조 노서영 정보 람 은소희

목차 I. 연구의 필요성 및 목적 1. 연구의 필요성 2. 동기와 목적 Ⅱ. 이론적 배경 1. 무게중심 Ⅲ. 연구의 방법 1. 가설 1, 2, 3 2. 실험 설계 Ⅳ. 연구의 결과 1. 실험 1 2. 실험 2 3. 실험 3 4. 가설에 대한 결과 Ⅳ. 결론 및 제언 1. 결론 2. 제언 3. 참고문헌

연구의 필요성 이 연구에서는 무게중심과 그 외의 적용 될 수 있는 수학적인 요소를 살펴보고, 보다 더 안정하고 건물을 지을 수 있도록 하는데 의 의를 두고 있다.

연구 동기와 목적 건물을 짓는데 있어, 무게중심이 바뀌어 쓰러질까, 아니면 닿는 면적이 줄어들기 때문일까. 우리는 안전함에 영향을 미치 는 무게 중심 이론을 알아보고, 연구 결과로 안전한 구도를 만드는 데에 가장 큰 목적을 두고 있다.

이론적 배경 무게중심이란 ? : 물체의 각 부분에 작용하는 중력의 합력의 작용점. (1) 삼각형 삼각형에 있는 중선은 총 세 개인데, 이 중선들이 만나는 하나의 점을 삼각형의 무게중심이라 한다.

(2) 사각형 평행사변형의 무게중심 (3) 다각형 G G1G1 G2G2 G3G3 사각형의 무게중심을 구한 것과 마찬가지로 삼각형으로 쪼개어 구할 수 있다.

(5) 입체도형 ➀ 실 이용하기 1 : 한 꼭지점에 실을 매달고 일직선으로 내린다. 2 : 그 길을 따라 그린다. 3 : 나머지의 꼭지점에도 다음과 같이 각각 해본 후, 여러 개의 길이 만나는 한 점이 바로 입체도형의 무게중심이 된다.

➁ 적분하기 복잡한 입체도형의 무게중심을 구할 때에는 적분을 사용한다. XV= ʃʃʃ xdxdydz YV= ʃʃʃ ydxdydz ZV= ʃʃʃ zdydxdz (X,Y,Z 는 무게중심의 좌표, x,y,z 는 입체도형의 각 좌표, V 는 입체도형의 부피 )

연구 방법 1. 가설 1) 일정한 간격으로 쌓을 때, 높이를 다르게 한다면 높이의 한계가 존재할 것이다. 2) 같은 조건에서 길이에 변화를 주고, 간격도 길이에 비례 하게 쌓아도 안정적인 층수는 너비에 상관없이 일정할 것 이다. 3) 표면적이 넓어지면 안정할 것이다.

실험 설계 1차1차 2차2차 3차3차 을 밑면으로 2832… 을 밑면으로 89… 66… → 가장 높게 쌓을 수 있는  을 밑면으로, 연구 시작 ( 조건 : 평평한 곳에서 테스트함 )

실험 1 가설 1 - 일정한 간격으로 쌓을 때, 높이를 다르게 한다면 높이의 한계가 존재할 것이다. 실험 방법 : 간격의 차를 달리하고, 높이에 변화를 줘서 언제 가장 높은 지 알아본다

실험 순서 1. 도형 1 의 높이를 n 배 한 것을 ( 테이프로 ) 서로 고정시킨다. 2. 자로 일일이 간격을 재어 가며, 쌓는다. 3. 일일이 조각이 튀어나온 곳은 없는지, 간격이 일정하게 쌓아지고 있는지 검사 한다. 4. 개인차가 있을 수 있으므로, 사람을 바꿔가며 실험 한다. ⇨⇨ ⇨⇨⇨

실험 과정

실험 1 결 과 간격 3mm6mm1cm1.5cm 높이 1.4cm 20 층 11 층 7층7층 4층4층 높이 2.8cm 11 층 10 층 6층6층 4층4층 높이 4.1cm 8층8층 7층7층 5층5층 3층3층 높이 5.6cm 7층7층 5층5층 5층5층 3층3층 나무 조각의 수가 많을수록 층이 불안 정해진다는 것, 간격의 차가 클수록 무게중심이 이동하 여 높이 쌓을 수 없 다는 것을 알 수 있 다.

실험 2 가설 2 - 같은 조건에서 길이에 변화를 주고, 간격도 길이에 비례하게 쌓아도 안정적인 층수는 너비에 상관없이 일정할 것이다. 실험 방법 : 나무 조각을 여러 개 이어 붙여 (2 개, 3 개, 4 개 ) 간격을 두고 쌓는다.

도형 1 의 길이를 2 배한 것. - 간격 : (3mm×2) 6mm 도형 1 의 길이를 3 배한 것. - 간격 : (3mm×3) 9mm - 더 넓은 간격 (18mm) 으로 실험도 하고, 몇 차례에 걸쳐 실험을 하기에 무너지기도 하였다. 실험 과정

도형 1 의 길이를 4 배한 것. - 간격 : (3mm×4) 12mm - 간격 : (0.6mm×4) 2.4cm

실험 2 결과 간격 6mm12mm2cm3cm 2 개 붙인 것 19 층 11 층 7층7층 5층5층 간격 9mm18mm3cm4.5cm 3 개 붙인 것 21 층 11 층 6층6층 3층3층 간격 12mm24mm4cm6cm 4 개 붙인 것 22 층 12 층 7층7층 3층3층 나무 조각을 많이 이어 붙일수록 나무 조각 밑면의 표 면적이 넓어져 안정 이 된다. 즉, 길이가 길수록 더 많이 쌓을 수 있 다.

실험 3 가설 3 - 표면적이 넓어지면 안전하다. 실험 방법 : 기존에 실험해온 나무 조각 ( 젠가 ) 과 밑면 모양이 다른 원기둥모양의 도형을 쌓아 안정적인지 조사한다.

실험 과정 ( 정육면체 모양의 나무 조각에 구멍이 뚫려있었는데, 세우는데 영향이 가지 않도록 지면과 수평방향으로 쌓았다.)

실험 3 결과 삼각기둥 17 층밑넓이 : 4.5cm² 원기둥 15 층밑넓이 : 2.25πcm²( 약 7.065cm²) 정육면체 20 층밑넓이 : 9cm² ★ Q : 원의 밑넓이는 삼각형보다 큼에도 불구하고 왜 삼각기둥이 더 높게 쌓였을까 ? A : 중심으로부터 거리가 모두 같고 짧기 때문에 원기둥의 무게중 심이 더 높아 불안정한 것이라고 생각한다. 정육면체 > 삼각기 둥 > 원기둥 순으로 높게 쌓을 수 있었 으며, 보면 가장 높 게 쌓을 수 있는 것 부터 밑면의 도형은 각이 많다.

결과 정리 가설 1 은 3 차례의 실험을 해서 표로 나타내보니 높이가 높을수록 나무 조각의 수가 줄어들어 층수가 낮아지고, 간격의 차이가 클수록 낮아짐을 알게 되었다. 이로써 나무 조각의 수가 많을수록 층이 불안정해진다는 것과 간격의 차가 클수록 무게중심이 이동하여 높이 쌓을 수 없다는 것을 알 수 있다. 가설 2 는 나무 조각을 많이 이어 붙일수록 나무 조각 밑면 의 표면적이 넓어져 더 안정이 된다. 결과가 실험 1 의 1.4cm 건물과 크게 다르지 않은데, 이것은 앞에서 말했듯이 너비는 큰 영향을 주지 않는 다는 것이다.

가설 3 은 이론상으로는 ’ 정사각형, 삼각형, 원형 순으로 안전하다.’ 라는 결과가 나와야 한다. 하지만 그렇지 못해서 원하는 결과를 얻진 못했으나 알 수 있는 것은 꼭지점이 많을수록 안전하다는 것이다. 같은 공간에 있을 때, 삼각형보다 사각형이 더 넓은 공간 과 꼭지점을 갖고 있는 것을 보면 우리는 사각형이 더 높게 쌓을 수 있는 것을 알 수 있다. 또, 밑면적이 넓은 것은 무게중심의 위치가 상대적으로 낮아지는 것이고 진동에 대하여 안전해진다.

결론 ∙ 실험 1 나무 조각의 높이가 높을수록 점점 그 수가 줄어들어 층수가 낮아지고 간격의 차이가 클수록 낮게 쌓아진다. ∙ 실험 2 길이가 길수록 더 많이 쌓을 수가 있다. ∙ 실험 3 원을 제외하곤, 꼭지점이 있고 표면적이 넓으면 안전하다.

제언 모든 과정을 거쳐 결과가 나온 뒤, 실험 1 과 2 를 바탕으로 실존건물의 안정도를 알아보려 했었다. ‘ 피사의 사탑이 얼마만큼 기울면 쓰러질까.’ 또, ‘ 피사의 사탑 기울기의 10 배가 되는 건물의 안정도 ’ 를 말이다.

다음 그림이 바로 피사의 사탑 기울기의 10 배가 되는 건물이다. 높이는 에펠탑 (320m) 보다 20m 가량 더 높은 건물이다. 기울게 쌓아 올라간 것이 실험을 연상시켜 줘서 분명 연관이 있겠다고 생각했고, 실험 1 과 2 의 결과만을 이용해 비율을 찾은 뒤, 적용시켜 보고자 했다. 하지만 그 식을 찾는데 있어 힘 이 들었고 여유가 없었기 때문에 이대로만 끝내게 된 것이 무척 아쉬움을 샀다.

모든 결과를 활용하여 안정성을 좋게 하기 위해선, 보다 넓은 밑면적과 그 밑면적에 알맞은 건물의 층수 ( 높이 ) 를 알아내어 쌓는 것이 있겠다. 또, 현재 실존하는 화려한 외형의 건물도 이 결과를 바탕으로 세워졌다고 보며, 외적인 미를 더하기 위해서는 나무 조각 간격의 차이에 대한 결과를 고려하고, 발전을 통해 독특한 건물을 지을 수 있을 것이다.

참고 문헌 - 꿈꾸는 과학 ( 점성술에서 우주공학까지 ) - 김기원 지음 / 풀로엮은집 - 아르키메데스가 들려주는 무게중심과 회전체 이야기 - 홍갑주 지음 / 서평 - 네이버 사전 - 건물 사진 정보 [ 감사합 니다