칙으로부터 로 주어진다. 운동에너지 보정계수는?)

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Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 4.11 What is the flow rate the of the venturi meter as shown below? (다음과 같은 Venturi Meter에서 유량은?) (S=0.90, p1-p2=20kPa)

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Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 4.12 Find the force exerted on a fixed vane when a jet discharging 60 L/s water at 50 m/s is deflected through 135°. (135°구부러진 고정날개에 작용하는 힘을 구하라. 분류는 물이고 유속 50m/s, 유량 60L/s이다.)

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 그림 3.34 고정날개에 접해서 유입되는 自由噴流(자유분류)

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 그림 3.34를 참조하면서 식 x, y방향에 적용하면 따라서 고정날개에 작용하는 힘의 성분은 각각 와 크기가 같고 방향이 반대이다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 4.13 Apply the continuity, momentum, and energy equation to the hydraulic jump and derive the relative equation to solve the problem of depth after jump by using the figures as shown below.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) Figure 3.41 Hydraulic jump in a rectangular channel. 그림3.41 직사각형 수로에서 수력도약 직사각형 단면을 갖는 水平開水路(수평개수로)에서 수력도약에 관련하는 변수들 사이의 관계는 연속방정식, 운동량방정식 및 에너지방정식들을 사용하여 쉽게 얻을 수 있다. 편의상 水路幅(수로폭)을 단위폭으로 한다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 연속방정식(그림 3.41)은 운동량 방정식은 에너지방정식(액체표면상의 점들에 대해 적용)은

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 여기서 는 수력도약으로 인한 손실을 나타낸다. 처음 두 방정식으로부터 를 소거하면 이 식에서 근호 앞에 있는 복 부호 중 양의 부호만을 택하였다. (음의 y2값은 물리적 의미가 없다) 깊이 y1과 y2를 공액 깊이(conjugate depths)라 말한다.

Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 수력도약은 비가역량을 발생시키는 매우 효과적인 장치이므로 滑降斜面路(chutes, 활강사면로)의 또는 배수로의 바닥에서 유동중인 유체의 과다한 운동에너지를 소실시킬 목적으로 통상 이용된다. 또한 도약경사면에 생성되는 롤러현상이 격렬한 교란을 수반하므로 효과적인 混合室(혼합실)로 사용되기도 한다. 수력도약을 실험적으로 측정한 결과는 y2값이 방정식으로 계산한 값과 1% 이내의 오차를 보일 뿐이다.