4장 축하중 축하중 부재의 변형을 구하는 방법 지점반력(부정정 문제). 열응력. 응력집중. 비탄성 변형. 잔류응력. bkhan@wow.hongik.ac.kr

4.1 상베낭(saint-venant)의 원리 하중작용 영역으로부터 충분히 떨어져 있는 물체 내 점들의 응력 = 같은 영역 내에 가해진 정역학적 등가하중에 의한 응력 (i.e. 하중점이나 지점에서의 복잡한 응력분포는 고려하지 않아도 된다.) bkhan@wow.hongik.ac.kr

하중점: 국부변형(localized deformation) 의 합력 = R = P (R은 도심을 통과) d General rule: d 단면의 치수(단면의 치수 중 최대값) bkhan@wow.hongik.ac.kr

4.2 축하중 부재의 탄성변형 부호규약 S-V's principle: 하중점이나 단면이 갑자기 변하는 점의 국부변형 무시 Hooke’s Law: 부호규약 양(+): 인장력(P>0), 신장(>0) 음(–): 압축력(P<0), 수축(<0) bkhan@wow.hongik.ac.kr

Special case I: 일정 하중 및 일정 단면적인 경우 A(x)=const. P(x)=const. Special case II: 단면적이나 하중이 변하는 경우 A(x)=const. P(x)=var. 구간별로 일정 하중 & 일정 단면적 bkhan@wow.hongik.ac.kr

일정 단면적 & 구간별 일정 하중 점 D에 대한 점 A의 변위: bkhan@wow.hongik.ac.kr

해석과정 재료는 균질하고, 선형탄성 거동을 한다는 가정 내력: 내부 축하중 P를 구하기 위해 절단법 사용. 축하중이 위치에 따라 달라지면, P(x)를 구한다(수직력 선도). 인장력(재료가 신장되게 하는 힘)을 양(+)으로 하고, 압축력(재료가 수축되게 하는 힘)을 음(–)으로 한다. 변위: 단면적이 위치에 따라 달라지면, A(x)를 구한다. 단계적으로 변하면, 구간별로 구하여 합한다. 계산 결과가 양(+) 이면 신장이고, 음(–) 이면 수축을 나타낸다. bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-1 단면적 AAB=1 in2, ABD=2 in2일 때, A 와 B/C는? 양(+) 이면 신장, 음(–) 이면 수축 양(+) 이면 신장, 음(–) 이면 수축 bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-2 알루미늄관 AAB=400 mm2, 강봉 =10 mm일 때, 80 kN 인장력에 의한 변위 C/A ? 단, Est=200 GPa, Eal=70 GPa. 관: 압축력(80 kN) 봉: 인장력(80 kN) 내력: 점 B에 대한 점 C의 변위: 고정점 A에 대한 점 B의 변위: 점 A에 대한 점 C 의 변위: 양(+) 이면 신장, 음(–) 이면 수축 bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-3 AC=20 mm인 강재 기둥과 BD=40 mm인 알루미늄기둥이 강체 보 AB를 지지할 때, 90 kN에 의한 점 F의 변위 F는? 단, Est=200 GPa, Eal=70 GPa. 기둥 AC의 변위: 기둥 BD의 변위: 점 F의 변위: 보간법(interpolation) 양(+) 이면 신장, 음(–) 이면 수축 bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-4 원추재료의 비중량 , 탄성계수 E일 때, 자유단 변위는? 기하학적 관계: 원추의 부피: 자중 W=  V이므로, dy A(y) P(y) 비중량 의 단위:[FL-3], 탄성계수 E의 단위:[FL-2] bkhan@wow.hongik.ac.kr

4.3 중첩의 원리 여러 하중의 합에 의한 변위/응력은 각 하중에 의한 값들의 합과 같다. ex 1)  = 1 + 2 ex 2) P = P1 + P2 2 1  중첩의 원리가 성립할 조건 : 선형성 i) 재료의 선형성 : , 등 ii) 변형의 선형성(기하학적 선형성): 소변형 대변형에서는 dd1d2이므로 M=PdP1d1+P2d2로, 중첩법 성립 안됨. bkhan@wow.hongik.ac.kr

4.4 축하중을 받는 부정정 부재 부정정: 평형조건만으로 반력을 구할 수 없는 경우 평형조건(equilibrium): statically determinate problem statically indeterminate problem 4.4 축하중을 받는 부정정 부재 부정정: 평형조건만으로 반력을 구할 수 없는 경우 평형조건(equilibrium): 식 1, 미지수 2 적합조건(compatibility condition): 힘-변위 관계(load-displ relation): = (PL) /(AE) 추가 식 1 적합조건(compatibility condition) = 기구학적 조건(kinematic condition) = 기하학적 조건(geometric condition ): bkhan@wow.hongik.ac.kr

해석과정 ► 부정정 문제: 미지수 > 평형조건식의 개수 추가 조건식이 필요 적합조건 식 + 힘-변위 관계식 ► 부정정 문제: 미지수 > 평형조건식의 개수 추가 조건식이 필요 적합조건 식 + 힘-변위 관계식 ► 평형조건: 자유 물체도를 그린다. 부재의 평형 조건식을 쓴다. ► 적합조건: 외부하중에 의하여 부재의 변형되는지? 변형될 때, 지지점이 부재를 어떻게 구속하는지? 이러한 조건을 고찰하면 얻을 수 있다. ► 힘- 변위 관계식: 변위의 항으로 구해진 적합 조건식을 힘의 항으로 변환하는데 필요한 식이다. bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-5 =5 mm인 강봉이 점 A에서 고정되고, 점 B’과 1 mm 간격이 있을 때, 힘 P=20 kN에 의하여 지지점의 반력은? 가정: 힘 P는 충분히 커서 점 B’과 접촉한다. 1) 평형조건: 2) 적합조건: 3) 힘-변위 관계: 4) 평형조건과 힘-변위 관계 식을 연립하여 풀면, FB가 음(-)의 값이면 점 B’과 접촉한다는 가정에 위배되므로 새로 가정해야 한다. bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-6 힘 P=9 kip의 압축력에 의한 알루미늄과 황동의 평균 수직응력은? 단, Eal=10(103) ksi, Ebr=15(103) ksi. 평형조건: 적합조건: 힘-변위 관계: 평형조건과 힘-변위 관계 식을 연립하여 풀면, 각 부재의 응력은, bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-7 강재 막대 AB와 EF의 AAB= AEF=25 mm2, ACD=15 mm2일 때, P=15 kN에 의한 각 막대의 작용력은? 1) 평형조건: 2) 적합조건: 3) 힘-변위 관계: 4) 평형조건과 힘-변위 관계를 연립하여 풀면, bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-8 볼트가 ½회전 되었을 때, 볼트의 응력은? 볼트는 2014-T6 알루미늄 합금, 원통은 Am 1004-T61 마그네슘 합금이다. 1) 평형조건: 2) 적합조건: 3) 힘-변위 관계 적용: 4) 평형조건과 힘-변위 관계 식을 연립하여 풀면, 5) 부재의 응력: bkhan@wow.hongik.ac.kr

4.5 축하중을 받는 부재에 대한 과잉력법 유연성법(flexiblity method of analysis)/과잉력법(force method of analysis) 적합조건: (과잉력) 평형방정식: ∵ LCB=L- LAC bkhan@wow.hongik.ac.kr

해석과정 적합조건: 지지력 중 하나를 과잉력으로 선정하고, 적합조건을 적용하여 과잉력을 구한다. 평형조건: 다른 미지력을 평형조건으로 구한다. bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-9 =5 mm인 강봉이 점 A에서 고정되고, 점 B’과 1 mm 간격이 있을 때, 힘 P=20 kN에 의하여 지지점의 반력은? 단, Est=200 GPa. 1) 평형조건: 2) 적합조건: 3) 힘-변위 관계 : 4) 연립하면: bkhan@wow.hongik.ac.kr

4.6 열응력 i) 재료가 homogeneous & isotropic 인 경우: : 선팽창계수(linear coeff. of thermal expansion) 단위: [1/℃, 1/K, 1/℉] ii) 부재 길이에 따라 온도/팽창계수 가 변하면: 정정 부재의 경우; T가 발생하고  = 0이지만, 부정정 부재의 경우; T = 0, ≠0: 열응력(thermal stress) 발생 bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-10 A-36 강재 막대의 T2= 60ºF에서 평균 수직 열응력은? 단, 초기온도 T1= 60ºF, 열팽창계수 = 6.60(10-6)/ºF. 1) 평형조건: 2) 적합조건: 3) 열 및 하중-변위 관계식: 4) 평균 수직 열응력: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-11 단면적 A=600 mm2인 2014-T6 알루미늄관과 A=400 mm2인 A-36강 볼트가 T1 =15ºC에서 조립되어 T2 =80ºC가 될 때, 평균 수직응력은? 1) 평형조건: 2) 적합조건: 3) 열 및 하중-변위 관계식: 4) 연립해 풀면, 5) 평균 수직 열응력: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-12 T1 =20ºC에서 T2 =80ºC로 상승할 때, 등분포 하중 w=150 kN/m에 의한 기둥의 축력은? 1) 평형조건: 2) 적합조건: 3) 열 및 하중-변위 관계식: 4) 연립하여 풀면, bkhan@wow.hongik.ac.kr

4.7 응력집중 집중하중이 작용하는 점, 부재의 단면적이 급격히 변하는 곳에서는 복잡한 응력분포 발생 응력집중계수 K는 (stress-concentration factor), 공학적으로 의 분포보다 max가 중요하다. bkhan@wow.hongik.ac.kr

응력집중 계수 K 단면적이 서서히 변하면 감소 bkhan@wow.hongik.ac.kr K>3 K~1.5 K~1.5

이때 균열이 발생하게 되고, 균열선단(crack tip)에서 응력집중이 발생, 균열이 성장하여 결국 취성파괴가 발생된다. 취성재료의 경우: max가 파단응력 f에 도달할 수 있다. 이때 균열이 발생하게 되고, 균열선단(crack tip)에서 응력집중이 발생, 균열이 성장하여 결국 취성파괴가 발생된다. 따라서, 취성재료의 경우에는 응력집중계수 K의 값이 매우 중요하다. 연성재료의 경우: max> Y가 되는 위치에서 = Y가 된다. 재료는 항복하지만 변형경화로 인해 reserve strength가 존재하므로 K값은 그다지 중요하지 않다. 피로하중이 작용하는 경우: 재료가 취성이든 연성이든 균열선단의 국부적 영역에서 재료는 취성 상태를 유지하므로 균열이 성장하게 된다. 따라서, 피로하중이 작용하는 경우에는 응력집중 현상이 중요하다. bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-13 허용응력 allow=16.2 ksi일 때, 최대 축하중 P는? 1) 기하학적 변수: 2) 응력집중 계수: 3) 평균 수직응력: bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-14 허용응력 y=700 MPa, Est=200 GPa인 강대에 80 kN 의 축하중이 작용할 때, 최대 수직응력은? 1) 기하학적 변수: 2) 응력집중 계수: 표에서 읽음. 3) 최대 수직응력:  탄성상태 임. 4) 변위: 국부변형은 무시 bkhan@wow.hongik.ac.kr

4.8 비탄성 축변형 가정: 재료거동은 탄성-완전소성 균일 단면의 소성하중(plastic load): → 소성하중에서 무한 변형 (실제는 변형경화로 제한됨) bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-15 강선의 길이 AB=20.00 ft, AC=20.03 ft, 강선의 단면적 A= 0.05 in2, 허용응력 allow=16.2 ksi일 때, 최대 축하중 P는? 강선 AB만이 하중을 지탱한다면: i) 강선 AB의 변형률: ii) 강선 AB의 응력은, 그림에서 iii) 강선 AB가 지탱할 수 있는 최대 힘은, 따라서 두 강선이 함께 지탱하여야 한다. 1) 힘의 평형: 2) 적합조건: bkhan@wow.hongik.ac.kr

3) 두 식을 연립하여 풀면, 4) 강선 AB의 응력, 5) 강선 AC의 응력 및 변형률, 6) 강선의 변형량, bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-16 y=250 MPa인 탄성-완전소성 강 막대에서, a) 항복 이전의 최대 하중 Py는, b) 최대 하중 P 및 응력분포는? a) 항복 이전: 1) 기하학적 변수: 2) 응력집중 계수 및 최대 응력: b) 최대 하중: bkhan@wow.hongik.ac.kr

4.9 잔류응력 재료가 영구변형이 되도록 하중이 가해진 후 제거되면 잔류변형이 있다. 즉, 점 C까지 변형 후 하중을 제거하면, OO’만큼 잔류변형이 있다. 이 때 부재의 잔류변형으로 인하여 잔류응력이 남는다. bkhan@wow.hongik.ac.kr

예제 4-17 5인 봉에 P=60 kN의 하중이 가해진 후 제거될 때, 봉의 잔류응력과 칼라 C의 영구변형은? 단, y=420 MPa, E=70 GPa. 탄성해석을 하면; FA=45 kN, FB=15 kN. 이 때, 각 구간에서의 응력은: 탄성역을 초과 각 구간에서 부재의 작용력과 응력은, 탄성역 탄성해석AC=573MPa, CB=191MPa 결과와 비교 칼라 C의 변위(구간 BC는 탄성거동)는, bkhan@wow.hongik.ac.kr

구간 변형률은, 하중 P를 역으로 가해주면(탄성거동), 잔류 변형률: 점 C의 영구변위: bkhan@wow.hongik.ac.kr

Alternative solution 구간 AC의 탄성복원 변형률: 구간 AC의 잔류 변형률: 점 C의 영구변위: bkhan@wow.hongik.ac.kr

4장 끝 질문 및 의견 ? bkhan@wow.hongik.ac.kr