Matlab 조별 과제(360º 단진자) 2 조 작성자 : 문수민 프로그램 : 송진영, 나정민 발표자 : 백선미, 김준오
360º 단진자 운동 방정식 단진자의 길이 : 1m 단진자 끝부분의 질량 : 1kg 마찰계수 : 0.5 중력가속도 g = 9.81 시간 : t x 는 수직으로부터의 단진자의 각도 y 는 단진자의 각속도 x`(t) = y(t), y`(t) = -0.5y(t) – 9.81sin(x(t))
0<t<20, 초기위치가 x(0)=0 이고, 초기속도가 y(0)=5 인 경우 >> g x) [x(2); -0.5*x(2) *sin(x(1))]; >> [t, xa] = ode45(g, [0:0.01:20], [0 5]); >> plot(xa(:,1), xa(:, 2))
x 좌표는 단진자의 각도에 해당되고 y 좌표는 단진자의 속도에 해당된 다. (0,5) 에서 시작하여 t 가 증가함에 다라 곡선은 (0,0) 을 향해 시계방향 으로 나선형을 그린다. 각도는 전후로 진동하지만 매번 진동할 때마다 작아져서 t=20 에서는 단진자는 멈추게 된다. 그동안에도 속도는 마찬가지로 진동하는데 각 진동에서 단진자가 중 앙에 위치할 때 ( 각도는 거의 0) 와 단진자가 진동의 끝부분에 위치하 여 0 을 넘어설 때 최대값을 갖는다.
초기속도가 10 인경우 >> [t, xa] = ode45(g, [0:0.01:20], [0 10]); >> plot(xa(:, 1), xa(:, 2))
(4π,0) 을 향하여 나선형으로 접근해 가는데 여기서 4π 라 디안은 0 라디안에서와 동일한 단진자 위치를 나타낸다. 단진자는 위로 움직이고 두 번 반전을 이룬 다음에 정지점 을 향하는 감쇠진동을 시작한다. 처음에 속도는 감소하지 만 각도가 π 보다 커지면 단진자가 높은 위치를 지나면서 모멘텀을 획득함에 따라 다시 상승한다. 단진자는 3π 의 각도에서 다시한번 상승위치를 통과하는 움직임을 보이 기에 충분할 만큼의 모멘텀을 지닌다.
단진자가 과도운동을 보이는 초기 속도의 규명 단진자가 정지위치에서 출발하여 과도한 움직 임을 한 번 나타내는 데에 필요한 최소 초기속 도를 규명 하기위해, 초기속도 를 5~10 까지라고 하면, >> hold on >> for a = 5:10 [t, xa] = ode45(g, [0:0.01:20], [0 a]); plot(xa(:, 1), xa(:, 2)) end >> hold off
5, 6, 그리고 7 의 초기속도들은 각도가 π 보 다 커지기에는 충분히 크지 않지만 8, 9, 그 리고 10 의 초기속도들은 단진자 움직임이 과도하게 되기에 충분하다.
두 번째 반복 초기속도가 7 과 8 사이일 때에 어떤 일이 일 어나는지 살펴보기위해서, >> hold on >> for a = 7:0.2:8 [t, xa] = ode45(g, [0:0.01:20], [0 a]); plot(xa(:, 1), xa(:, 2)) end >> hold off
위 그림에서 보면 분기점은 7.2 와 7.4 어딘 가에 존재함을 알 수 있다.
세 번째 반복 초기속도가 7.2 와 7.4 사이일 때에 살 펴보기 위해, >> hold on >> for a = 7.2:0.05:7.4 [t, xa] = ode45(g, [0:0.01:20], [0 a]); plot(xa(:, 1), xa(:, 2)) end >> hold off
위 그림에서 보면 소요되는 최소 속도는 7.25 와 7.3 사이의 어딘가에 위치한다.
결 론 소요되는 최소 속도는 7.25 와 7.3 사이 의 어딘가에 위치한다고 결론을 내릴 수 있다.