환경시스템 ch6 20051477 유가영

1. 하천의 물질이동식을 유속만 있는 경우와 분산이 있는 경우에 대하여 유도하라. (BOD 및 용존 산소에 대하여). 용존산소 농도의 주간 변화량 일평균최소허용농도의 수질 기준을 만족하기 위해서는 비정상상 태의 수질농도의 해가 필요하므로 다음과 같은 용존산소에 대한 물질이동식을 고려한다. ka는 재폭기속도 상수(T-1), Cs 는 포화용존산소농도(ML-3), kd는 CBOD 탈산소속도상수(T-1), kn는 NBOD 탈산소속도상수(T-1), L(x)는 CBOD 농도(ML-3), N(x)는 NBOD 농도(ML-3), P(x,t)는 일차생산속도 (ML-3T-1), R(x)는 식물의 호흡작용(ML-3T-1), S(x)는 침전물산소요구량(ML-2T-1), H (L) 는 평균 수심임.

위의 식은 특성법을 사용하여 수치해석으로 풀 수 있다. 본 방법은 유체의 흐름을 따라 흘러가면서 농도를 계산한다 위의 식은 특성법을 사용하여 수치해석으로 풀 수 있다. 본 방법은 유체의 흐름을 따라 흘러가면서 농도를 계산한다. 즉, 시각별 농도의 위치를 구한다. 따라서, 입자추적법이라고도 함. 위의 식은 편미분방정식이기에 초기조건과 경계조건이 필요함. 초기조건은 t=0시의 농도와 경계조건은 구간의 경계 지점에서의 농도임. 물질이동식은 일차생산에 대한 함수를 필요로 한다. 광합성에 의한 산소생성속도 P(t)는 반주기 sine 곡선으로 표현된다.

Pm는 일차 산소생산의 최대속도 (mg L-1 d-1), ts는 광합성이 시작되는 시간 (d), f는 광합성이 발생하는 시간 (보통 ½일). 하루이상의 기간에 대하여 일차생산의 주기함수를 확장하기 위하여, Fourier급수를 사용함. n는 cycle number임. 산소농도의 주간변화량도 지배방정식이 편미분방정식이기 때문에 Fourier 급수를 이용하여 다음과 같이 표현된다. T는 반주기(0.5일)임.

Fourier 급수의 계수는 경계조건에서 평가됨. 다음 Fourier 급수로 평가된 한 지점에서의 용존산소의 농도 변화임. 용존산소농도는 오전 7-8시 사이에 가장 낮다 (야간에는 호흡만 있음). 최대 광합성은 정오와 오후 4시 사이에 일어난다. 최대광합성 생산속도 Pm과 최대용존산소농도는 일치하지 않음. 지연시간은 재폭기, 호흡, 광합성속도 등에 의하여 결정됨. 위의 그림에서 Fourier 급수는 A0=16.16, A1=0.575, A2=-0.1, B1=-1.025, B2=0.0 임. 하천의 여러 지점에 대하여 모형의 파라미터를 보정하여 Fourier 급수를 추정하고, 장래 변화를 예측할 수 있음. 재폭기, 탈산소, 질산화, 저질, 최대광합성, 호흡속도 등이 보정이 필요한 파라미터임.

표 6.5 보정을 위한 모형 입력자료

그림 6.10 여러지점의 주간용존 산소의 현장 자료 (a) x=1.6mi (b) x=2.7mi (c) x=6.8mi

2. Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라. 1925년, Streeter and Phelps, 오하이오강의 용존산소, “sag curve”, 용존성 유기물의 BOD의 분해 때문에 용존 산소가 감소, 정상상태 L는 최종 BOD 농도 (ML-3), u는 평균 유속 (LT-1), kd는 1차 탈산소 속도 상수(생물학적 분해능 계수) (T-1)

C는 용존 산소 농도 (ML-3); L는 최종 BOD 농도 (ML-3); Cs는 포화 용존 산소 농도 (ML-3); ka는 1차 재포기 속도 상수 (T-1) 정상상태인 경우

변수분리법나 적분인자법으로 결핍용존산소 농도를 구함. 는 적분인자, q(t)는 부하 함수임.

그림 6.3 Streeter-Phelps의 전형적인 D.O. Sag Curve. 위 : 최종 BOD 농도는 거리에 따라 지수적으로 감소한다. 중간 : D.O. 부족량은 하천내 탈산소율이 재폭기율과 같을 때, 최고점에 도달한다. 아래 : D.O. sag curve의 임계점은 거리가 xc일때이다.

3. 하천의 용존산소농도에 영향을 미치는 반응을 서술하라. 여러 유입원과 파라미터는 D.O. 감소곡선에 영향을 미 침. 자체 정화율은 Fair and Geyer의해서 탈산소속도 상수에 대한 재폭기속도 상수(ka/kd)로 정의됨. 최종 BOD(L0)의 초기 농도는 임계 부족 농도에 직접 적으로 비례함. 초기 BOD 농도가 클수록, xc에서의 용 존 산소 부족 농도도 커짐. x=0에서의 최종 BOD 농도 L0는 배출된 오염원이 강의 유량에 의해서 희석된 값 임.

BOD5 (5-day BOD)에 1.47을 곱하여 BODU를 구함.  W 는 오염부하량 (MT-1), W는 방류시 순간적으로 충분히 혼합됨. 오염부하 유량을 무시할 수 없다면, 유량-가중 평균 농도를  계산함. 아래첨자 w는 오염부하를 나타내며, s는 하천을 의미함.

온도는 영향은 다음과 같음. 1. 재폭기속도상수는 온도가 증가함에 따라 증가함. 2. 용존산소의 용해도는 온도가 증가함에 따라 감소함. 따라서, 재폭기의 추진력은 다소 감소함. 3. 탈산소속도상수는 온도가 증가함에 따라 증가함. 속도상수와 절대온도의 관계 (Arrhenius, 1889). 활성에너지는 적 은 온도 범위에서 일정함. Ea는 활성에너지, R은 완전기체상수, T 는 절대온도, A는 지수함수의 앞에 붙는 상수임. 탈산소에 대한 θ값은 보통 1.048이며, 재폭기는 1.024임. 온도 증 가에 따라 임계부족량 Dc가 상류로 이동됨(그림 6.4b). 온도 증가는 용존산소 포화농도를 현저히 감소시켜, 재폭기(Cs-C)에 대한 추진력을 제한함으로서 용존 산소 농도(C)를 감소시킴. 

그림 6.4 임계 용존 산소 부족 농도(Dc)에 관한 오염부하량(W), 온도(T), 유량(Q), 초기 부족량(D0)의 영향.

하천 유량의 영향 가장 중요한 영향은 초기 BOD 농도 L0에 대한 것임. L0=W/Q. 재폭기속도상수는 종종 평균 유속의 지수 함수와 평균 수 심의 역지수 함수로 표현됨. 유량과 수심, 유속, 하폭의 관계는 다음과 같음. 여기서, a = 0.4-0.7, b = 0.3-0.5, c = 0-0.25 임.

5. 농도의 해를 구하는 방법에 있어서 중첩의 원리를 설명하라. Streeter-Phelps의 정상상태의 용존산소모형을 수정하여 NBOD, SOD, 순일차생산(P-R), 비점오염원에 의해 발생하는 이 면결핍DO농도의 영향을 해석할 수 있다. 각각의 영향을 해석하여 합하여 총괄 해를 구한다. 그림 6.6은 결핍 DO에 영향을 미치는 반응을 나타낸 것이다. 야 간에 호흡이 광합성보다 크면 DO는 감소하고, 주간에는 일차생 산력에 의한 산소의 생성이 호흡보다 크므로 DO가 증가한다. 일 출전의 시간이 한계조건(R>P)이 된다. 위의 영향을 고려한 물질이동식은 다음과 같다. 정상상태를 가정하고 L과 N의 해를 대입한다.

그림 6.6 DO 부족(D)의 모식도. CBOD (L), 질소에 의한 탈산소를 가지는 (kn) NBOD, 탄소성 탈산소 (kd), 재폭기 (ka), CBOD의 침전 (ks), 순 광합성 (P-R), SOD (S).

비균일 상미분방정식에 대한 해를 적분인자법으로 푼다. 위 식의 우변중 첫 번째 항은 재폭기를, 두 번째 항은 초기 CBOD(L0)를, 세 번째 항은 초기 NBOD(N0)를, 네 번째 항은 SOD(S0)를, 다섯 번째 항은 순호흡율(R-P)를, 마지막 항은 비점오염원에 의한 이면 BOD(Lb)를 나타낸다.

표 6.4 하천에서 생성원/감소원별 결핍 용존산소농도의 물질평형식 및 해

그림 6.7 생성원/감소원별 결핍 DO 농도 변화

6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라 하천의 수질관리는 오염원의 정확한 파악으로부터 유입된 오염물의 하천내에서 물리, 화학, 생물학적 변화를 통한 자정 작용과 하천의 수량변화를 정확히 규명함으로서 이루어질 수 있으나, 하천의 오염현상에 있어 대상규모가 크고 여러 요소 가 복잡하게 영향을 미치고 있는 현상에서는 실험적 연구에 병행하여 수학적 모델을 이용하여 오염현상을 종합적으로 파 악하고 모델내 인자를 변화시키므로 근본적인 수질개선 대책 을 강구하는 것이 최근 가장 많이 사용되는 수법이다. 하천의 수질모델링은 가장 신뢰성 높은 수질 모델을 이용하여 목적 수질을 유지·달성하기 위한 오염부하량의 분배나 규제를 보 다 합리적으로 수행하기 위한 대안을 제시하는데 있다.

수질모델은 1925년 Streeter-Phelps의 DO수지에 관한 모델을 시점으로 계속 발전되어 왔다 Thomas(1948)는 수중유기물의 변화과정에서 침전항을 첨가하 였으며 Camp (1963)는 침전물로부터의 유기물의 재부하와 수 중식물의 광합성에 의한 용존산소항을 첨가시켰다. O'connor와 Ditoro(1962)는 광합성에 의한 산소생성을 Fourier급수를 이용 하여 일주변화를 나타내고 질소화에 의한 산소소모량과 하상퇴 적물에 의한 산소소모량을 용존산소 변화에 포함시켜 최초로 식 물의 광합성활동에 따른 DO수리 모형을 개발하였으며, Yeh(1973) 등은 BOD와 DO의 1차 형상을 예측하였다. 미 육군 공병단의 HEC(Hydrologic Engineering Center, 1978)에서 개발한 WQRRS모델은 저수지, 하천수리, 하천수질 모델로 구성 되어 있으며 부영양화를 고려한 생물학적 simulation을 할 수 있도록 되어있다.

이상의 여러 인자를 종합적으로 고려하여 미국 EPA 수자원국 (1985)에서 Qual2를 변형 보강한 Qual2E모델을 개발하였는데 수체내 확산, 이류, 구성인자의 반응 및 상호작용, 오염원생성, 분 해, 침전 등에 관한 식으로 구성되어 있으며 Qual2에서 고려되지 못한, 유기질소, 유기인을 포함하여 15개 수질항목으로 구성하고 물질수지 균형식에서 농도-시간의 미분항이 포함되어 정상상태(steady- state)에 도달하는 시간이 많이 걸리 는 단점을 보완하고 PC용으로 개발된 것이다. 이 모델은 하천유하방향의 1차확산과 이류를 고려하고 있으며 많 은 지점에 있어서의 오염부하, 지류유입, 취수, 유출 등을 정상상태 또는 동적상태에서 고려할 수 있고 대상하천을 수리학적 특성이 동일하다고 생각되는 구간으로 구분할 수 있으며 그 구간을 다시 소구간별로 대상항목에 대해 물질수지를 계산할 수 있다.

7. 6장 6절의 불확실성 분석 방법을 설명하라 (인터넷이나 기타 자료 참조). 표 6.6 불확실성 분석 방법의 비교

환경질 모형은 실제의 근사값으로 단순화되었기 때문에 다음과 같 은 오차를 포함한다. 모형 오차. 상태 변수의 오차 (종속변수 및 초기조건). 모형을 운영하기 위해서 사용된 입력자료의 오차. 파라미터 오차 (속도상수, 계수, 독립변수). 오차의 첫 번째 형식인 모형오차는 모형의 부정확한 수식화이다. 즉, 환경현상과 표현된 모형의 미분방정식간의 차이이다. 모형 오차는 대부분 현장자료가 모형의 예측치와 일치하는 않는 것이며, 불확실성 분석을 통해 오차의 범위를 해석할 수 있으나, 현실적인 방법은 동일한 문제에 대해 다양한 모형을 사용하는 것이다. 모형들간의 예측치의 차이에 의하여 모형오차를 평가할 수 있다. 입력자료와 파라미터 오차와 같은 입력된 변수의 오차는 민감도분석, 일차 분석, Monte Carlo 모의 등으로 해석함.

일차 반응(First-Order Reactions) 8. 본 장에서 이용한 1,2계 상미분방정식의 수학적 해석 방법을 설명하고, 초기 및 경계조건을 이용한 해를 구하라. 일차 반응(First-Order Reactions) 일차 반응은 환경 화학을 모델링시 가장 일반적으로 적용된다. 많은 지식이나 환경적인 증거가 없을 때, 모델링 수행자는 반응이 1차 반 응이라고 가정한다. 1차 반응은 반응 속도가 반응물 농도의 1승에 비례하는 것이다.

는 변수분리 및 적분으로 풀릴 수 있다. 본 식은 선형 1차 상미분방정식이다. (17) (18) 식(17)은 제안된 반응기작이 옳은 지를 결정하고, 높은 속도상수를 구하기 위하여 도표(그림 3.4)로 그릴 수 있는 선형화된 형태이다. 식(18)은 A종의 농도를 시간의 함수와 초기조건     로 나타낸 최종 해이다.

마찬가지로, 식(16)도 적분될 수는 있지만, 미지수 두 개(A 와 B)를 가진 상미분 방정식이다 마찬가지로, 식(16)도 적분될 수는 있지만, 미지수 두 개(A 와 B)를 가진 상미분 방정식이다. 따라서 식(18)의 A를 식 (16)에 대입하여 풀어야 한다.                                                        (19) 식(19)는 1차방법으로 풀수 있는 선형 비제차 상미분방정식 이다.                       (20) 식(18)의 대입 없이 식(20)을 선형화하는 것은 어렵다:

                                                                 (21)                (22) 1차반응의 최종 형식은 지수(대수)적 증가를 도출한다. 세포 A 는 새로운 세포 덩어리를 합성하고, 분열하여 A세포 두 개가 될 것이다.                                                                                    (23)                                                                                       (24)                                                         (25) 식(24)는 반응속도식을 검증하고 속도상수를 유도하기 위한 선 형화된 변형식이다. 식(25)는 범위가 없이 증가하는 지수 형태를 나타낸다. 

전형적인 1차 반응의 예는 다음과 같음. 방사성동위원소(방사능) 감소 하천에서의 생화학적 산소 요구량 비응집 고형물의  침전 박테리아와 조류의 사멸율 및 호흡율 재폭기와 가스 이동 조류와 박테리아의 대수성장단계(생산반응) 정확하게 1차반응인 것은 방사성 동위원소의 붕괴뿐임. 그 러나, 다른 반응들도 근사적으로 1차반응으로 해석할 수 있 음.

2차반응( Second-Order Reactions ) 단일 반응물 2개의 반응물 자체촉매  단일 반응물의 2차반응 비선형 상미분방정식 1/A 대 시간의 도표는 k2의 기울기를 갖음. 2개 반응물의 2차반응은 다음과 같음. 시간에 대한 ln(A/B)의 도표는 -k2(B0 – A0) 의 기울기를 가진다.

그림 3.4 회분식 반응조의 반응차수, 반응속도식, 농도 그림 3.4 회분식 반응조의 반응차수, 반응속도식, 농도