신기한 사이클로이드 발 표 자 : 6학년 심화반 2번 강승주 지도교사 : 김승진 선생님

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1 신기한 사이클로이드 발 표 자 : 6학년 심화반 2번 강승주 지도교사 : 김승진 선생님
발 표 자 : 6학년 심화반 2번 강승주 지도교사 : 김승진 선생님 [ 연구기간 : ~ ]

2 차 례 1. 연구동기 2. 연구주제 3. 이론적 배경 4. 제작실험 5. 알게 된 점 6. 참고자료

3 1. 연구동기 동물 다큐멘터리를 보고 있는데 독수리의 사냥장면을 우연히 보게 되었다. 그때 독수리가 먹이 감을 향해 날아갈 때 가장 짧은 경로인 직 선 경로를 지나지 않고 곡선으로 휘어서 날아가는 것을 보고 궁 금증이 생겨 인터넷에서 찾아보다가 프로젝트 주제를 이것으로 정하게 되었다. 그래서, 직접 제작실험을 통하여 사이클로이드 원리를 이해하고 이 원리를 사용하는 이유와 실생활에서 쉽고 유익하게 사용할 수 있는 곳과 방법을 알아 보고자 한다.

4 2. 연구주제 사이클로이드란? 사이클롤이드 곡선의 원리와 성질을 알아 본다. 사이클로이드 곡선 만들기 실험을 직접 해
보고 실생활에서 활용되고 있는 사례를 알 아 본다.

5 3. 이론적 배경 사이클로이드란? 자전거 앞 바퀴에 껌을 붙인 후 평평한 지면에서 전진하면, 바퀴가 굴러 감에 따라 껌도 움직인다. 이때 껌의 움직임은 하나의 곡선을 그리게 된 다. 바퀴가 회전을 거듭할 때마다 곡선은 하나의 사이클을 이루며 반복하게 된다. 1599년 갈릴레이는 이 곡선을‘사이클로이드(cycloid)’라고 이름을 붙였다. 원의 반지름이 r일 때 사이클로이드 길이는 8r이 된다. 또한, 사이클로이드에 의해 둘러싸인 넓이는 원의 넓이의 3배가 된다.

6 3. 이론적 배경 사이클로이드의 전설 수학에서의‘불화의 사과’로 불리는 사이클로이드는‘파스칼’에 의하여 많은 성질들이 밝혀졌다. 그 중‘등시성’과‘최단강하성’이 사이클로이드의 대표적인 성질이다. 당시 수학자들은 힘과 운동을 수학적으로 설명하려는 시도를 많이 했기 때 문에, 신기한 성질을 지닌 사이클로이드는 수학자들의 관심의 대상이 되었 으며 그 시대에는 새로운 발견들에 대한 비난과 상대의 공적을 깎아 내리는 일들이 자주 생겼다. 그래서‘ 불화의 사과’라는 별명이 붙게 된 것이다.

7 3. 이론적 배경 사이클로이드의 원리 원이 굴러가는 운동은 회전과 병진운동 (직선운동) 이 합쳐진 운동이고, 회전은 특정한 각속도를 가지고 원의 중심이 회전하는 운동이다. 지표면에 수직인 평면 위에 존재하는 두 점이 있을 때, 이 중 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 물체가 하강할 때 중력가속도가 줄어드는 정도는 사이클로이드 곡선이 다른 직선이나 어떤 경로보다 작기 때문에 큰 가속도로 먼 거리를 감으로써 가장 빨리 하강할 수 있다.

8 4. 제작 실험 나의 가설 실험 1 실험 2 사이클로이드 곡선 위의 각각 높이가 다른 지점에서 골프공을 떨어뜨리면.
어느 곳의 골프공이 먼저 바닥에 도달할까? 낮은 지점의 쇠구슬이 바닥과 거리가 가깝기 때문에 빨리 도달할 것이다. 실험 2 각각 높이가 같은 사이클로이드 곡선과 직선에서 골프공을 떨어뜨리면 어느 경로의 골프공이 먼저 바닥에 도달할까? 직선이 곡선보다 바닥과 거리가 짧기 때문에 직선 경로에서의 쇠구슬이 바닥에 빨리 도달할 것이다.

9 4. 제작 실험 실험 방법 실험 1 실험 2 사이클로이드 곡선 위의 각각 다른 높이 지점에서 골프공을 떨어뜨린다.
어느 지점의 골프공이 바닥에 빨리 도달하는지 비교한다. 실험 2 높이가 같은 사이클로이드 곡선과 직선을 만든다. 각각의 곡선과 직선의 같은 높이에서 골프공을 떨어뜨린다. 곡선과 직선 경로 중 어느 곳의 골프공이 바닥에 빨리 도달하는지 비교한다.

10 4. 제작 실험 제작실험 설계도 [그림1] 실험 1 [그림2] 실험 2 [그림3] 위에서 본 모양

11 4. 제작 실험 준비물 (1) 마트지 2장(전지), 50Cm 자, 줄자, 각도기, 콤파스, 목공용 풀, 순간 접착제, 연필, 칼, 골프공 2개, 디지털카메라 (2) 지름이 34cm인 원 (3) 10.0×108cm 마트지 : 1개 – 사이클로이드 1차, 2차 경로 몸체 (4) 5.0×108cm 마트지 : 1개 – 직선 경로 몸체 (5) 15×50cm, 15×60cm, 15×70cm 마트지 : 각 1개- 받침대(기둥) (6) 1.0×108cm 마트지 - 10개 - 사이클로이드의 1차, 2차 및 직선 경로 골짜기

12 4. 제작 실험 만들기 사이클로이드와 직선경로 만들기 만들기 완성 기둥 세우기 (옆에서 본 모양) 사이클로이드 1차
사이클로이드 2차 직선 경로 (위에서 본 모양) 사이클로이드와 직선경로 만들기 기둥 세우기 만들기 완성

13 4. 제작 실험 실험 1 사이클로이드 곡선의 각각 다른 높이 지점에서 골프공을 떨어 뜨려 도달 시간을 서로 비교해 본다. 사이클로이드 경로 길이 : 108 Cm ▶골프공1 : 1차 경로(높은 지점) ▶골프공2 : 2차 경로(낮은 지점) 도달시간(초) ▶1차 : 0.38 ▶2차 : 0.36 ▶3차 : 0.39 (실험 1 동영상)

14 4. 제작 실험 실험 2 사이클로이드와 직선 경로의 같은 높이에서 골프공을 떨어뜨려 도달시간을 서로 비교해 본다. 사이클로이드 경로 길이 : 108 Cm 직선 경로 길이 : 108 Cm ▶골프공1 : 사이클로이드 경로 ▶골프공2 : 직선 경로 도달시간(초) ▶1차 : 사이클로이드(0.38), 직선(0.85) ▶2차 : 사이클로이드(0.37), 직선(0.86) ▶3차 : 사이클로이드(0.36), 직선(0.85) (실험 2 동영상)

15 5. 알게 된 점 실험 결과 사이클로이드 곡선 위에 놓인 물체는 높이에 관계없이 바닥에 동시에 떨어지게 된다. 이런 이유로 사이클로이드 곡선을‘등시곡선’이라고도 한다. 사이클로이드 곡선 위에서는 가속도에 의해 보다 빨리 속도가 증가 하 므로 사이클로이드 곡선은 직선보다 거리는 더 길지만 더 빠른 시간에 도착 하게 되는 것이다. 이런 이유로 사이클로이드 곡선을‘최단강하곡선’이라고 한다.

16 5. 알게 된 점 원리의 증명 지표면에 수직인 평면 위에 존재하는 두 점이 있을 때,
이 중 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 중력에 의해 이동할 때 가장 빠른 경로는 어떤 것일까요? 이 문제는 ‘뉴우튼’이 변분법(Calculus of Variations)을 이용하여 풀어냈습니다. 즉, 높은 쪽 A에서 낮은 쪽 B로 가는 경로 C가 있다고 가정할 경우, 이 경로를 따라 중력에 의해 이동할 경우, 그 이동시간은 고등학교, 대학교 과정의 수학에서 배우게 되는 미적분방정식과 변분법을 이용해야 구할 수 있다는 사실을 알았으며, 이는 매우 높은 수준의 수학이므로, 지금 저희 수준에서는 수학식으로 증명 할 수가 없었습니다. 결과적으로, 위의 수학공식을 활용해 보면 사이클로이드가 가장 빠른 경로라는 사실과 사이클로이드에서는 어느 지점이든지 이동시간이 같음이 증명됨을 알았습니다. 저는 이 실험을 통하여 사이클로이드의 ‘등시성’과 ‘최단강하성’의 원리를 증명할 수 있었습니다.

17 5. 알게 된 점 활용 사례 기와 지붕 우리나라의 기와의 우묵한 곡선 모양은 빗물이 기와에 머 무는 시간을 줄여 빨리 흘러가게 하여 빗물이 기와에 스며 들어 목조 건물이 썩는 것을 막기 위해서 형성됨. 독수리의 사냥 독수리나 매는 땅 위의 들쥐나 토끼를 잡을 때 빠르게 잡기 위해서 사이클로이드에 가깝게 곡선비행을 하며 목표물을 향함.

18 5. 알게 된 점 활용 사례 롤러코스터 미끄럼틀, 롤러코스터를 사이클로이드와 비슷한 모양으로 만들면 더 속도가 빨라 스릴을 높일 수 있다.

19 5. 알게 된 점 동물의 사례 새 새들도 몸체를 기준으로 날개 끝이 사이클로이드 형태의 타원궤적을 이루며 이로 인한 양력으로 전진한다. 물고기 물고기 비늘도 사이클로이드 곡선 모양을 하고 있어 보다 빨리 헤엄칠 수 있다. 실생활 이용 겨울철에는 폭설로 인하여 비닐하우스 지붕에 눈이 많이 내리면 눈의 무게를 이기지 못하여 비닐하우스 지붕이 자주 무너져 내린다. 이때 눈을 가장 잘 흘러 내리게 하려면 사이클로이드 모양의 지붕이 최선이다.

20 6. 참고 자료 국립과천과학관 홈페이지 ( 이광연,「신화 속 수학이야기」, 경문사, 2004 블러그 ▷ =Log&l ogNo= ▷ 네이버 지식인