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태양계 컴퓨터시뮬레이션학과 2016년 봄학기 담당교수 : 이형원 E304호, hwlee@inje.ac.kr
운동시뮬레이션 제6주 실습하기 태양계 컴퓨터시뮬레이션학과 2016년 봄학기 담당교수 : 이형원 E304호,
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지구의 운동 1차 방정식으로 변환 Modelica 기술 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 4 𝜋 2 𝑥 𝑟 3 , 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥
𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 4 𝜋 2 𝑥 𝑟 3 , 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 4 𝜋 2 𝑦 𝑟 3 , 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦 Modelica 기술 𝑑𝑒𝑟 𝑣𝑥 =−4∗𝑃 𝐼 2 ∗𝑥/𝑟^3; 𝑑𝑒𝑟 𝑥 =𝑣𝑥; 𝑑𝑒𝑟 𝑣𝑦 =−4∗𝑃 𝐼 2 ∗𝑦/𝑟^3; 𝑑𝑒𝑟 𝑦 =𝑣𝑦;
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불필요한 Package/Class 닫기 Motion 패키지가 사라졌음
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Package 생성 패키지 명 Motion 패키지 선택 새로운 패키지 Motion이 root(global) 에 생성됨
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Package 생성 패키지 명 y2016 패키지 선택 상위 패키지 새로운 패키지 y2016가 Motion 아래에 생성됨
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Package 생성 Week06 Week06
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Package 저장 D:\lec_hwlee\motion\y2016\week06 Motion.y2016.Week06.mo
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클래스 생성 새로운 클래스 Earth가 Motion.y2016.Week06 아래에 생성됨 Earth Earth
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클래스 작성 Motion.y2016.Week06.Earth
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초기조건 설정 원 운동을 하는 조건은 구심력과 만유인력이 같아지는 조건이다.
𝑣 2 𝑟 = 4 𝜋 2 𝑟 2 (천문학적 단위 사용) 𝑟=(1,0), 𝑣=(0,2𝜋) 𝑟 𝑣
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시뮬레이션 조건 설정 Earth
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시뮬레이션 조건 설정 시뮬레이션 시작시간 종료시간 설정 미분방정식 Solver 선택 오차 한계
y2016.Week06.Earth 시뮬레이션 시작시간 종료시간 설정 미분방정식 Solver 선택 dassl 오차 한계
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시뮬레이션 조건 설정 결과 출력 형식 mat : 이진 형식 출력, MATLAB, Octave 에서 사용 가능
y2016.Week06.Earth 결과 출력 형식 mat : 이진 형식 출력, MATLAB, Octave 에서 사용 가능 plt : 일반 텍스트 출력 csv : 자료를 콤마로 구분하여 저장 empty : 출력하지 않음 적분 구간의 개수 ∆𝑡= 종료시간 −시작시간 인터벌 수 ∆𝑡= 10− =0.001초
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시뮬레이션 실행 콤파일하고 시뮬레이션한 로그를 보여준다.
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시뮬레이션 실행
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결과 그래프 꾸미기 Setup을 통하여 그래프의 형식을 조정할 수 있다.
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결과 그래프 꾸미기 그래프 타이틀 y축 타이틀 x축 타이틀 범례 선색 선굵기
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결과 보이기 보고자 하는 변수 선택
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결과 보이기
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다른 파라메터 값의 결과 보기 파라메터 값을 수정하고 re-simulate을 한다. 오른버튼 클릭
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새 시뮬레이션 결과 타이틀은 Setup으로 수정
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결과 해석 초기속도를 2𝜋로 한 경우에는 𝑥,𝑦의 범위가 동일한 원운동을 한다.
초기속도를 4.5로 한 경우에는 𝑥,𝑦의 범위가 동일하지 않은 타원운동을 한다.
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다른 Solver 적용 y2016.Week06.Earth y2016.Week06.Earth Runge-Kutta 선택
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RK 결과
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역 제곱 법칙 역 제곱 법칙은 정확한 것인가? 2가 아니고 다른 값이면 어떻게 되는가? 힘선을 고려하면 2가 정확하다.
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2가 아닌 경우의 궤도 미분 방정식 일차 미분 방정식 𝐹 𝐺 = 𝐺 𝑀 𝑠 𝑀 𝐸 𝑟 𝛽
𝐹 𝐺 = 𝐺 𝑀 𝑠 𝑀 𝐸 𝑟 𝛽 일차 미분 방정식 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 4 𝜋 2 𝑥 𝑟 𝛽+1 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 4 𝜋 2 𝑦 𝑟 𝛽+1 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦
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Modelica 코드
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PlanetBeta
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PlanetBeta
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PlanetBeta
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PlanetBeta
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결과 해석 이심율이 크고 𝛽가 2가 아닌 경우에는 궤도가 안정적이지 않다.
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수성 근일점의 세차 세차는 다른 행성의 영향으로 발생한다.
566 arcsec/100yr, 1 arcsec = 1/3600 degree 섭동계산: 523 arcsec/100yr 일반상대론: 46 arcsec/100yr 𝐹 𝐺 ≈ 𝐺 𝑀 𝑠 𝑀 𝐸 𝑟 𝛼 𝑟 2 𝛼≈1.1× 10 −8 AU 2 , 𝑎=0.39 AU 𝑟 1 =𝑎 1+𝑒 =0.47 AU, 𝑒=0.206
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미분 방정식 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 4 𝜋 2 𝑥 𝑟 3 1+ 𝛼 𝑟 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥
𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 =− 4 𝜋 2 𝑥 𝑟 𝛼 𝑟 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 =− 4 𝜋 2 𝑦 𝑟 𝛼 𝑟 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦
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수성의 초기 조건 𝑟 1 =𝑎 1+𝑒 =0.47, 𝑣 1 =2𝜋 1−𝑒 𝑎(1+𝑒) 𝑒=0.206, 𝑎=0.39
𝑟 1 =𝑎 1+𝑒 =0.47, 𝑣 1 =2𝜋 1−𝑒 𝑎(1+𝑒) 𝑒=0.206, 𝑎=0.39 Motion.y2015.Week06.PlanetGR
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Modelica 코드
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결과 해석 𝛼의 값이 적을 수록 수성의 근일점이 천천히 회전하는 것을 알 수 있다.
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삼체 문제와 목성의 지구에 대한 효과 𝐹 𝐸𝐽 𝐹 𝐸𝑆
𝐹 𝐸𝐽 지구 목성 𝐹 𝐸𝑆 태양 𝐹 𝐸𝐽 =− 𝐺 𝑀 𝐸 𝑀 𝐽 𝑟 𝐸𝐽 3 𝑟 𝐸𝐽 , 𝑟 𝐸𝐽 = 𝑟 𝐸 − 𝑟 𝐽 𝐹 𝐸 = 𝐹 𝐸𝐽 + 𝐹 𝐸𝑆 , 𝐹 𝐽 = 𝐹 𝐽𝐸 + 𝐹 𝐽𝑆
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운동 방정식 𝑀 𝐸 𝑑 2 𝑟 𝐸 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝐸 , 𝑀 𝐽 𝑑 2 𝑟 𝐽 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝐽
𝑀 𝐸 𝑑 2 𝑟 𝐸 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝐸 , 𝑀 𝐽 𝑑 2 𝑟 𝐽 𝑑 𝑡 2 = 𝐹 𝐽 𝐺 𝑀 𝐽 =𝐺 𝑀 𝑆 𝑀 𝐽 𝑀 𝑆 =4𝜋 𝑀 𝐽 𝑀 𝑆 (천문학적 단위) 𝑑 𝑟 𝐸 𝑑𝑡 = 𝑣 𝐸 , 𝑑 𝑣 𝐸 𝑑𝑡 = 𝐹 𝐸 𝑀 𝐸 𝑑 𝑟 𝐽 𝑑𝑡 = 𝑣 𝐽 , 𝑑 𝑣 𝐽 𝑑𝑡 = 𝐹 𝐽 𝑀 𝐽
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성분별 운동 방정식 𝑑 𝑥 𝐸 𝑑𝑡 = 𝑣 𝐸𝑥 , 𝑑 𝑣 𝐸𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐺 𝑀 𝑆 𝑥 𝐸 𝑟 𝐸 3 − 𝐺 𝑀 𝐽 𝑥 𝐸 − 𝑥 𝐽 𝑟 𝐸𝐽 3 𝑑 𝑦 𝐸 𝑑𝑡 = 𝑣 𝐸𝑦 , 𝑑 𝑣 𝐸𝑦 𝑑𝑡 =− 𝐺 𝑀 𝑆 𝑦 𝐸 𝑟 𝐸 3 − 𝐺 𝑀 𝐽 𝑦 𝐸 − 𝑦 𝐽 𝑟 𝐸𝐽 3 𝑟 𝐸 = 𝑥 𝐸 2 + 𝑦 𝐸 2 , 𝑟 𝐸𝐽 = 𝑥 𝐸 − 𝑥 𝐽 𝑦 𝐸 − 𝑦 𝐽 2
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성분별 운동 방정식 𝑑 𝑥 𝐽 𝑑𝑡 = 𝑣 𝐽𝑥 , 𝑑 𝑣 𝐽𝑥 𝑑𝑡 =− 𝐺 𝑀 𝑆 𝑥 𝐽 𝑟 𝐽 3 − 𝐺 𝑀 𝐸 𝑥 𝐽 − 𝑥 𝐸 𝑟 𝐽𝐸 3 𝑑 𝑦 𝐽 𝑑𝑡 = 𝑣 𝐽𝑦 , 𝑑 𝑣 𝐽𝑦 𝑑𝑡 =− 𝐺 𝑀 𝑆 𝑦 𝐽 𝑟 𝐽 3 − 𝐺 𝑀 𝐸 𝑦 𝐽 − 𝑦 𝐸 𝑟 𝐽𝐸 3 𝑟 𝐽 = 𝑥 𝐽 2 + 𝑦 𝐽 2 , 𝑟 𝐽𝐸 = 𝑥 𝐽 − 𝑥 𝐸 𝑦 𝐽 − 𝑦 𝐸 2 = 𝑟 𝐸𝐽 Motion.y2015.Week06.ThreeBody
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초기조건 근일점(Perihelion): 𝑟 𝑚𝑖𝑛 =𝑎 1−𝑒 원일점(Aphelion): 𝑟 𝑚𝑎𝑥 =𝑎 1+𝑒
𝑎=1.0,(Earth) 9.58(Jupitor) 𝑒=0.106,(Earth) 0.049(Jupitor) 𝑣 𝑚𝑎𝑥 = 𝐺 𝑀 𝑆 𝑒 𝑎 1−𝑒 𝑀 𝐸 𝑀 𝑆 𝑣 𝑚𝑖𝑛 = 𝐺 𝑀 𝑆 −𝑒 𝑎 1+𝑒 𝑀 𝐸 𝑀 𝑆
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Modelica 코드 Motion.y2016.Week06.ThreeBody
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Modelica 코드
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결과해석 목성의 질량이 실제 질량과 같으면 두 행성의 궤도는 안정적이다.
목성의 질량이 적당히 커지면 지구가 목성의 위성처럼 행동한다. 목성의 질량이 크면 지구의 궤도의 매우 불안정하다.
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커크우드 틈(Kirkwood Gap) 소행성이 없는 영역이 있다. 없는 곳은 목성과 공명인 주기를 갖는다. 3:1 7:3
2:1 5:2 from Wikipedia
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커크우드 틈 목성과 공명 위치에 있는 소행성은 목성의 영향으로 궤도가 큰 영향을 받는다.
태양-소행성-목성으로 시뮬레이션할 수 있다. 이 경우 소행성 사이의 상호작용은 무시한다. 원운동 가정 초기 조건 대상 반경(AU) 속도(AU/yr) 질량(kg) 소행성1 3.000 3.628 3.0× 10 21 소행성2(2:1공명) 3.276 3.471 소행성3 3.700 3.267 목성 5.200 2.755 1.9× 10 27
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시뮬레이션 결과
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결과 해석 공명 위치에 있는 소행성은 궤도가 목성의 영향으로 크게 변하여 궤도를 유지할 수 없게 된다.
토성 주위의 고리도 같은 현상을 보인다.
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하이퍼리온(Hyperion) 시뮬레이션
𝑚 1 𝑥 1 , 𝑦 1 카오스 운동 𝜃 𝐹 1 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑚 2 𝐹 2 𝜔= 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 , 𝑦 𝑐 = 𝑚 1 𝑥 1 + 𝑚 2 𝑥 2 𝑚 1 + 𝑚 2 , 𝑚 1 𝑦+ 𝑚 2 𝑦 2 𝑚 1 + 𝑚 2
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질량 중심의 미분 방정식 𝑑 2 𝑟 𝑐 𝑑 𝑡 2 =− 𝐺 𝑀 𝑆𝑎𝑡 𝑟 𝑐 𝑟 𝑐 3 =− 4 𝜋 2 𝑟 𝑐 𝑟 𝑐 3 (Hyperion단위) 𝑑 𝑣 𝑐𝑥 𝑑𝑡 =− 4 𝜋 2 𝑥 𝑐 𝑟 𝑐 3 , 𝑑 𝑥 𝑐 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑐𝑥 𝑑 𝑣 𝑐𝑦 𝑑𝑡 =− 4 𝜋 2 𝑦 𝑐 𝑟 𝑐 3 , 𝑑 𝑦 𝑐 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑐𝑦
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운동 방정식 힘 토크 각운 동 방정식 𝐹 1 =− 𝐺 𝑀 𝑆𝑎𝑡 𝑚 1 𝑟 1 3 𝑥 1 𝑖 + 𝑦 1 𝑗
𝐹 1 =− 𝐺 𝑀 𝑆𝑎𝑡 𝑚 1 𝑟 𝑥 1 𝑖 + 𝑦 1 𝑗 𝐹 2 =− 𝐺 𝑀 𝑆𝑎𝑡 𝑚 2 𝑟 𝑥 2 𝑖 + 𝑦 2 𝑗 토크 𝜏 1 = 𝑥 1 − 𝑥 𝑐 𝑖 + 𝑦 1 − 𝑦 𝑐 𝑗 × 𝐹 1 𝜏 2 = 𝑥 2 − 𝑥 𝑐 𝑖 + 𝑦 2 − 𝑦 𝑐 𝑗 × 𝐹 2 각운 동 방정식 𝑑 𝜔 𝑑𝑡 = 𝜏 𝜏 2 𝐼 , 𝐼= 𝑚 1 𝑟 𝑚 2 𝑟 2 2
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각 운동 방정식 𝑑𝜔 𝑑𝑡 ≈− 3𝐺 𝑀 𝑆𝑎𝑡 𝑟 𝑐 5 𝑥 𝑐 sin 𝜃 − 𝑦 𝑐 cos 𝜃 𝑥 𝑐 cos 𝜃 + 𝑦 𝑐 sin 𝜃 𝑥 𝑐 cos 𝜃 + 𝑦 𝑐 sin 𝜃 =− 12 𝜋 2 𝑟 𝑐 5 𝑥 𝑐 sin 𝜃 − 𝑦 𝑐 cos 𝜃 𝑥 𝑐 cos 𝜃 + 𝑦 𝑐 sin 𝜃
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결과 해석 원 궤도인 경우에는 카오스 운동이 아니다. 타원 궤도 인 경우에 카오스 운동을 한다.
시뮬레이션은 매우 단순화 한 것으로 실제 운동과는 다르다.
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도전해 보기 초기조건이 다른 행성의 운동을 한 그림으로 그리기 연습문제 4.1~4.7 풀이하기
연습문제 4.8, 4.9 풀이하기 연습문제 4.10, 4.11 풀이하기 삼체 문제에서 목성이 있는 경우와 없는 경우에 지구의 궤도의 차이를 계산하는 클래스를 만드시오.
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도전해 보기 연습문제 4.12~4.16 풀이하기 연습문제 4.17, 4.18 풀이하기 연습문제 4.19, 4.20 풀이하기
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