기하학이 실생활에 이용되는 예, 그에 관한 문제 용문중학교 1 학년 김성환

목차 탐구동기 탐구방법 및 기간 실생활에 이용되는 기하학 실생활 속 기하학문제 정리 느낀점

탐구동기 내가 이 주제로 탐구를 해보게 된 이유는 간단하다. 영재교육원에서 수학시간 중 거 의 대부분의 시간을 기하학을 배우는데 썼 다. 왜 배웠을까 하는 의문과 이러한 기하학 들이 실생활에 이용되는 예를 알아보기 위 해서 이러한 탐구를 해본다.

탐구방법 및 탐구기간 탐구방법 실생활에 이용되는 기하학의 예를 직접 생 각해보거나 인터넷 문헌조사를 이용한다. 또한 탐구기간 2008 년 10 월 25 일 ~ 2008 년 11 월 15 일

기하학을 왜 배워야 할까 기하학은 공간의 성질이나 공간 안의 물체 에 대한 성질을 다루는 중요한 수학의 일부 분으로서 대수학과 함께 가장 오래된 수학 분야 중 하나로 손꼽히고 있다. 기하학은 고 대 이집트에서부터 내려오는데, 땅의 넓이 를 측량하는데 쓰였다고 한다. 그러므로 기 하학을 알고 배운다는 것은 우리 생활의 지 혜를 알고 배우는 것이라고 생각한다.

보온병에 이용된 기하학 여러분들은 왜 보온병이나 우리가 자주 접하는 병 의 대부분이 거의 원기둥인 이유를 아는가 ? 기하 학의 원리가 숨어있지 않을 만한 곶에도 많은 기 하학이 숨어있다. 보온병에서 이용된 기하학의 원 리는 겉넓이라고 할 수 있다. 같은 재료와 같은 높 이로 더 많이 담을 수 있는 게 원기둥이기 때문이 다 ⇨보온병이나 각종 병에는 부피, 겉넓이를 이용해 서 만든다.

고대신전이나 사원에 사용된 황금비 불국사나 파르테논 신전등 … 옛 사원이나 신전을 보면 이상하게 ‘ 아름답다 !’ 라고 느 낄 수 있을 것이다. 이 이유는 무엇일까 ? 바 로 그 이유는 황금비 이다. 황금비는 1:1.618 인데 다음 사진을 보자.

⇨고대신전이나 사원에는 황금비를 적용한 사례가 많다.

축구공 속의 기하학 축구공이 어떤 도형으로 이루어져 있나 ? 정 5 각형, 정 6 각형으로 이루어져 있다. 이와 같은 도형을 준 정다면체라고 한다. 축구공 은 그 중에도 깍은 정이십면체에 속한다. 왜 하필 다각형을 이용했을까 ? 깍은 정이십면 체가 구에 거의 가깝고 아직까지 완벽한 구 란 없기 때문이다. ⇨축구공에는 구가 아닌 준 정다면체를 사 용한다.

화장실 바닥의 타일 속의 기하학 화장실 바닥에 타일을 보면 일정한 모양 ( 도 형 ) 으로 밑바닥이 빈틈없이 차있다. 이는 수학의 기하학 중에서 테셀레이션이다. 테 셀레이션은 일정한 도형으로 빈틈없이 채 우는걸 말하는데 3,4,6 각형 등 …360 도로 빈틈없이 채울 수 있는 다각형이 가능하다 ⇨타일에는 테셀레이션이 이용된다.

실생활에 대한 기하학 문제. 여기 있는 사람들은 실생활에 이용되는 기 하학에서 갑자기 왜 문제가 나오나 하는데 기하학은 측량에서부터 나온 학문이다. 이 와 같이 기하학은 실생활의 지혜를 담고 있 는 분야라고 생각 하고 있다. ( 물론 약간 관 계없는 문제도 있지만 말이다.) 기하학이 실생활에 어떻게 이용되는지 안다면 이에 대한 문제를 이해하고 풀 수 있을 것 이라고 생각한다.

연습문제 1>[ 닮은꼴 ] 다음과 같이 액자 2 개가 있다.( 서로 변은 평행 ) (1) 삼각형의 액자의 안과 바깥쪽의 삼각형은 닮은꼴 일까 ? (2) 사각형의 액자의 안과 바깥쪽의 사각형은 닮은꼴 일까 ?

정답 거의 모든 사람들과 여기 있는 학생들 모두가 그 렇다고 할 것 같다. 하지만 답은 (1) 번만 닮은꼴이 될 수 있다. 삼각형이 닮은꼴이 되기 위해서는 각 만 같으면 된다. 안의 삼각형의 변은 바깥 삼각형 의 변과 평행하게 있기 때문에 (1) 은 닮은꼴이 다. 그렇지만 다른 다각형 즉 이 문제에서 사각형 과 같은 경우는 각이 같다고 해서 닮은꼴이라고 할 수 없다. 또는 변이 서로 평행하므로 닮은꼴이 라고 할 수 없다. 이 경우에는 변의 비율이 같아야 만 한다. 그러므로 서로 닮은꼴이 되려면 정사각 형이 되어야 한다.

문제 2> 1kg 짜리 에펠 탑 모형의 높이 파리에 있는 에펠 탑은 300m 이고 총 8,000,000kg 의 강철로 만들어져 있다. 어떤 사람이 강철로 만들었으나 1kg 짜리 에펠 탑 모형을 주문했다. 그럼 에펠 탑의 모형은 높이가 어느 정도일까 ?

정답 다음과 같이 에펠 탑이 있다. 논리적으로 생각해 보자 무게가 1kg 이라는 것은 즉 8,000,000 배 가 볍다는 것이다. 그러므로 부피도 8,000,000 배 적 다 여기서 이제 생각을 해보자 에펠 탑을 하나의 정육면체라고 생각하면 쉽게 이 문제를 풀 수 있 으리라 생각한다. 높이의 세제곱이 바로 부피가 된다. 그러므로 모형이 200 배 작다는 것을 알 수 있기 때문이다. (200X200X200=8,000,000)=300/200 이다. 그러 므로 초등학생의 키 정도인 1m50cm 정도 일 것이 다.

문제 3> 누가 더 추울까 ? 한겨울 거리에 어른과 아이가 똑같이 서있 다. 누가 더 추울까 ?

정답 이 문제를 본 사람들은 전혀 수학적이지 않은 넌 센스 문제 ? 라고 생각할 것이다. 하지만 보온병에 이용된 기하학과 같이 표면적이라는 단어를 주어 준다면 쉽게 풀 수 있으리라 장담한다. 어른과 아 이는 표면적이 다르다 어른이 아이보다 n 배 더높 고 n 배 더 넓다면 그 표면적은 n 의 제곱만큼 더 넓 다. 만위 면적당 옷을 따뜻하게 입은 것이 어른과 아이가 같지만 부피에 대한 표면적의 비율이 아이 가 더 많기 때문에 아이가 어른보다 더 빨리 추위 를 느끼게 되는 것이다.

문제 4> 어떤 수박을 사는 게 이익일까 ? 수박장수가 2 개의 수박을 판다. 하지만 2 개 의 수박은 크기가 각기 다르다. 한 수박은 다른 수박보다 지름이 1/4 배 만큼 더 크고 가격은 3/2 이다 어떤 수박을 사는 것이 더 이익일까 ?

정답 큰 수박의 지름은 5/4 배 이므로 부피는 5/4x5/4x5/4=125/64, 즉 약 2 배 크다. 그러므로 큰 수박을 사는 것이 더 유리하다. 큰 수박이 작은 수 박보다 1.5 배 비싼데 양은 2 배가 더 많으니 말이 다 !( 어머니들 참고 !) 그런데 왜 수박장수들은 왜 이러한 수박을 2 배가 아닌 조금 더 비싼 1.5 배의 가격에 팔까 ? 그 이유 는 상인들이 기하학을 잘 모르기 때문인 것이다. 이제부터 그런 조건에 말려들지 않기를

문제 5> 작은 구멍을 500 원으로 통과 하기 여기 있는 거의 다 이러한 문제를 풀어보거 나 들어본 적이 있을 것이다. “500 원짜리 동 전의 지름은 26.5mm 이다. 그런데 20.5mm 의 원을 그리고 그 구멍을 자른다. 그 구멍 에 500 원짜리 동전을 통과시켜 봐라.” 이문 제의 답은 매우 간단하다.

500

느낀 점 다소 어려운 내용을 연구했다. 다른 사람이 보기에는 별거 아닌 것 같은 보고서이지만 나에게는 정말 열심히 문제를 만들고 실생 활에서 이용되는 기하학을 발견할 때 마다 적고 이용해보고, 내 자신이 만든 문제도 곰 곰이 생각해본 점이 새로운 것을 찾아내는 즐거움을 준 것 같다.

지루한 프로젝트 잘 들어주신 것 감사합니다