1장 : 확률이론 확률통계론 TexPoint fonts used in EMF.

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2 확률이론은 불확실성 혹은 기회를 다루는 과학적인 툴.
1 확률이론 1.1. 확률 (Probability) 확률이론은 불확실성 혹은 기회를 다루는 과학적인 툴. > 확률이론은 실제로 발생하는 다양한 결과들의 기회 혹은 가능성을 이해하거나 설명하기 위한 수학적 구조를 제공. 어떤 실험의 표본공간 (Sample Space) 는 모든 가능한 실험 결과들의 집합 > 예를 들어 동전을 한 개 던질때 > 두개의 주사위를 던질때 > 어떤 실험이 차의 수명을 측정한다고 할때 >

3 예제 : 주사위 2개를 던졌을 때 나오는 눈에 대한 표본공간
1 확률이론 1.1. 확률 (Probability) 예제 : 주사위 2개를 던졌을 때 나오는 눈에 대한 표본공간

4 1 확률이론 1.2. 사건 혹은 사상 (Events) 사건 또는 사상 (Event) E 는 가능한 한 개 이상의 결과(outcome)들이 나오는 프로세스 혹은 절차로서 E는 표본공간 ( )의 부분집합. > 예제 > 주사위를 던져 앞면이 나올 사건 : 두개의 주사위를 던져 합이 7일 사건 : 사건 E의 확률은 로 표기. >

5 1 확률이론 1.2. 사건 혹은 사상 (Events) 사건A의 확률:

6 1 확률이론 사건 E의 여집합 (complement ) 는 사건 E를 포함하고 있지 않는 표본공간내의 모든 사건들로 구성됨.
1.2. 사건 혹은 사상 (Events) 사건 E의 여집합 (complement ) 는 사건 E를 포함하고 있지 않는 표본공간내의 모든 사건들로 구성됨. > A사건의 여집합 의 확률:

7 1 확률이론 사건 E와 F의 교집합 (Intersection)은 로 표기 는 사건 E와 F가 동시에 발생할 확률
1.3. 사건의 조합 (Combinations of Events) 사건 E와 F의 교집합 (Intersection)은 로 표기 > 는 사건 E와 F가 동시에 발생할 확률 >

8 1 확률이론 1.3. 사건의 조합 (Combinations of Events)

9 1 확률이론 1.3. 사건의 조합 (Combinations of Events) 두 사건 E 와 F가 일때 사건 E와 F는 상호배반 (Mutually exclusive or disjoint)라고 한다. 이때 는 공집합을 의미. > 사건 A와 사건 B는 상호배반

10 1 확률이론 사건 E와 F의 합집합 (Union)은 로 표기 ,
1.3. 사건의 조합 (Combinations of Events) 사건 E와 F의 합집합 (Union)은 로 표기 > > , > 표본공간의 분할 (partition)은 상호배반인 사건 의 과정 (sequence)로서 을 만족. > 표본공간의 분할

11 1 확률이론 1.3. 사건의 조합 (Combinations of Events)

12 1 확률이론 공리 (Axioms) 1. 2. 3. If 가 상호배반일때 특징 1. 2. 3.
1.3. 사건의 조합 (Combinations of Events) 공리 (Axioms) > 1. 2. 3. If 가 상호배반일때 특징 > 1. 2. 3. 4. 만약 사건 E와 F가 상호배반이면 5. 6.

13 1 확률이론 사건 F가 주어졌을 때 사건 E의 조건부 확률 (Conditional probability) 1. 2.
> 1. 2. 3. 상호배반 사건들에 대하여 4. 조건부 확률 이 쉽게 구하여질 수 있을 때 유용함. >

14 1 확률이론 사건B 가 발생했을 때의 조건부 확률 사건B 가 발생하지 않았을 때의 조건부 확률
1.4. 조건부 확률 (Conditional Probability) 및 교집합 사건들의 확률 사건B 가 발생했을 때의 조건부 확률 사건B 가 발생하지 않았을 때의 조건부 확률

15 1 확률이론 1.4. 조건부 확률 (Conditional Probability) 및 교집합 사건들의 확률 예제 1.1 : 한 가족은 두명의 자녀가 있다. 그들 중 적어도 한명이 남자아이라는 것을 알고 있을때 두명 모두 남자아이일 확률은 ? > Sol) E={두 명 모두 남자일 사건}, F={적어도 둘 중 한 명이 남자일 사건}라 할때

16 1 확률이론 1.4. 조건부 확률 (Conditional Probability) 및 교집합 사건들의 확률 예제 1.2 : 항아리에 7개의 검은공과 5개의 하얀공이 담겨져 있다고 한다. 비복원추출(without replacement)로 2개의 공을 뽑는다고 할때 두 공 모두 검은공일 확률은 ? > Sol) E1={첫 번째 검은 공이 뽑힐 사건}, E2={두 번째 검은 공이 뽑힐 사건}이라 할때 3개의 공을 꺼낼 때 모두 검은 공일 확률은

17 1 확률이론 A B C 사건의 독립 (Independence) 일때 사건 E와 F는 독립 일때 사건 들은 서로 독립
1.4. 조건부 확률 (Conditional Probability) 및 교집합 사건들의 확률 사건의 독립 (Independence) > 일때 사건 E와 F는 독립 일때 사건 들은 서로 독립 독립 A B C 독립적이지 않음 5 키 6피트 이상 몸무게 200 파운드 이상 빨간색 승용차 소유 독립

18 1 확률이론 전확률의 법칙 (Law of total probability) 이 의 분할이라고 할 때
1.4. 조건부 확률 (Conditional Probability) 및 교집합 사건들의 확률 전확률의 법칙 (Law of total probability) > 이 의 분할이라고 할 때 에 대하여 와 를 알고 있다고 하자. > 만약 를 알고 싶다면 ? 이 표본공간 S를 분할하는 상호배반 사건, 즉 이라고 할 때

19 1 확률이론 Pairwise independence Independence
1.4. 조건부 확률 (Conditional Probability) 및 교집합 사건들의 확률 Pairwise independence Independence 예제 1.3 : 번호 1,2,3,4가 씌여져 있는 4개의 공을 담고 있는 항아리에서 한 개의 공을 꺼낼때 라고 정의한다면 >

20 1 확률이론 1.5. 사후확률 (Posterior probability) 예제 1.4 한 회사는 특정유형의 차를 판매하고 있다. 그 차들은 4공장에서 조립한다고 한다. 공장 I에서 그차의 20%, 공장 II에서 24%, 공장 III에서 25%, 공장 IV에서 31%를 공급한다. 차를 구입하는 고객은 본인이 구매한 차가 어느 지역에서 조립되는지는 알지 못한다. 따라서 구입한 차가 4 공장 각각으로부터 조립되었을 확률은 각각 0.20, 0.24, 0.25, 및 0.31이 된다. 신차는 1년의 보증기간을 가지고 있다. 만약 구입한 차가 클레임을 받을 확률이 > 라고 할때 구입한 차가 클레임 받을 확률은

21 1 확률이론 베이즈 정리 (Bayes' Theorem) 만약 이 표본공간의 분할이라고 한다면 사건 가 주어졌을때
1.5. 사후확률 (Posterior probability) 베이즈 정리 (Bayes' Theorem) > 만약 이 표본공간의 분할이라고 한다면 사건 가 주어졌을때 사건 가 발생할 사후확률 (posterior probability)은

22 1 확률이론 1.5. 사후확률 (Posterior Probability) 예제 1.4 (계속) : 만약 구입한 차의 보증기간내에 클레임을 받았다면 이는 사전확률 (prior probabilities)를 어떻게 변화시킬까 ? > 클레임을 받았다는 정보는 그 차가 공장 II에서 만들어 졌을 확률을 증가시킨다. > → 공장 II에서 클레임 받을 확률이 0.11로 가장 높기 때문

23 곱셈규칙 (Multiplication rule)
1 확률이론 1.6. 셈기법 곱셈규칙 (Multiplication rule) > 실험이 가능한 결과들의 수가 각각 인 K 요소로 구성된다고 할때 총 가능한 실험결과의 수는 “전체 n개로부터 k개를 선택하는 가지 수는? “비복원추출로 전체 n개로부터 k개를 선택하는 가지 수는? n개로부터 k를 선택하는 가능한 순열의 수는 순열 (permutation) 만약 k=n이면 순열의 수는

24 1 확률이론 “전체 n개로부터 k개를 선택할 경우 조합(combination) 순열 (permutation)
1.6. 셈기법 “전체 n개로부터 k개를 선택할 경우 조합(combination) 순열 (permutation) “선택의 순서가 중요하지 않음” “선택의 순서가 중요함” n개로부터 k(n≥k)개를 뽑는 조합(combination)은 비복원추출로 n개로부터 k개를 순서에 관계없이 선택하는 경우의 수에 해당한다. 가능한 조합의 수는 다음과 같다. 조합 (combination)

25 1 확률이론 Example 1.5 : 총 8명의 학생이 있다. 이 중 3명을 뽑아서 1, 2, 3등을 counting할 때
1.6. 셈기법 Example 1.5 : 총 8명의 학생이 있다. 이 중 3명을 뽑아서 1, 2, 3등을 counting할 때 총 8명 중 3명을 뽑을 때 > (3명의 순위를 매길 경우의 수). >