신기한 사이클로이드 발 표 자 : 6학년 심화반 2번 강승주 지도교사 : 김승진 선생님.

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1 신기한 사이클로이드 발 표 자 : 6학년 심화반 2번 강승주 지도교사 : 김승진 선생님

2 차 례 1. 연구동기 2. 연구주제 3. 이론적 배경 4. 제작실험 5. 알게 된 점 6. 참고자료

3 1. 연구동기 동물 다큐멘터리를 보고 있는데 독수리의 사냥장면을 우연히 보게 되었다. 그때 독수리가 먹이 감을 향해 날아갈 때 가장 짧은 경로인 직 선 경로를 지나지 않고 곡선으로 휘어서 날아가는 것을 보고 궁 금증이 생겨 인터넷에서 찾아보다가 프로젝트 주제를 이것으로 정하게 되었다. 그래서, 직접 제작실험을 통하여 사이클로이드 원리를 이해하고 이 원리를 사용하는 이유와 실생활에서 쉽고 유익하게 사용할 수 있는 곳과 방법을 알아 보고자 한다.

4 2. 연구주제 사이클로이드란? 사이크롤이드 곡선의 성질과 원리를 알아 본다. 사이클로이드 곡선 만들기 실험을 직접 해
보고 실생활에서 활용되고 있는 사례를 알 아 본다.

5 3. 이론적 배경 사이클로이드란? 자전거 앞 바퀴에 껌을 붙인 후 평평한 지면에서 전진하면 바퀴가 굴러감에 따라 껌도 움직인다. 이때 껌의 움직임은 하나의 곡선을 그리게 된다. 바퀴가 회전을 거듭할 때마다 곡선은 하나의 사이클을 이루며 반복하게 된다. 1599년 갈릴레이는 이 곡선을‘사이클로이드(cycloid)’라고 이름을 붙였다.

6 3. 이론적 배경 사이클로이드의 전설 수학에서의‘불화의 사과’는 바로 파스칼에 의하여 많은 성질들이 밝혀진
‘사이클로이드’이다. 사이클로이드라는 이름이 등장하는 책 중 하나는‘찰스 보벨리’의 책이다. 당시 수학자들은 힘과 운동을 수학적으로 설명하려는 시도를 많이 했기 때문에 사이클로이드는 수학자들의 관심의 대상이었다. 그리고 그 시대에 이루어진 많은 발견들에 대해 비난 그리고 상대의 공적을 깎 아 내리는 일까지 빈번히 생겼다. 그래서 사이클로이드에는‘불화의 사과’라는 별명이 붙게 되었다.

7 3. 이론적 배경 제작실험 설계도 [그림1] 실험 1 [그림2] 실험 2 [그림3] 위에서 봤을 때

8 3. 이론적 배경 나의 가설 실험 1 실험 2 사이클로이드 곡선 위의 각각 높이가 다른 지점에서 골프공을 떨어뜨리면.
어느 곳의 골프공이 먼저 바닥에 도달할까? 낮은 지점의 쇠구슬이 바닥과 거리가 가깝기 때문에 빨리 도달할 것이다. 실험 2 각각 높이가 같은 사이클로이드 곡선과 직선에서 골프공을 떨어뜨리면 어느 경로의 골프공이 먼저 바닥에 도달할까? 직선이 곡선보다 바닥과 거리가 짧기 때문에 직선 경로에서의 쇠구슬이 바닥에 빨리 도달할 것이다.

9 3. 이론적 배경 실험 방법 실험 1 실험 2 사이클로이드 곡선 위의 각각 다른 높이 지점에서 골프공을 떨어뜨린다.
어느 지점의 골프공이 바닥에 빨리 도달하는지 비교한다. 실험 2 높이가 같은 사이클로이드 곡선과 직선을 만든다. 각각의 곡선과 직선의 같은 높이에서 골프공을 떨어뜨린다. 곡선과 직선 경로 중 어느 곳의 골프공이 바닥에 빨리 도달하는지 비교한다.

10 4. 제작 실험 준비물 (1) 마트지 2장(전지), 50Cm 자, 줄자, 각도기, 콤파스, 목공용 풀, 순간 접착제, 연필, 칼, 골프공 2개, 디지털카메라 (2) 지름이 34cm인 원 (3) 10.0×108cm 마트지 : 1개 – 사이클로이드 1차, 2차 경로 몸체 (4) 5.0×108cm 마트지 : 1개 – 직선 경로 몸체 (5) 15×50cm, 15×60cm, 15×70cm 마트지 : 각 1개- 받침대(기둥) (6) 1.0×108cm 마트지 - 10개 - 사이클로이드의 1차, 2차 및 직선 경로 골짜기

11 4. 제작 실험 만들기 사이클로이드와 기둥 세우기 만들기 완료 직선경로 만들기

12 4. 제작 실험 실험 1 사이클로이드 곡선의 각각 다른 높이 지점에서 골프공을 떨어 뜨려 도달시간을 서로 비교해 본다. ▶1차 경로 : 높은 지점 ▶2차 경로 : 낮은 지점

13 4. 제작 실험 실험 2 사이클로이드와 직선 경로의 같은 높이에서 골프공을 떨어뜨려 도달시간을 서로 비교해 본다.

14 5. 알게 된 점 실험 결과 사이클로이드 곡선 위에 놓인 물체는 높이에 관계없이 바닥에 동시에 떨어지게 된다. 이런 이유로 사이클로이드 곡선을‘등시곡선’이라고도 한다. 사이클로이드 곡선 위에서는 가속도에 의해 보다 빨리 속도가 증가하 므로 사이클로이드 곡선은 직선보다 거리는 더 길지만 더 빠른 시간에 도착 하게 되는 것이다. 이런 이유로 사이클로이드 곡선을‘최단강하곡선’이라고 한다.

15 5. 알게 된 점 원리의 증명 지표면에 수직인 평면 위에 존재하는 두 점이 있을 때,
이 중 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 중력에 의해 이동할 때 가장 빠른 경로는 어떤 것일까요? 이 문제는 ‘뉴우튼’이 변분법(Calculus of Variations)을 이용하여 풀어냈습니다. 즉, 점 A에서 점 B로 가는 경로 C가 있다고 가정할 경우, 이 경로를 따라 중력에 의해 이동할 경우, 그 이동시간은 고등학교, 대학교 과정의 수학에서 배우게 되는 미적분방정식과 변분법을 이용해야 구할 수 있다는 사실을 알았으며, 이는 매우 높은 수준의 수학이므로, 지금 저희 수준에서는 수학식으로 증명 할 수가 없었습니다. 결과적으로, 위의 수학공식을 활용해 보면 사이클로이드가 가장 빠른 경로라는 사실과 사이클로이드에서는 어느 지점이든지 이동시간이 같음이 증명됨을 알았습니다. 저는 이 실험을 통하여 사이클로이드의 ‘등시성’과 ‘최단강하성’의 원리를 증명할 수 있었습니다.

16 5. 알게 된 점 활용 사례 기와 지붕 우리나라의 기와의 우묵한 곡선 모양은 빗물이 기와에 머 무는 시간을 줄여 빨리 흘러가게 하여 빗물이 기와에 스며 들어 목조 건물이 썩는 것을 막기 위해서 형성됨. 독수리의 사냥 독수리나 매는 땅 위의 들쥐나 토끼를 잡을 때 빠르게 잡기 위해서 사이클로이드에 가깝게 곡선비행을 하며 목표물을 향함.

17 5. 알게 된 점 활용 사례 롤러코스터 미끄럼틀, 롤러코스터를 사이클로이드와 비슷한 모양으로 만들면 더 속도가 빨라 스릴을 높일 수 있다.

18 6. 참고 자료 국립과천과학관 홈페이지 ( 신화속 수학이야기 (경문사, 이광연 저) 블러그 ▷ =Log&l ogNo= ▷ 네이버 지식인